大学热学第七讲 平均自由程

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1、气体分子热运动,平均动能,——,单原子分子：,刚性双原子分子：,非刚性双原子分子：,气体分子,平均能量,——,单原子分子：,刚性双原子分子：,非刚性双原子分子：,摩尔内能,单原子分子：,刚性双原子分子：,非刚性双原子分子：,气体内能,——,26, 27,单原子分子气体,：,刚性双原子分子气体：,非刚性双原子分子气体：,与温度无关,在不同温度时双原子气体,H,2,,的,C,V,m,,,,反常行为,氢气定体热容反常和,自由度冻结,假说,:,其解释是气体分子的,自由度会发生冻结和解冻。并且不是所有分子同时冻结和同时解冻。,,转动自由度冻结或解冻,振动自由度解冻,H,2,分子：,T<10,2,K,，

2、,f,=3 (,平动,),10,2,K < T< 10,3,K,f,=5 (+,转动,),T> 10,3,K,，,,f,=6 (+,振动,),,至于为什么自由度会被“冻结”，为什么随温度升高自由度会逐渐“解冻”，一切经典理论对此都无法解释,。,,,这需借助量子理论，其关键是转动动能与振动能并不能连续变化，而是分能级的，即能量是量子化的。,三,.,理想气体的内能,四,.,理想气体的,热容量,二,.,能量按自由度均分定理,一.,自由度,五,.,经典理论的缺陷,§3.4,能量按自由度均分定理,四,.,经典理论的缺陷,物理学发展的重大变革．．．．．,19,世纪末,,牛顿力学（

3、海王星,38,）,,电磁学（麦言电磁波存在,13,）,,热学（,唯象热力学和分子运动论,）,,光学,,原子物理学（玻尔）,H.D.,玻尔,(N.H.D.Bohr) 1885~1962,丹麦人，,关于原子结构以及原子辐射的研究,.,普朗克,(M.Planck) 1858~1947,德国人,提出量子假说,.,1900年——quantum,爱因斯坦,(A.Einstein,）,1879~1955,德国和瑞士人，,数学物理学的成就,,,特别是光电效应定律的发现,.,1905—relativity,费米（,E.Fermi,）,1901~1954,意大利人，,37,岁,,发现由中子照射产生的新放射性元素

4、并用慢中子实现核反应,量子力学,薛定谔,(,E.Schrodinger,) 1887~1961,,奥地利人,,创立波动力学理论,四,.,经典理论的缺陷,1.,振动能对热容量的影响,四,.,经典理论的缺陷,1.,振动能对热容量的影响,相当于多高温度的能量？,2.,转动能对热容量的影响,量子理论过渡到经典理论,§3.1,气体分子的速率分布律,第三章,§3.2,分子射线束实验,验证,Maxwell,,§3.3,玻尔兹曼分布律,,重力场中微粒按高度的分布,,§3.4,能量按自由度均分定理,,,第二章,气体分子运动论的基本概念,,,第三章,气体分子热运动,,速率和能量的统计分布律,,气动论,平衡态,理

5、论,气体,平衡态,的微观过程,平衡态,非平衡态,伊里亚,·,普里戈金,Ilya,Prigogine 1917-,,比利时化学家,,1977,诺贝尔化学奖,,耗散结构理论,,,,普里戈金的早期工作在,化学热力学,领域，,1945,年得出了最小熵产生原理，此原理和翁萨格倒易关系一起为,近平衡态线性区,热力学,奠定了理论基础。,普里戈金以多年的努力，试图把最小熵产生原理延拓到,远离平衡的非线性区,去，,但以失败告终，使他认识到系统在远离平衡态时，其热力学性质可能与平衡态、近,平衡态有重大原则差别。以普里戈金为首的布鲁塞尔学派又经过多年的努力，终于,建立起一种新的关于非平衡系统自组织的理论──,,耗散

6、结构理论,。,,,这一理论于,1969,年由普里戈金在一次“理论物理学和生物学”的国际会议上正式提出。耗散结构理论提出后，在自然科学和社会科学的很多领域如物理学、天文学、生物学、经济学、哲学等都产生了巨大影响。著名未来学家阿尔文,·,托夫勒在评价普里戈金的思想时，认为它可能代表了一次科学革命。,,第四章 气体内的输运过程,,黏,滞现象,,热传导过程,,扩散过程,,输运过程,非平衡态,气体的微观过程，接近平衡时非平衡态过程。,2.,本章的研究内容,—,,,线性非平衡理论,(,输运过程,),3.,,本章研究手法,：,1.,简介非平衡理论的发展史,分子的碰撞机构,分子刚性,弹性碰撞,刚球的弹性碰撞,

