自动控制原理自学必备自动控制课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,,自动控制原理,,,主讲：吴仲阳,第四章,线性系统的时域分析,,1,绘制根轨迹的两个条件,,,2,绘制根轨迹的基本规则,,,3,参数根轨迹,,退出,,退出,,根轨迹法,概述,,研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,,退出,,,退出,,根轨迹法,概述,,研

2、究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。,根轨迹是一种图解法,，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,,退出,,绘制根轨迹的两个条件,,当系统的特征方程式为：,,,其中：“,+,”,号对应负反馈，“,-,”,号对应正反馈。将,,式,①,改写成,,,,,,,式,②,和式,③,便是用来绘制反馈系统的根轨迹方,,程。其中式,②,为绘制负反馈系统的根,轨,迹方程，,,式,③,为绘制正反馈系统的根轨迹方程。,,…… ①,,…

3、… ②,,…… ③,,,退出,另外，应用根轨迹方程式,②,和式,③,绘制根轨,,迹之前，需将开环传递函数,G,(,s,),化成通过,,极点与零点表达的标准形式，即,,式中：,k,——,绘制根轨迹的可变参数，称为参变量,；,,,p,j,——(,j,=1,2,…,,n,),为系统的开环极点,；,,,z,i,——(,i,=1,2,…,,m,),为系统的开环零点,；,,退出,,绘制根轨迹的两个条件（续）,,由式,②,得：,,,,,,式,⑤,和式,⑥,是负反馈系统根轨迹上每个点都,,应同时满足的两个公式。,,由式,③,得：,,,…… ⑤,,…… ⑥,,…… ⑦,,…… ⑧,,,退出,,绘制根轨迹的两个条

4、件（续）,,式,⑦,和式,⑧,是正反馈系统根轨迹上每个,,点都应同时满足的两个关系式。式,,⑤,、式,⑦,称为,幅值条件,，式,⑥,、式,⑧,,称为,相角条件,。,,退出,,绘制根轨迹的两个条件（续）,,幅值条件和相角条件,是用图解法求系统特征,,根的基本关系式，它表明当,s,平面的点在,,同时满足这两个条件时，就是所研究系统在,,给定参数值（例如开环增益）下对应的特征,,根，所以，在,s,平面上系统的参数,k,从零到,,无穷大变化时，凡是满足相角条件的点所构,,成的图形就是根轨迹图。然后，根据幅值条,,件定出这些点所对应的参数值。,,参数,k,可以是系统的,开环增益,，,也可以是系,,统的,

5、其它参量,。,,,退出,,绘制根轨迹的基本规则,,反馈系统的根轨迹是根据根轨迹方程的相角,,条件绘制的，但相角条件因为正反馈和负,反,,馈而有两个，于是对应的根轨迹也有两种形,,式。按相角条件式,⑥,绘制的根轨迹称为,,180°,根轨迹,，而按照相角条件式,⑧,绘制的,,根轨迹称为,0°,根轨迹,。,,,退出,绘制,180°,根轨迹的基本规则,,（,1,）根轨迹的分支数,,根轨迹在,s,平面上的分支数等于控制系统特征方程,,的阶数,n,，换句话说，根轨迹的分支数与闭环极,,点的数目相同。,,,,,,,,退出,（,2,）根轨迹的起点与终点,,根轨迹起始于开环极点，终于开环零点。如果开,,环极点数

6、目,n,大于开环零点数目,m,,时，则有,n,-,m,,,,条根轨迹终止于无穷远处。,,,退出,（,3,）根轨迹的连续性与对称性,,根轨迹是连续且对,称,于实轴的曲线。,,,退出,（,4,）实轴上的根轨迹,,实轴上根轨,,迹是那些在,,其右侧的开,,环实极点数,,与开环实零,,点数的总数,,为奇数的线,,段。,简记为,,“奇是偶不是”。,,,退出,（,5,）,根轨迹的渐近线,,如果控制系统的开环零点书,m,,少于开环极点数,n,,时，渐近线有,n,-,m,,条，这些渐近线在实轴上交于,,一点。渐近线与实轴交点坐标为,,,,,,,,,,渐近线与实轴正方向的夹角为,,,,退出,,退出,做长除法并取

