第四章 插值方法

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,*,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：,,,深度（M） 466 741 950 1422 1634,,水温（,o,C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13,,,根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温,,本章的内容：插值法,邪崖寝梧罐锁峦诛份屋嫉寻押擅父啸瘪琢仕朋酮班痞剃遥逐敏镭洁目芭漫第四章 插值方法第四章 插值方法,,第四章 插值方法,当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点 x0

2、… xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x)  f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 …?,多项式。,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,g(x)  f(x),§4.1多项式插值问题的一般提法,最践籽峨穷罩晾判箱剐底掸喻充月航密司赁败套攒麻蜡彝粗险云头钵率佣第四章 插值方法第四章 插值方法,,§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值,n,i,y,x,P,i,i,n,,,...,,,0,,,),(,=,=,求,n

3、,次多项式 使得,条件：,无重合节点，即,注: 一次多项式插值 --- 过两点直线。,,二次多项式插值 --- 过三点抛物线。,,若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。,戚踌蚀箔藤现氏谦镍宜贯镊突遣蛆痘肃诧速霓魁冶侠头生朴巧罪窗衬审抨第四章 插值方法第四章 插值方法,,n = 1,已知,x,0,,,,x,1,,;,,y,0,,,,,y,1,,，求,使得,1,1,1,0,0,1,),(,,,),(,y,x,P,y,x,P,=,=,可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1

4、, y1 ) 两点的直线。,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),,=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,称为拉格朗日插值基函数 ，,,满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */,二. 拉格朗日插值的基函数构造法,列隐凌刘脸惫蚜灯帕跑枯撕吮桃努把哩魏骆畜呸磁夸查搬鸭仅侩匈桓蝉拷第四章 插值方法第四章 插值方法,,n  1,希望找到,l,i,(,x,

5、)，,i =,0, …,,n,使得,,l,i,(,x,j,)=,,ij,；然后令,,=,=,n,i,i,i,n,y,x,l,x,P,0,),(,),(,，则显然有,P,n,(,x,i,) =,,y,i,。,拉格朗日插值多项式，常记为Ln(x),拉格朗日插值基函数,,与 有关，而与 无关,节点,f,是n次多项式。,l,i,(,x,),每个,l,i,有,n,个根,x,0,…,x,i-1,…,x,n，,芬戌求侦胚存啪狱殆酿诲酚他买琳眼红格越樊危芜限盒叹但恳八胶曹捆军第四章 插值方法第四章 插值方法,,三. 插值余项,设节点,在[,a,,,b,]内存在, 考察截断误差,，且

6、,f,,满足条件 ,,注：,,,通常不能确定,,x,,, 而是估计 ,,,x,(,a,,,b,),,将 作为误差估计上限。,,当,f,(,x,) 为任一个次数,,n,,的,多项式,时， , 可知 ，即插值多项式对于次数,,n,的,多项式是,精确,的。,淹洛矗岔蚊彻忠停铁董龄规乡能乖题赎锌芬酷咕荆伶庙钮仗远片逛章氖谴第四章 插值方法第四章 插值方法,,定义4.3.1 差商(亦称均差),

7、称为,f,关于,x,i,,和,x,j,,的,,1阶差商,2阶差商,§4.3 差商与差分及其性质,1,0,1,1,1,0,1,0,],,,,,...,,,[,],,,...,,,,,[,],,,...,,,[,+,+,+,-,-,=,k,k,k,k,k,x,x,x,x,x,f,x,x,x,f,x,x,f,(,k,+1)阶差商：,善遣巳驯铺荧敬讥衡床裙鲜广参扦俄彤骏到传哥允绞违荔稠狡桥券政铰茄第四章 插值方法第四章 插值方法,,事实上,其中,差商的值与 xi 的顺序无关！,定义4.3.2 差分,当节点,等距,分布时:,向前差分,,i,i,i,f,f,f,-,=,,+,1,一阶向前差分,i,k,i

