中考复习--线段的最值问题课件

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1、正文级别 1,正文级别 2,正文级别 3,正文级别 4,正文级别 5,标题文本,‹#›,初三年级 数学,例说线段的最值问题,,一、线段最值问题的知识概要,,二、线段最值问题的两类几何模型,,三、线段最值问题的主要解答方法与典型例题,一、线段最值问题的知识概要,知识概要,代数方面,两点之间线段最短,直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,函数的增减性与最值,线段的最值问题,几何方面,二、线段最值问题的两类几何模型,第一类几何模型（第一种情况）：,已知：如图，定点,A,，,B,分布在定直线,l,两侧,.,求作：在直线,l,上找一点,P,，使得,PA,+,PB,的值最小,.,第一类几何模

2、型（第一种情况）：,已知：如图，定点,A,，,B,分布在定直线,l,两侧,.,求作：在直线,l,上找一点,P,，使得,PA,+,PB,的值最小,.,作法：连接,AB,交直线,l,于点,P,，点,P,即为所求，,PA,+,PB,的最小值即为线段,AB,的长度,.,,第一类几何模型（第一种情况）：,证明：在直线,l,上任取异于点,P,的一点,P,,，连接,AP,,,，,BP,,.,在△,ABP,,中，,AP,,+,,>,AB,，即,AP,,+,,>,AP,+,BP,，所以当直线,AB,与直线,l,相交于点,P,时，,PA,+,PB,的值最小,.,,第一类几何模型（第二种情况）：,已知：如图，定点,

3、A,，,B,分布在定直线,l,同,侧,.,求作：在直线,l,上找一点,P,，使得,PA,+,PB,的值最小,.,,第一类几何模型（第二种情况）：,已知：如图，定点,A,，,B,分布在定直线,l,同,侧,.,求作：在直线,l,上找一点,P,，使得,PA,+,PB,的值最小,.,作法：作点,A,关于直线,l,的对称点,A,,，连接,A,,交直线,l,于点,P,，则点,P,即为所求,.,,,第一类几何模型（第二种情况）：,证,明：根据轴对称的性质知直线,l,为线段,AA,,的中垂线，由中垂线的性质得,PA,=,,，要使,PA,+,PB,最小，则需,,最小，从而转化为,第一类几何模型,中第一种情况,.

4、,,,,第二类几何模型（第一种情况）：,已知：如图，,P,为⊙,O,内异于圆心的定点,.,求作：在圆上找一点,M,，使得,PM,最长或最短,.,,第二类几何模型（第一种情况）：,已知：如图，,P,为⊙,O,内异于圆心的定点,.,求作：在圆上找一点,M,，使得,PM,最长或最短,.,作,法：作⊙,O,的直径,AB,经过点,P,，则连接点,P,和圆上任意一点的线段中，,PA,最短，,PB,最长,.,,,第二类几何模型（第一种情况）：,第二类几何模型（第一种情况）：,第二类几何模型（第一种情况）：,第二类几何模型（第一种情况）：,第二类几何模型（第二种情况）：,已知：如图，,P,为⊙,O,外一定点,

5、.,求作：在圆上找一点,M,，使得,PM,最长或最短,.,,,第二类几何模型（第二种情况）：,已知：如图，,P,为⊙,O,外一定点,.,求作：在圆上找一点,M,，使得,PM,最长或最短,.,作,法：,连接,PO,并延长，交,⊙,O,于点,A,，,B,.,,则连接点,P,和圆上任意一点的线段中，,PA,最短，,PB,最长,.,,,三、线段最值问题的主要解答方法与典型例题,典型例题,1,：,如图，直线,,与,x,轴，,y,轴分别交于点,A,和点,B,，点,C,，,D,分别为线段,AB,，,OB,的中点，点,P,为,OA,上一动点，当,PC,+,PD,最小时，点,P,的坐标为多少？此时,PC,+,P

6、D,的最小值为多少？,,y,x,分析：,如图，直线,,与,x,轴，,y,轴分别交于点,A,和点,B,，点,C,，,D,分别为线段,AB,，,OB,的中点，点,P,为,OA,上一动点，当,PC,+,PD,最小时，点,P,的坐标为多少？此时,PC,+,PD,的最小值为多少？,,符合,第一类几何模型,（第二种情况）的特征,.,y,x,,,分析：,,作点,D,关于,x,轴的对称点,D,,；,连接,CD,,交,x,轴于点,P,；,根据,“两点之间线段最短”可得此时,PC,+,PD,的值最小,.,,O,,O,分析：,CD,为△,ABO,的中位线，可得,CD,=,OA,；,O,是,DD,,的中点，,OP//

7、 CD,，,可得,OP,=,CD,；,PC,+,PD,的最小值即为,CD,,的长,；,在,Rt,△,CDD,,中可用勾股定理计算出,CD,,的长,.,O,解答过程：,解答过程：,O,小结：,1.,本题从形的角度得到点,P,的位置，再从数的角度计算出点,P,的坐标，进而得到最小值,.,这正是体现了,数形结合,的重要性,.,2.,本题还可用中点坐标公式先后求出点,C,，点,P,坐标；若题型变化，,C,，,D,不是,AB,和,OB,中点时，则先求直线,,的表达式，再求其与,x,轴的交点,P,的坐标,.,典型例题,2,：,如图，在边长为,2,的菱形,ABCD,中，,∠,A,=,60,°,，,M,是,A

