教育专题：《勾股定理的逆定理》课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,第十七章　勾股定理,1,7,.2,勾股定理的逆定理（第,1,课时）,八年级 下册,课件说明,,,课题内容,,勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系,.,学习目标,理解勾股定理的逆定理.,,了解互逆命题、互逆定理.,创设情境，提出问题,问题,1,： 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论.,追问,1,： 你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？,追问

2、2： “如果三角形三边长a、b、c满足，,,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题.,古埃及人曾用下面的方法得到直角,实验观察,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,问题2：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？,用,13,个等距的结,,,把一根绳子分成等长的,12,段,,,然后以,3,个结，,4,个结，,5,个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是,直角,。,,实验观察,,,,,,,,,,,,,3,4,5,追问：,这个三角形的三条边有什么关系吗,?,3,2,4,2,5,2,+,=,实验观察,（,1,）

3、下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：,cm,）画三角形：,,①,2.5,，,6,，,6.5,；②,4,，,7.5,，,8.5.,动手画一画,（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的 最大角的度数.,,（3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.,实验操作 提出猜想,问题,2,由上面几个例子你发现了什么吗,?,请以命题的形式说出你的观点,!,,命题2,,如果三角形的三边长a、b、c满足,,,那么这个三角形是直角三角形。,a,2,+ b,2,= c,2,实验操作 提出猜想,归纳概念,两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫做互逆命

4、题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题,.,,问题3：把勾股定理记着命题1，上面的结论作为命题2.命题1和命题2的题设和结论分别是什么？,,问题,4,：命题1和命题2的题设和结论有着,什么,的关系？,,如果直角三角形两直角边分别为,a,，,b,，斜边为,c,，那么有,a,2,+ b,2,= c,2,勾股定理,,如果三角形的三边长,a,、,b,、,c,满足,,,那么这个三角形是直角三角形。,a,2,+ b,2,= c,2,,互逆命题,归纳概念,问题,5,:请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？举例说明．,追问,1,： 在我们大家举出的互逆命题中原命题

5、和逆命题都成吗？,问题,6,: 原命题正确，它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形”吗？,勾股定理逆定理的证明,已知,:,在△,ABC,中，,AB=c BC=a CA=b,且,a,2,+b,2,=c,2,求证,:△ ABC,是直角三角形,.,,,A,′,B,′,C,′,B,C,A,证明,:,画一个△,A’B’C’,,使,,∠,C’=90,°,,B’C’=a, C’A’=b,∴,A’B’ =c,∵ 边长取正值,∴,A’B’,2,=c,2,∵,a,2,+b,2,=c,2,∵ ∠,C,/

6、,=90,0,∴,A’B’,2,= a,2,+b,2,勾股定理逆定理的证明,在△,ABC,和△,A’B’C’,中,BC=a=B’C’,,CA=b=C’A’,,AB=c=A’B’,,∴ △,ABC ≌△ A’B’C’,（,SSS,）,∴ ∠,C= ∠ C,/=,90,°,则 △,ABC,是直角三角形（直角三角形的定义）,定理与逆定理,,我们已经学习了一些互逆的定理,如:,,(1),勾股定理及其逆定理；,(2),两直线平行,内错角相等;,,(3),内错角相等,两直线平行.,,(4),角的平分线的性质与判定；,,(5),线段的垂直平分线的性质与判定.,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,,,那

7、么它是一个,定理,,,这两个定理称为,互逆定理,,,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,(1),a,＝,15 ,,b,＝,8 ,,,c,＝,17,(2),a,＝13 ,,b,＝14 ,,,c,＝15,分析：,根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形,,例,1,判断由,a,、,b,、,c,组成的三角形是不是直角三角形：,定理应用,解,（,1,）,15,2,＋,8,2,＝,225,＋,64,＝,289,,17,2,＝,289,,∴ 15,2,＋,8,2,＝,17,2,,∴,这个三角形是直角三角形,,（,2,）,13,2,+14,2,=

8、169+196=365,,15,2,=225,,,因为,13,2,+14,2,≠15,2,，,,,,,根据勾股定理，这个三角形不是三角形,.,定理应用,勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数,定理应用,所以这个三角形是直角三角形,.,练习,：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数,.,,（1）3, 4，,,，,,（2）6, 8，,,，,,（3）7, 24,,,，,,（4）5, 12，,,，,,（5）9, 12，,,.,基础过关题：,,(1),直角三角形一条直角边与斜边分别为,8,c,m,和,10,c,m.,则斜边上的高等于,,c,m.,,(2),

9、已知两条线段的长为,3,c,m,和,4,c,m,,当第三条线段的长为,,c,m,时,,,这三条线段能组成一个直角三角形,.,,(3)△,ABC,中,,,AB,=,AC,,∠,BAC,=120°,,AB,=12,c,m,,则,BC,边上的高,AD,=,,c,m,；,AB,边上的高,CE=,,c,m,,,（,4,）下列命题中是假命题的是,(    ),,(,A,)△,ABC,中,,,若∠,B,=∠,C,－∠,A,,,则△,ABC,是直角三角形,.,,(,B,)△,ABC,中,,,若,a,2,=(,b,+,c,)(,b,－,c,),,则△,ABC,是直角三角形,.,,(,C,)△,ABC,中,,,若