7、高次项，得,,退出,,退出,,,（,6,）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合,,点）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合,,点）是当开环传递函数为,,,,,,,,,,退出,根轨迹与实轴的交点是下述方程的根,,,,（,11,）,,,或分离点,d,为下述方程的解,,,,（,12,）,,,说明：,①,若在实轴上两个相邻的开环极点或两个相邻的,,开环零点之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至,,少有一个分离点。,②,分离点方程的解并不都是分离点的,,坐标，若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间,,内，若为复分离点，则应满足,2kπ,的相角条件。,,退出,,退出,,退出,,退出,,退出,（,7,）根轨迹复数

8、极点（或零点）的,,出射角（或入射角）,,根轨迹离开复数极点处的切线方向与实,,轴正方向的夹角称为出射角，而其进入,,开环复数零点处的切线方向与实轴正方,,向的夹角称为入射角。,,,退出,,退出,出射角为,,,,,,,（简记“加零去余极”）,,入射角为,,,,,,,（简记为“加极去余零”）,,式中：,——,所考虑的极点的出射；,,,——,所考虑的零点的入射角。,,退出,（,8,）根轨迹与虚轴的交点,,根轨迹与虚轴交点说明该系统有部分根是纯虚,,根 ，因此，将 代入,,特征方程式就可得出实部和虚部方程组：,,,,（,15,）,,从方程组中解出 就是根轨迹与虚轴交点坐,

9、,标，同时还可以求出与此交点相应参数,k,的临界,,值,k,c,,。,,说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表,,中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而,,求得,k,c,,。,,退出,（,9,）闭环极点的和与积,,设闭环控制系统的特征方程式为,,,,,,假设它的根为 则,,,,,,,根据代数方程根与系数间的关系，可得,,退出,（,10,）开环增益,K,的求取,,对应根轨迹上每一点系统参数，可按下式计算：,,,,,,,开环传递函数在绘制根轨迹中的标准式为,,,,,,,,,,退出,,开环增益的定义为,,,得,,开环效益可按式（,18,）到式（,21,）按需求求取,

10、,,,退出,例题：,1,.,(,教材例,4,-,4),系统开环传递函数,,,,,,,试绘制系统根轨迹。,,退出,,退出,解：,,1.,按规则,1,，由于上述系统的特征方程的最高,,阶次为四，因此其根轨迹有四个分支。,,2.,按规则,2,，根轨迹的四个分支起始于四个开,,环极点，即,,,当,k,→∞,时，它们均伸向无穷远。,,因为,,,开环零点数,m,＝,0,，,n,－,m,＝,4,。,,3.,按规则,3,，根轨迹的四个分支连续且对称于,,实轴。,,退出,4.,作出开环零，极点分布图如图所示。按规则,4,，,,对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段，只能,,是,0,～,,－,2.73,。,,5.,

11、按规则,5,，可由式,①,，即,,,,,,,来求根轨迹与实轴的交点，本题只有分离点，用,,凑试法求得分离点,-,2.05,。,,退出,,退出,6.,按规则,6,，该系统当,k,→,∞,时，由于,n,－,m,＝,4,，,,则渐近线共有四条。这些渐近线与实轴正方向,,,的夹角由公式,,,求得为 这些渐近线与实轴,,,的交点坐标，可由公式： 求得，,,,代入已知数据，求得 ，渐近线与实轴,,的交点坐标为,(,－,1.18,，,j,0,),。,,退出,7.,按规则,7,，根轨迹离开开环复极点的出射角按,,式,(4,－,2

12、1),求，代入已知数据，得,,,,由根轨迹的对称性可直接得出 。,,8.,按规则,8,，将,s,＝,jω,代进系统的特征方程得,,,,从而得实部方程，虚部方程分别为,,,退出,9.,按规则,9,，由式,(4,－,24),，得,,,,由式,(4,－,25),，得,,,,10.,按规则,10,，由于给定系统为,I,型系统，故应用式,(4,－,18),，得,,,,代入数据得,,,至此，即可绘出大致根轨迹。,,退出,,绘制,0,°,根轨迹的基本规则,,绘制,0°,根轨迹需按相角条件式（,8,）绘制，因,,此，它与绘制,180°,根轨迹不同之处表现在和相,,角条件有关的一些基本规则上。具体来