7、平均自由程,4.,平均自由程理论处理输运的特点：,理论不严格，结果不准确,,理论简单，有效揭示实质。,平均自由程,牛顿粘滞定律,傅立叶传导定律,菲克扩散定律,3.,,本章研究手法,：,第四章 气体内的输运过程,§4.3,输运过程的微观解释,,§,4.2,输运过程的宏观规律,§4.1,气体分子的平均自由程,,§4.1,气体分子的平均自由程,,碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行进了十分曲折的路程，分子间不断交换能量与动量。,,系统的平衡借助频繁的碰撞才能达到。,,气体的输运过程来自分子的热运动,气体分子运动过程中经历十分频繁的碰撞,一,.,分子的平均自由程 和平均碰撞频率,1.,分

8、子的有效直径,——,两个分子的质心间的最小距离的平均值,对心碰撞,分子平均在单位时间内与其他分子相碰的次数 。,2,.,平均自由程和平均碰撞频率,分子从,A,处,移至,B,处，只能沿着曲折的道路前进！,,,理想气体分子在两次碰撞之间可认为是匀速运动，两次碰撞之间所走过的路程称为自由程，以,λ,表示,。,,,任一分子任一个自由程长短、以及所用的时间都有偶然性！,,,分子连续两次碰撞之间通过的自由路程的平均值 。,反映分子间碰撞的频繁程度,!,自由程和碰撞频率平均值由气体的性质和状态,,决定，它们和哪些因素有关？,单位时间内分子所走道路上相碰的分子数,3.,计算公式,公式,（,1,）,公式,

9、（,2,）,跟踪分子,A,,以相对运动平均速率 代替平均速率 ！,B,的质心恰在圆柱体内所以被碰撞,质心与,A,间距,r,,d,的分子才会相碰，以,d,为半径垂直于路线做折圆柱体！,E,的质心不在圆柱体内,,,不被碰撞,C,的质心在圆柱体内被碰撞,单位时间内,A,,分子所扫出的“圆柱体”中的分子数， 就是分子的平均碰撞频率。,分子碰撞截面,平均碰撞频率为,平均自由程为,公式,（,2,）,其中 对于同种分子，,*,相对运动平均速率的推导,两体问题,质心速率,相对速率,u,气体分子间相对运动速率分布,相对运动平均速率,及,相对运动速率分布,,在混合理想气体的微观过程分析中是十分

10、重要的。,相对运动平均速率,平均碰撞频率为,平均自由程为,公式,（,2,）,对于同种分子,,,重要结论：,,平均自由程与分子有效直径的平方和分子数密度的乘积成反比。,公式,（,2,）,在温度不变时平均自由程与压强成反比。,一,.,分子的平均自由程 和平均碰撞频率,§4.1,气体分子的平均自由程,,1.,分子的有效直径,2.,平均自由程和平均碰撞频率,3.,计算公式,[,例,4.1],估计标准状况下空气分子平均自由程和碰撞频率。,空气分子,d,=3.5×10,-10,m,,,，,分子量,29,,[,解,],：,已知,,T,=,273K,,,p,=,1.0atm,,,,将它们代入，,,,,2.

11、7×10,25,/m,3,,（,1,）为什么日光灯管必须保持足够的真空度,?,被加热的灯丝发射电子,被加热的灯丝发射电子,,,,电子在电场中加速到足夠速度去撞击水银分子,水银分子被电子撞击后发射紫外光,,,照射到萤光粉上,萤光粉被,紫外光照射后发出光的总效果是白光,**,:,平均自由程公式 应用于日光灯,,,显象管,n,越小,,,平均自由程就越大,,,热电子发射产生的电子在电场中就有足够长的加速路程，获得足够大的动能，以便去冲击,日光灯管中的水银分子而发射出紫外光。,被加热的灯丝发射电子,被加热的灯丝发射电子,,,,电子在电场中加速到足夠速度去撞击水银分子,水银分子被电子撞击后发射紫外光

12、照射到萤光粉上,萤光粉被,紫外光照射后发出光的总效果是白光,（,2,）显象管的发光原理又是怎样的,?,被,灯丝加热的阴极发射电子,电子在电场中加速并且聚焦为电子束,萤光粉被电子束撞击后发出三色光,**,:,平均自由程公式 应用于日光灯,,,显象管,显象管的发光需要具有足够大的动能的电子束,,,所以气体分子和电子碰撞的,平均自由程应该比,显象管的深度大得多。,,显象管中的气体压强应该非常小。,被,灯丝加热的阴极发射电子,电子在电场中加速并且聚焦为电子束,萤光粉被电子束撞击后发出三色光,一,.,分子的平均自由程 和平均碰撞频率,二,.,分子按自由程 分布,§4.1,气体分子的平均自由程,