8、D,边的中点，,N,是,AB,边上的一动点，将△,AMN,沿,MN,所在直线翻折得到△,,，连接,,，则,,长度的最小值是多少？,,分析：,CM,的长为定值,.,如图，在边长为,2,的菱形,ABCD,中，,∠,A,=,60,°,，,M,是,AD,边的中点，,N,是,AB,边上的一动点，将△,AMN,沿,MN,所在直线翻折得到△,,，连接,,，则,,长度的最小值是多少？,,分析：,可构造,Rt,△,CMF,，利用勾股定理求出,CM,的长,；,MA,,的长也为定值,；,△,A,,CM,是,待求线段,A,,C,的“关联三角形”,分析：,由三边关系可得,,≥,CM,-,,分析：,根据“两点之间线段最短

9、”,可得当且仅当,C,，,A,,，,M,三点共线时“,=,”成立，此时,,最小,.,,,解答过程：,,解答过程：,,小结：,,“关联三角形”,的另外两条边尽可能长度已知（或可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时，“关联三角形”不存在（三顶点共线）,.,分析：,如图，在边长为,2,的菱形,ABCD,中，,∠,A,=,60,°,，,M,是,AD,边的中点，,N,是,AB,边上的一动点，将△,AMN,沿,MN,所在直线翻折得到△,,，连接,,，则,,长度的最小值是多少？,翻折的对称性可得,,始终等于,AM,.,分析：,点,A,,的运动路径为,以,,为圆心，,AM,为半径的,半圆,.,分析：

10、,根据,第二类几何模型,（第二种情况）可知,；,连接,,与⊙,M,交于点,A,,，此时,,三点共线,，,A,,C,取得最,小值,.,,解答过程：,,解答过程：,,小结：,,变化类问题要“在变化中寻不变”，寻求变量与不变量间的关系，此题中，,CM,,A,,M,的长为不变量，这正是确定,“关联三角形”,和构造,“辅助圆”,的关键,.,典型例题,3,：,如图，在,Rt,△,ABC,中，,∠,A,=,90,°,，,AB,=,3,，,AC,=,4,，,P,为边,BC,上一动点，,PE,⊥,AB,于,E,，,PF,⊥,AC,于,F,，则,EF,的最小值为多少？,,,,,分析：,如图，在,Rt,△,ABC,

11、中，,∠,A,=,90,°,，,AB,=,3,，,AC,=,4,，,P,为边,BC,上一动点，,PE,⊥,AB,于,E,，,PF,⊥,AC,于,F,，则,EF,的最小值为多少？,,,,,可得四边形,AEPF,为矩形,；,根据矩形的对角线相等这一性质,可将,EF,转化为,AP,.,分析：,,,,依据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,.,”,分析：,可知,当,AP,⊥,BC,时,，,AP,最小,.,,,,,解答过程：,,,,解答过程：,,,,,小结：,1,.,当,P,点为主动点，,E,，,F,为从动点（随,P,点动）时，我们应该将与从动点有关的线段,优先转化为与主动点相关的线段

12、,，这是解决这一系列问题的共同思路,.,2.,类似于二元一次方程组的“消元法”，,将双动点问题转化为单动点问题,，往往能将问题简化,.,小结：,3.,此题中我们巧妙地运用了矩形的定义和性质，提醒同学们今后要注意解答此类问题时,应用特殊图形的性质与判定,.,典型例题,4,：,如图，直线,,与抛物线,,相交于,A,(,，,),，,B,(,4,，,m,),两点，点,P,是线段,AB,上异于,A,，,B,的动点，过点,P,作,PC,⊥,x,轴于点,D,，交抛物线于点,C,.,（,1,）求抛物线的表达式,.,（,2,）是否存在这样的,P,点，,使线段,PC,的长有最大值？,若存在，求出这个最大值；,若不

13、存在，请说明理由,.,y,x,分析：,如图，直线,,与抛物线,,相交于,A,(,，,),，,B,(,4,，,m,),两点，点,P,是线段,AB,上异于,A,，,B,的动点，过点,P,作,PC,⊥,x,轴于点,D,，交抛物线于点,C,.,（,1,）求抛物线的表达式,.,,y,x,待定系数法求抛物线的表达式,y,x,分析：,（,2,）是否存在这样的,P,点，使线段,PC,的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由,.,,P,，,C,两点,横坐标,相同,；,线段,PC,的长度随,P,，,C,横坐标,的变化而变化,.,y,x,分析：,设点,P,的横坐标为,n,；,PC,长度表示为关于,

14、n,的函数,；,在自变量,n,的取值范围内可,求出函数,PC,长度,的最大值,.,y,x,解答过程：,y,x,解答过程：,小结：,,本,题是,平面直角坐标系中线段最值问题,，,可将,待求线段的长表示为关于自变量的函数,.,其中，自变量的取值范围会决定因变量取值范围，因而同学们必须先,确定自变量范围,.,小结与反思：,数学思想：转化、数形结合,.,作业：,如图，,Rt,△,ABC,中，,AB,⊥,BC,，,AB,=,6,，,BC,=,4,，,P,是△,ABC,内部的一个动点，且始终满足,∠,PAB,=,∠,PBC,，则线段,CP,长的最小值为多少？,,解答过程：,解答过程：,小结：,,此道作业题,构造“辅助圆”,的突破口在于发现,动点与两定点连线的夹角为确定值,；若点,P,在△,ABC,外部，则,CP,长存在最大值；若∠,APB,为非直角时，则作△,ABP,的外接圆，此时,AB,为非直径的弦,.,