10、∠,A,∶∠,B,∶∠,C,=3∶4∶5,则△,ABC,是直角三角形,.,,(,D,)△,ABC,中,,,若,a,∶,b,∶,c,=5∶4∶3,则△,ABC,是直角三角形,.,,1,、请完成以下未完成的勾股数：,,（,1,）,8,、,15,、,——,； （,2,）,10,、,26,、,——,。,,,2,、三角形三边长分别为 、,,、,,,,则这个三角形是,——,。,,3,、如图，,△,ABC,中,，,CD,是,AB,边上的高，,,且,,,求证：△,ABC,是,,直角三角形。,A,B,C,D,4,、在正方形,ABCD,中，,F,为,DC,的中点，,,E,为,BC,上的一点

11、，且,,,,求证：∠,EFA=90°.,,A,B,C,D,F,E,5,、如图，在等边,△,ABC,中，,D,为三角形内一,,点，且,BD=3,，,DA=4,，,DC=5.,将△,BDA,沿顺时,,针旋转,60°,使点,D,到,D′,,求∠,BD′C,的度数。,,A,B,C,D′,D,8,：如图，设,A,城气象台测得台风中心在,A,城正西方向,6OOkm,的,B,处，以每小时,2OOkm,的速度向北偏东,6O°,的,BF,方向移动，距台风中心,5OOkm,的范围内是受台风影响的区域,.,,(1),A,城是否受到这次台风的影响,?,为什么,?,,(2),若,A,城受到这次台风影响，那么,A,城遭

12、受这次台风影响有多长时间,?,,课堂练习,1,判断由,a,、,b,、,c,组成的三角形是不是直角三角形：,,(1),a,＝6.5 ,,b,＝7.5 ,,,c,＝4,(,2,),a,＝11 ,,b,＝60 ,,,c,＝61,,2、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足,,,,,,试判断△ABC的形状.,课堂小结,（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？,,,,,（2）原命题、逆命题之间的关系.,,,,,,,（3）用什么方法证明勾股定理的逆定理,?,,目标检测设计,1,.,以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直角三角形的有哪些？,(1) 1 , 2 ,,,3,(2) 6 , 8 ,,,14

13、,(3) 2, 1.5 , 2.5,2,.,说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？,（,1,）两条直线平行，内错角相等,,,（,2,）对顶角相等,,,（,3,）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,目标检测设计,,3,.,已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90,0,，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?,,A,B,C,D,,目标检测设计,第十七章　勾股定理,1,7,.2,勾股定理的逆定理（第,2,课时）,八年级 下册,课件说明,,,1.内容,,应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题,.,2.学习目标,,（1）灵活应用勾股定理及逆定理解

14、决实际问题.,,（2）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.,3.教学重难点,,灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.,复习反思，引出课题,问题,1,： 　通过前面的学习，我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容.,追问,1,：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题,？,问题2：,,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗,？,P,E,Q,R,N,远航,,海天,,点击范例，以

15、练促思,P,E,Q,R,N,远航,,海天,,解：根据题意，,由“远航”号沿东北方向航行可知,.,因此,,,即“海天”号沿西北方向航行,.,点击范例，以练促思,练习1. 课本33页练习第3题。,练习2. 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？,初步应用、巩固知识,问题3 实验中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量,,,若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？,D,,C,,B,,A,,

16、综合应用、深化提高,反思小结，观点提炼,（1）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；,,,,,（2）方法归纳：数学建模的思想.,,,例,2.,如图,,,点,A,是一个,半径为,400 m,的圆形森林公园的中心,,,在森林公园附近有,B .C,两个村庄,,,现要在,B.C,两村庄之间修一条长为,1000,m,的笔直公路将两村连通,,,经测得,AB=600,m,,AC=800,m,,,问此公路是否会穿过该森林公园,?,请通过计算说明,.,,A,B,C,400,1000,D,应用拓展：,如图：边长为,4,的正方形,ABCD,中，,F,是,DC,的中,,,点，且,CE= BC,，则,AF

17、⊥EF,，,试说明理由,解：连接,AE,,∵ABCD,是正方形，边长是,4,，,F,是,DC,的中点，,EC=1/4BC,∴,根据勾股定理，在,,Rt△ADF,，,AF,2,=AD,2,+DF,2,=20,,,Rt△EFC,，,EF,2,=EC,2,+FC,2,=5,,,Rt△ABE,，,AE,2,=AB,2,+BE,2,=25,∴,AD=4,，,DF=2,，,FC=2,，,EC=1,∴,AE,2,=EF,2,+AF,2,∴∠AEF=90°,即,AF ⊥EF,A,3,．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．,,A,．,B,．,7,，,24,，,25,,,C,．,4,，,7.5