13、说，在绘,,制,180°,根轨迹的基本规则（,4,）、（,5,）、（,7,）、,,（,8,）上二者将有所不同，需作如下修正：,,绘制,0,度根轨迹的基本规则为：,,（,4,）实轴上的根轨,,实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实极点与,,开环实零点的总数为偶数的线段，注意零属于偶,,数。（简称为偶是奇不是）,,退出,（,5,）根轨迹的渐近线,,如果控制系统得开环零点数,m,少于开环极点数,n,,时，渐近线共有,n-m,条，这些渐近线在实轴上交,,于一点。,,渐近线与实轴的交点坐标为,,渐近线与实轴正方向的夹角为,,,退出,（,7,）根轨迹的入射角与出射角,,始于开环复数极点的,0°,根轨迹的出射

14、角 和止,,于开环复数零点的,0°,根轨迹的入射角 分别按,,下式计算，即,,,,退出,（,8,）根轨迹与虚轴的交点,,,,,,绘制,180°,根轨迹的,10,条规则，除上述四条作相,,应的修改外，其余六条对绘制,0°,根轨迹完全适,,用。,,,,退出,例题,2.(,教材例,4,-,5),系统开环传递函数,,,,,试绘制系统根轨迹,。,,解：,,1.,按规则,1,，由于该系统的特征方程为,,,代入已知数据，整理得,,,,特征方程的最高阶次是,4,，因此根轨迹有四条分支。,,2.,按规则,2,，由于根轨迹的四个分支起,,始于四个开环极点，即,,当,k,→∞,时，它们均伸向无穷远，这是因为

15、,n,－,m,＝,4,的缘故。,退出,,3.,按规则,3,，根轨迹四个分支连续且对称于实轴。,,4.,作出开环零，极点分布图如图所示。按规则,4,，,,对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段只能是，,,[,＋,1,，,∞],、,[,－,1,，－,4,],、,[,－,4,，－,∞],三个线段，,,注意，零被认为是偶数。,退出,,退出,,退出,5.,按规则,5,，根轨迹分离点的坐标可按下式计,,算，即,,,,,,,代入数据整理得,,应用凑试法最后得分离点坐标为,(,－,2.225,，,j,0,),。,,退出,6.,按规则,6,，该系统当,k,→∞,时，根轨迹的渐近线共有,4,条。这是因为,n,－,

16、m,＝,4,。上述四条渐近线与实轴的交点坐标为,,,,它们与实轴正方向的夹角为,,退出,7.,没有复极点、零点，故不用求入射角与出射角。,,8.,按规则,8,，求根轨迹与虚轴的交点。,,控制系统的特征方程是,,,,令 得,,,实部方程，虚部方程分别为,,,解虚部方程得,(,不符合题意,),；将,,代入实部方程得,k,＝－,16,不符合题意，因此，根轨迹与虚轴无交点。,,退出,9.,按规则,9,，闭环极点之和为,,,之积为,,,,10.,按规则,10,，由于无，其相应的无。至此，即可绘出大致根轨迹图。,,退出,例题,3,.,(,教材习题,4,-,12),已知系统开环传递函数,,,,试

17、绘制系统的根轨迹。,,退出,解：将上式所示开环传递函数化成标准形式，得,,,,将上式代入 （负反馈），,,得,根轨迹方程为,,,,上式说明本系统的根轨迹方程为正反馈的根轨迹方程，该系统的根轨迹必须按,0°,根轨迹的绘制规则绘制。注意：这种现象只有非最小相位系统中才可能出现，故在绘制非最小相位系统的根轨迹,,图时，需特别小心。,,退出,1.,按规则,1,，由于本系统得特征方程为,,,,知本系统根轨迹有两个分支。,,2.,按规则,2,，根轨迹起始于 ，终止于 及无穷远点。,,3.,按规则,3,，根轨迹连续且对称实轴。,,4.,按规则,4,，做出