13、,三条基本统计规律,Boltzmann,分布律,能量按自由度均分,分子按自由程分布,二,.,分子按自由程 分布,推导思路：,,在某一时刻考虑一组分子共,N,0,个，它们匀速运动中将与组外的分子相碰，每碰一次组内就减少一个；该组分子在通过路程,x,时，还剩有,N,(,x,),个，运动到,x+,d,x,时，组内又减少了,d,N,个，即增量为,-,d,N,,,分离变量法解一阶常微分方程得：,表示在,N,0,个分子中自由程大于,x,的分子数,初始条件,:,x=,0,，,N,(,x,),=N,0,三条基本统计规律,Boltzmann,分布律,能量按自由度均分,分子按自由程分布,二,.,分子按自由程

14、 分布,一,.,分子的平均自由程 和平均碰撞频率,二,.,分子按自由程 分布,§4.1,气体分子的平均自由程,,第四章 气体内的输运过程,§4.3,输运过程的微观解释,,§,4.2,输运过程的宏观规律,§4.1,气体分子的平均自由程,,密度不均匀,质量迁移,扩散过程,流速不均匀,动量迁移,粘滞过程,输 运 过 程,非平衡态,平衡态,输运过程,:,物质内出现动量、能量或质量的转运过程。,温度不均匀,能量迁移,热传导过程,§ 4.2,输运过程的宏观规律,粘滞现象,,热传导现象,,扩散现象,,输运过程,共同的,宏观规律,和微观机构,一,.,粘滞现象,,(1),,层流,,流体在流速较小时将作

15、分层平行流动，流体质点的轨迹是有规则的光滑曲线，,,不同质点轨迹线不相互混杂。,,流体在河道、沟槽及管道内的流动情况相当复杂，它与,流速,有关、与管道、沟槽的形状及表面情况有关，也与流体本身性质及温度、压强等因素有关,.,直圆管中流体流速分布,:,流体达到稳定流动时的流速分布如图,,,,,流速,箭头的包络面为抛物面,,,,,,,层流,发生在,流速较小，,即雷诺数较小时。,,雷诺数,R,e,,=,,u,,/ r,对于直圆管中流动，当雷诺数超过,2300,左右时流体流动成为湍流。,,,(2),湍流,湍流是流体的不规则运动，是一种宏观的随机现象；,,湍流中流体流速随时间和空间坐标作随机的紊乱变化

16、。,（雷诺数,R,e,,=,,u,,/ r,）,,,,,,,,,,,,,,水中的层流 水中的湍流 香烟烟雾,(,从层流变到湍流,),认为,宏观规律是确定性,的，,微观过程,具有,随机性,，因而湍流是,宏观随机性,的一个范例,。,,,20,世纪,70,年代，发现自然界中普遍存在一类在,决定性的动力学系统,中出现的貌似随机性的宏观现象，人们称它为混沌。,,(2),湍流,混沌—奇妙的科学,从数学上说,,,对于确定的初始值,,,决定性的方程应该给出确定的解,,,从而描述系统的确定性行为。,,但是,,,在某些非线性系统中,,,这种过程会因为,初,始,值,极微小的扰动而结果产

17、生很大的变化。也就是说,,,系统对,初始值,有极敏感的依赖性,.,即,失之毫厘,,,差之千里,。,,由于这种对,初始值依赖的敏感性,,,从物理上看,,,过程好象是随机的。,,(2),湍流,气象学家爱德华,·,洛伦兹,EdwardLorenz,这种 ‘假随机性’与方程中有反映外界干扰的,随机项或随机系数,而引起的随机性不同,,,是决定性系统内部所固有的,,,可以称为,‘内禀随机性’。,,以上这些都是混沌的主要特征，上世纪,70-80,年代学术界掀起了混沌理论的热潮,,,波及整个自然科学。在媒体报导下,,,又将‘混沌’一词传播到社会上。,,(2),湍流,混沌和分子混沌性的区别,分子混沌性来源于,1

18、9,世纪,70,年代玻耳兹曼所提出的假设：在没有外场时，处于平衡态的气体分子应均匀分布于容器中。在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相互独立。,,而这里的混沌是指在决定性的动力学系统中出现的貌似随机性的宏观现象。它是一种对初始条件依赖十分明显的非线性现象。,,(2),湍流,一,.,粘滞现象,,(1),,层流,,,流体在河道、沟槽及管道内的流动情况相当复杂，它与,流速,有关、与管道、沟槽的形状及表面情况有关，也与流体本身性质及温度、压强等因素有关,.,,(2),湍流,(,3,),稳恒层流,中的粘滞力 牛顿粘滞定律,（,3,）稳恒层流中的,黏,