18、,，,8.5 D,．,3.5,，,4.5,，,5.5,1,．请完成以下未完成的勾股数：,,（,1,）,8,、,15,、,_______,；（,2,）,10,、,26,、,_____,．,,,2,．△,ABC,中，,a,2,+b,2,=25,，,a,2,-b,2,=7,，又,c=5,，,,则最大边上的高是,_______,．,,4.,如图，两个正方形的面积分别,,为,64,，,49,，则,AC=,,.,,,A,D,C,64,49,17,6.,在,Rt△ABC,中,,∠C=90°,CD,是高,,AB=1,,则,2 CD,2,+ AD,2,+BD,2,=,＿＿＿＿,;,7.,三角形的

19、三边长,a, b, c,满足,,,a,2,+b,2,+c,2,+338 = 10a + 24b +26c,,,此三角形为＿＿＿＿＿三角形,.,,9,．一艘轮船以,20,千米,/,时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以,15,千米,/,时的速度向东南方向航行，它们离开港口,2,小时后相距多少千米？,,10,．已知：如图，∠,ABD=∠C=90,°,，,AD=12,，,AC=BC,，∠,DAB=30,°,，求,BC,的长．,,,,,,,11,、如图，已知：,CD⊥AB,于,D,，,,求证：△,ACB,为直角三角形,,A,,B,,D,,C,,证明：∵,CD⊥AB,,∴AC,2,=A

20、D,2,+CD,2,BC,2,=CD,2,+BD,2,,,∵AC,2,=AD×AB,,∴AD,2,+CD,2,=AD×AB,,∴CD,2,=AD×AB,－,AD,2,,=AD(AB,－,AD),,=AD×BD,,∴ BC,2,=CD,2,+BD,2,=AD×BD+BD,2,,,=BD(AD+BD),,=BD×AB,,∴AC,2,+BC,2,=AD×AB+BD×AB,,=AB(AD+BD),,=AB,2,,∴△ACB,为直角三角形,.,CD=,cm, AD=2cm, AC⊥AB,。,12,、已知：在四边形,ABCD,中，,AB=3cm, BC=5cm,,求：,S,四边形,ABCD,∵,AC⊥AB

21、(,已知,),∴,AC,2,+AB,2,=BC,2,(,勾股定理,),∵,AB=3cm,BC=5cm,又∵,CD=2 cm AD=2cm(,已知,),∴,AC,2,=16 , CD,2,+AD,2,=12+4=16,∴,AC,2,=CD,2,+AD,2,∴ ∠,ADC=90,0,(,勾股定理的逆定理,),∴,S,四边形,ABCD=S,△,ABC+ S,△,ACD,∴,= ×3 × 4+ × 2,•,2,,=6+2 (cm,2,),= AB,•,AC+ AD,•,CD,解,（,1,）,边长为,8,和,4,的矩形,OABC,的两边分别在直角坐标系

22、的,X,轴和,Y,轴上，若 沿对角线,AC,折叠后，点,B,落在第四象限,B,1,处，设,B,1,C,交,X,轴于点,D,，,求（,1,）三角形,ADC,的面积，（,2,）点,B,1,的坐标，（,3,）,AB,1,所在的直线解析式。,O,C,B,A,B,1,D,1,2,3,E,1,、如图，在四边形,ABCD,中，∠,BAD=90,°,，,AD=4,，,AB=3,，,BC=12,，,求正方形,DCEF,的面积．,,,2,、已知，如图，,Rt△ABC,中，∠,BAC=90,°,，,AB=AC,，,D,是,BC,上任意一点，,,求证：,BD,2,+CD,2,=2AD,2,．,,提升“学力”,目标

23、检测设计,1．小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米，回到检录处，则他开始走的方向是（假设小明走的每段都是直线） （ ）,,,A.南北 B.东西,,,C.东北 D.西北,,,,2．甲、乙两船同时从港出发，甲船沿北偏东的方向，以每小时9海里的速度向岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地.如果两船航行的速度不变，且两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度？,目标检测设计,

24、,3．如图是一块四边形的菜地，已知,,,求这块菜地的面积.,,D,,C,,B,,A,,目标检测设计,例,1 “,荡秋千”,平地秋千未起，,,踏板一尺离地，,,送行二尺与人齐，,,五尺人高曾记。,,仕女佳人争蹴，,,终朝笑语欢嬉,,良士高士素好奇，,,算出索长有几？,——,明朝程大位著作,《,直指算法统宗,》,例,2: “,印度荷花问题”,湖静浪平六月天,,荷花半尺出水面,,忽来一阵狂风急,,湖面之上不复见,,入秋渔翁始发现,,残花离根二尺遥,,试问水深有几许？,——,印度数学家,拜斯迦罗,（公元,1114,——,1185,年）,例,3 “,执竿进屋”,笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹。,,横多四尺竖多二，没法急得放声哭。,,有个邻居聪明者，教他斜竿对两角。,,笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。,,借问竿长多少数，谁人算出我佩服。,,……,——,当代数学教育家、清华大学教授,许莼舫,,著作,《,古算题味,》,chun,fang,