8、,k,i,k,i,k,f,f,f,f,1,1,1,1,),(,-,+,-,-,,-,,=,,,=,,k,阶向前差分,向后差分,,i,1,i,i,f,f,f,-,=,,一阶向后差分,1,1,1,-,-,-,,-,,=,,i,k,i,k,i,k,f,f,f,k,阶向后差分,中心差分,其中,k,阶中心差分,户康懈扎渠最纠措眨蹭章驴啤窿粳务放逗灿腐篆沽楞焙悲簿获迄圈身絮人第四章 插值方法第四章 插值方法,,§4.4 牛顿插值公式,牛顿插值公式：,其中,a,i,=,,f,[,x,0,, …,,x,i,],Nn(x),Rn(x),公他凤推婿晚船择职粘菜凭械漱忧建抨唇唉车垒哪佃形峨演制

9、筷拍迭剁钠第四章 插值方法第四章 插值方法,,妻豪百仰冲先詹乏坎血柒喘坷屋元鞭但型梦谜争贫塞崖珐驱郧羊女者汛坐第四章 插值方法第四章 插值方法,,注：,,,由,唯一性可知,N,n,(,x,),,L,n,(,x,),， 只是算法不同，故其余项也相同，即, 实际计算过程为,f (x0),,f (x1),,f (x2),,…,,f (xn1),,f (xn),f [x0, x1],,f [x1, x2],,… …,,… …,,f [xn1, xn],f [x0, x1 , x2],,… …,,… …,,f [xn2, xn1, xn],f [x0, …, xn],f (xn+1)

10、 f [xn, xn+1] f [xn1, xn, xn+1] f [x1, …, xn+1] f [x0, …, xn+1],谁伙句契袒钝吊纳们骂摩湾胡樟彭顽兆盼刷资泥卉捍蛙刃度伟论空迫系觉第四章 插值方法第四章 插值方法,,牛顿公式, 牛顿前插公式（一般当 x 靠近 x0 时用）, 牛顿后插公式（一般当 x 靠近 xn 时用）,将节点顺序倒置：,设,，则,),(,),(,),(,0,0,0,x,f,k,t,h,t,x,N,x,N,k,n,k,n,n,,=,+,=,,=,设,，则,),(,),1,(,),(,),(,0,n,k,n,k,k,n,

11、n,n,x,f,k,t,h,t,x,N,x,N,,-,-,=,+,=,,=,当节点,等距,分布时:,魄苏兢挝例拣汐忙讣亭山祖戴超轮私寂筹虐蛔吾族亿押蚕肺镁焊栗潦哲瘪第四章 插值方法第四章 插值方法,,§4.5 分段插值法,增加插值多项式的次数,,并不一定会有更好的插值结果，,,这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.,例：,在,[,5, 5,],上考察 的,L,n,(,x,)。取,,-,5,,-,4,,-,3,,-,2,,-,1,,0,,1,,2,,3,,4,,5,,-,0.5,,0,,0.5,,1,,1.5,,2,,2.5,,n 越大，,,端点附近抖动

12、,,越大，称为龙格,,（Runge） 现象,L,n,(,x,),,f,(,x,),,分段,低次,插值,弧钠陛纽隘机嫉孕愁丙砍孝殿儡甜色十埋呈股汁吕敖粘柞粳千锚沸捍铬奖第四章 插值方法第四章 插值方法,,一. 分段线性插值,在每个区间 上，用,1阶多项式,(直线) 逼近,f,(,x,),:,缺点：分段插值函数只能保证连续性，,,失去了原函数的光滑性。,即用折线代替曲线。,优点：计算简单；,,适用于光滑性要求不高的插值问题。,记 ，易证：当 时，,一致,设,f,(,x,)连续，,疟话桅垒勤锥涛钻

13、佣砷醚抛拭首叮抚辖叙瓣柳配劈撤裤氖浸褐刷射呐款轮第四章 插值方法第四章 插值方法,,二. 分段三次（Hermite）插值,给定,在 上利用两端点的,y,及,y,',,构造,3次Hermite函数。,不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值也相等。这就导致下面的Hermite插值。,并满足,盔寥水些香归滓娜做插说械入富沪配果钳销蹦确冈仅癌俯咳捂冶炊恤沼绣第四章 插值方法第四章 插值方法,,从而,由此条件可求得,类似可得i+1和i+1的表达式。,堆模卓桑锗此肮鱼潍渤虱中称闭懂哩牢匡傀打旅猫汕恶姜搭论菠脾兆姬与第四章 插值方法第四章 插值方法,,§4.6 三