19、滞力 牛顿,黏,滞定律,稳态流动的流速不大，流体分成许多不同速度的水平薄层作层流。,,,,,,,,,,流体作层流时，考虑任一平行于流速,u,的截面,d,s,，,在它的两侧相邻两层流体,A,、,B,上，作用有一对阻止它们相对“滑动”的切向作用力与反作用力,。,z,0,A,B,u,它使流动较快一层流体减速，较慢的一层流体加速,.,这种力为,黏,滞力,，,内摩擦力。,粘滞力大小,:,比例系数,η,,,——,称为流体的,黏,滞系数,,,η,的单位为泊,,,以,P,表示，,,z,0,A,B,u,牛顿,黏,滞定律,它使流动较快一层流体减速，较慢的一层流体加速,.,这种力为,黏,滞力,，,内摩擦力。,黏,滞

20、力大小,:,比例系数,η,,,——,称为流体的,黏,滞系数,,,η,的单位为泊,,,以,P,表示，,,z,0,A,B,u,牛顿,黏,滞定律,黏,滞现象交换的是流层间的,定向动量,!,则：,z,0,A,B,u,——,负号表示动量沿流速减小的方向输运！,流体的,黏,滞系数,η,,表,,流,,体,t/℃,,流 体,t/℃,,流体,t/℃,,,水,,0,1.7,,甘油,,0,10000,水汽,,0,0.0087,,20,1.0,,20,1410,CO,2,20,0.0127,,40,0.51,,60,,81,,H,2,,20,0.0089,血液,37,4.0,,空气,,0,0.0171,N,2,,,

21、0,0.0167,机油,30,200,,20,0.0182,O,2,,0,0.0199,蓖麻油,20,9860,,40,0.0193,CH,4,,,0,0.0103,(1),易于流动的流体其,黏,滞系数较小：气体,<,液体,,(2),液体,黏,滞系数,随温度升高而降低；气体,随温度升高而,增加。,(,流速不均匀,),(,动量的交换,),(,流速减小方向,),§ 4.2,输运过程的宏观规律,,,,当系统内部各部分之间的温度不均匀时就有热量从温度较高处传递到温度较低处，这种现象叫做热传导现象。,二,.,热传导现象,Z,Z,0,ds,B,A,傅里叶定律,T,1822,法国科学家傅里叶（,Fourie

22、r,）,定律认为热流,d,Q/,d,t,(,单位时间内通过的热量）与温度梯度,d,T,/,d,z,,及横截面积,d,s,,成正比，,,,,,,,,其中比例系数,,称为导热系数,,,其单位为,W,/,m,·,K,。,负号表示热量从温度较高处流向温度较低处。,傅里叶定律,在混合气体内部,，,当某种气体的密度不均匀时，由于分子的热运动使这种气体分子从密度高的地方迁移到密度低的地方的现象称为扩散。,三,.,扩散现象,二、分子在不停地运动着，,运动是无规则的,…,1.,扩散,（,1,） 气体,,抽除隔板后使标准状况下的氧气氮气混合,：,打开阀门,C,后的空气和溴气,：,P46 图2-2,（,2,） 液

23、体,,清水中滴入的墨水,高浓度,-〉,低浓度,（,3,） 固体,,一切物体的分子都在不停的运动着,,在混合气体内部,，,当某种气体的密度不均匀时，由于分子的热运动使这种气体分子从密度高的地方迁移到密度低的地方的现象称为扩散。,三,.,扩散现象,宏观气流,是由成团粒子整体定向运动所产生。,三,.,扩散现象,单纯扩散,——,温度和总压强处处相等时,互扩散,是发生在混合气体中，由于各成份的气体空间不均匀，各种成份分子均要从高密度区向低密度区迁移的现象。,自扩散,是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过程。,Z,Z,0,ds,B,A,d,M,表示,d,t,

24、,时间内沿,z,轴正方向穿过,d,s,,的气体质量，则,其比例系数,D,,称为扩散系数,，,单位为,m,2,/s,。,,式中负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。,——,菲克定律,1855,年法国生理学家菲克提出了描述扩散规律的基本公式。,菲克定律也可用于互扩散。,ρ,§ 4.2,小结,(,流速不均匀,),(,温度不均匀,),(,密度不均匀,),(,动量的交换,),(,热量的交换,),(,质量的交换,),(,流速减小方向,),(,温度降低的方向,),(,密度减小的方向,),流体趋向各处均匀一致的特性：趋向平衡的特性,为消除不均匀性所作的内部调整,内部某种不均匀性所引起,梯度为不均匀性的定量描述！,第四章 气体内的输运过程,习题：,3,，,4,，,7,，,16,，,17,