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1、前页,结束,后页,章,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,前页,结束,后页,章,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,4.1 不定积分的概念与性质,4.2 不定积分的换元积分法,4.3 不定积分的分部积分法,第4章 不定积分,结束,4.1 不定积分的概念与性质第4章 不定积分结束,又如,d(sec,x,),=,sec,x,tan,x,d,x,，,所以,sec,x,是,sec,x,tan,x,的原函数.,定义,设,f,(,x,)在某,区间上,有,定义,，如果对该区间的任意点,x,都有,F,(,x,)=,f,(,x,),或,d,F,(,x,),=f,(,x,)d,x,
2、则称,F,(,x,),为,f,(,x,),在该区间上的一个原函数,.,4.1.1 原函数的概念,例如,:,，,是函数 在 上的原函数,.,sin,x,是cos,x,在 上的原函数,.,4.1 不定积分的概念与性质,又如d(sec x)=sec x tan xdx,(2)如果,f,(,x,),在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个,注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在,例如,而,在 上 是 的原函数,也是它的原函数,即 加任意常数都是 的原函数.,(3),若函数,f,(,x,),在区间,I,上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.,(2)如果f(x)在某
3、区间上存在原函数，那么原函数不是,定义2 如果函数,F,(,x,),是,f,(,x,)在,区间,I,上,的一个原函数，那么,f,(,x,)的全体,原函数,F,(,x,),C,(,C,为任意常数)称为,f,(,x,)在,区间,I,上,的不定积分.记作,其中记号 称为积分号,，,f,(,x,),称为被积函数，,f,(,x,)d,x,称为被积表达式，,x,称为积分变量，,C,为积分常数.,即,2.不定积分的概念,定义2 如果函数F(x)是f(x)在区间 I 上的一个原函,例,2,求,解,例,1,求,解,例2 求解例1 求解,例,3,求,解,例3 求解,3 不定积分与微分的关系,微分运算与积分运算互为
4、逆运算.,特别地，有,3 不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算.,4.1.2不定积分的基本积分公式,4.1.2不定积分的基本积分公式,经济数学-第四章不定积分课件,例,4,计算下列积分,解,例4 计算下列积分解,例5,计算下列积分,解,(1),(2),例5 计算下列积分解 (1)(2),4.1.3 不定积分的性质,性质,1,被积函数中不为零的常数因子可以移到积分,号的前面.,性质,2,可以推广到有限多个函数的情形，即,性质,2,两个函数的和,(,或差,),的不定积分等于各函数,不定积分的和,(,或差,),，即,4.1.3 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因,例,6,求,
5、解,注,逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意,常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只,要写出一个任意常数即可,例6 求解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意,例,7,求,解,例,8,求,解,例7 求解例8 求解,解,例,11,求,解例11 求,例,12,求,解,有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但,经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数,的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。,例12 求解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但,解,例1,4.2 换元积分法,4.2.1 第一类换元法,解例14.2 换元积分法4.2.1 第一类换元法,定理,1,定理1,根据不定积分的定义，则有,公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.,也称“凑微分”法,应用定理1求不定积分的步骤为,根据不定积分的定义，则有 公式(1)称为不定积,例2 求,解,例2 求解,设 是单调可导的函数，且,定理2,那么,应用第二类换元法求不定积分的步骤为,设 是单调可导的函数，且定理2,由函数乘积的微分公式,移项得,对上式两端同时积分，得,公式(1)或公式(2)称为分部积分公式,.,或,4.3,分部积分法,由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得公式(1)或,例1 求,解,例1 求解,
《经济数学》-第四章不定积分课件