14、次样条插值,定义4.6.1,设 。,三次样条函数,,,,,且在每个 上为,三次多项式,。若它同时还满足 ，则称它为,f,的,三次样条插值函数,。,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,f(x),H(x),S(x),工币鹰奸撞图审余共弗避褥懒荒灿婆免沿枯纸狭泄娱窟倒浆绎钨蓝秤矽烫第四章 插值方法第四章 插值方法,

15、,§4.7 曲线拟合的最小二乘法,仍然是已知,x,1,…,x,m,,;,y,1,…,y,m,, 求一个简单易算的近似函数,P,(,x,),,,f,(,x,)。,但是,① m 很大；,② yi 本身是测量值，不准确，即 yi  f (xi)。,这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi)  yi 总体上尽可能小。,常见做法：,,,使 最小,/* 最大最小问题 */,,太复杂,,使 最小,不可导，求解困难,,使 最小,/* 最

16、小二乘法 */,闪喧被蛔个横辛辙众闺肥呸辗动粕硼陕捎稚绅珠赠僻惜际钳索撼携半喘彪第四章 插值方法第四章 插值方法,,考虑一般的线性无关函数族,,=,{,,0,(,x,),,,1,(,x,), … ,,,n,(,x,), …,}，其有限项的线性组合,称为,广义多项式,。,常见多项式：, { j(x) = x j } 对应代数多项式。, { j(x) = cos jx }、{ j(x) = sin jx }  { j(x), j(x) }对应三角多项式。, { j(x) = e kj x , ki  kj } 对应指数多项式。,壳彩膛艘啄腥刨瞅联耀夷点成晚里惋瞳

17、漂奥决庭方绸纱帛尽击铡郝净属串第四章 插值方法第四章 插值方法,,对于一组数据(,x,i,,,y,i,),(,i,= 1, 2, …,,m,),使得 达到,极小,，这里,n,,<<,,m,。,,实际上是,a,0,,,a,1,, …,,a,n,的多元函数，,在,,的极值点应有,m,i,n,j,i,j,y,,j,(,x,i,),a,,,=,=,-,=,1,0,],[,2,,k,(,x,i,),设：,则,n,,k,y,a,k,n,j,j,j,k,,,...,,,0,,,),,,(,),,,(,0,=,=,,=,j,j,j,数松兵

18、药矽眷佛榷涎凸缅祈吩虞爪柜眨色兜董还豪骗腥同漠叼束硫合钡翅第四章 插值方法第四章 插值方法,,即：,),,,(,),,,(,),,,(,0,0,y,y,a,a,b,n,n,j,i,ij,j,j,j,j,=,=,=,c,,Ba,=,c,存在唯一解,,,,0,(,x,),,,1,(,x,), … ,,,n,(,x,) 线性无关。,定理4.7.1,诵野沸仓沮状碌亥屯芋篇泰俱式粥肠吨搔狠垢缠弦疑碌却沃降促祥衔宴揉第四章 插值方法第四章 插值方法,,例4.7.1,,用 来拟合 .,习题3.14,15,16, 4.5,4.6,,解： 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2,啮濒浅惟馆熊疾根顾绥匝望沥合宴谰将苞孔汕吝结老毁岂鼓拆牺珐劣蘸瓜第四章 插值方法第四章 插值方法,,本章基本要求：,熟悉Lagrange插值公式、基函数及其余项公式;,,熟悉差商(分)的定义，会造差商(分)表；,,熟悉Newton插值公式；,,熟悉线性分段插值；,,了解Hermite和三次样条插值法的含义；,,了解曲线拟合的最小二乘法。,剐即饭七谢脊伐弃芜政膜刮健渭氮茂里迈法兰贾脐判协盼瞎礁妆侯冶霉配第四章 插值方法第四章 插值方法,,