18、开环零、极点分布图如图所,,示。按规则,4,（偶是奇不是）知，根轨迹在实,,轴上的线段为（,2,～,∞,）及（,0,～,-4,）。,,退出,5.,按规则,5,，渐近线与实轴交点的坐标为,,,,渐近线与实轴正方向的夹角为,,,即渐近线与实轴正方向重合。,,6.,按规则,6,，,,,由 得,,,,其中，,a,1,为会合点坐标，,a,2,为分离点坐标。,,退出,7.,按规则,7,，因无复数极点与零点，故不需求出出射角与入射角,,8.,按照规则,8,，求与虚轴交点及临界参变量。令 代入特征方程，得,,,,,解得：,,9.,按规则,9,，有闭环极点之和闭环极点之积,

19、,10.,按规则,10,，由于给定系统为,Ⅰ,型系统，故根据上面求得的各项数据，绘制的给定系统的根轨迹如上图所示。从上图可见，当,0<,k,<0.5,时，系统稳定工作，当,k,>0.5,时，系统不稳定工作。,,,退出,,退出,,参数根轨迹,,在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为,,可变参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按,,需要加以选择，并称以非开环增益为可变参数绘,,制的根轨迹成为反馈系数的参数根轨迹。,,反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统,,的特征方程 整理成如下形式,,的根轨迹方程，即,,退出,式中,——,以,s,和参数,X,为自变量的开环

20、,,传递函数；,,,,X,——,非开环增益的参变量；,,,,,——,不含参变量,X,的复变量,s,的多,,项式，其中,s,最高,次,幂项的系数需,,化成,+1,，即需将化成开环,,传递函数的标准形式，即,,,,退出,其次，根据式（,27,）右侧是,-,1,，按绘制,180°,根,,轨迹规则绘制，式（,27,）右侧是,+1,按照,0°,根轨,,迹规则绘制。同绘制以开环增益为参变量的普通,,根轨迹一样，来绘制参变量是,x,=0,～,∞,的参数根,,轨迹。下面举例消化如下：,,,例题,4.(,教材例,4-9),已知系统的特征方程为,,,,，试画出以,a,为参变量的根轨迹图，并求出使阻,,尼比为,0.

21、5,时,a,的值。,,,退出,解：,,1.,恰当处理,,用 去除特征方程的两边得,,,即,,其中,,2.,按绘制,180°,根轨迹规则，绘制参量根轨迹,,(1),按规则,1,，由于特征方程最高阶次为,3,，因此,,其根轨迹有三个分支。,,退出,(2),按规则,2,，根轨迹的三个分支连续且对称于实,,轴。,,(3),按规则,3,，根轨迹的三个分支起始于三个开环,,极点，即 。由于,m,＝,0,，当,a,,→∞,时，三条根轨迹分别趋向无穷远。,,(4),作出开环零，极点分布图如图所示，按规则,,4,，整个负实轴都是根轨迹上的点。,,(

22、5),按规则,5,，求根轨迹的会合点。由,,退出,,退出,(6),按规则,6,，根轨迹的渐近线有,n,－,m,＝,3,条。其与实轴的交点是,(,，,0),，其中,,,,,与实轴正方向的夹角是,,,,,,(7),没有复极点，复零点，故不用求入射角与出,,射角,。,,退出,(7),没有复极点，复零点，故不用求入射角与出,,射角。,,(8),按规则,8,，求根轨迹与虚轴的交点，将,s,＝,jω,,代入特征方程得,,,得实部，虚部方程分别为,,,,,因此，根轨迹与虚轴的交点是,±2,j,。,,退出,3.,求 时，,a,的值,,由于,,由相角条件，结合图,4,－,20,得,,,则 。,因此，,△,OCD,为直角三角形，,OD,＝,2,,则,OC,＝,1,，,OA,＝,0.5,，,AC,＝,0.866,。,C,点坐标为，,,－,0.5,＋,0.866,j,,由幅值条件,,退出,B,C,A,D,,