2013年浙江省富阳市第二中学高二数学课件：1.3.1《函数的导数与单调性》1（新人教A版选修2-2）

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1、,§3.1,函数的单调性,y,x,0,复习引入,：,,问题,1,：,怎样利用函数单调性的定义,,来讨论其在定义域的单调性,1,．一般地，对于给定区间上的函数,f(x),，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,x,1,，,x,2,，当,x,1,f (x,2,),，那么,f(x),在这个区间,,上是,减函数,此时,x,1,-x,2,与,f(x,1,)-f(x,2,),异号,,,

2、即,(2),作差,f(x,1,),－,f(x,2,),，并,变形,.,2,．由定义证明函数的单调性的一般步骤：,(1),设,x,1,、,x,2,是给定区间的任意两个,,值，且,x,1,< x,2,.,(3),判断,差的符号,(,与０比较,),，从而得函数的单调性,.,例,1,：,讨论函数,y=x,2,－,4x,＋,3,的单调性,.,解：取,x,1,

3、,－,x,2,)(x,1,+x,2,－,4,）,,则当,x,1,f(x,2,),，,,那么,y=f(x),单调递减。,,当,20,，,f(x,1,)

4、2,单增区间：,(-∞,，,-1),和,,（,1,，,+∞,）,.,单减区间：,(-1,，,0,）和,,（,0,，,1,）,.,,例,2,：,讨论函数　　　　　的单调性。,,那么如何求出下列函数的单调性呢,?,发现问题：用单调性定义讨论,,函数单调性虽然可行，但十分,,麻烦，尤其是在不知道函数图,,象时,.,例如,y=x,3,+2x,2,-x.,是否有更,,为简捷的方法呢？下面我们通,,过函数的,y=x,2,－,4x,＋,3,图象来考,,察,单调性,与,导数,有什么关系：,这表明：导数的正、负与函数的单调性密,,切相关,2,y,x,0,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数,y=x,2,－,4

5、x,＋,3,的图象：,总结,:,该函数在区间,,（－∞，,2,）上单减,,,,切线斜率小于,0,,即其,,导数为负,,,在区间（,2,，,+∞,）上单增,,,切线斜率大于,0,,即其导数为正,.,而当,x=2,时其切线斜率为,0,,即导数为,0.,,函数在该点单调性发生改变,.,结论,:,一般地,,,设函数,y=f(x),在某个区间,,内可导,,,则函数在该区间,,如果,f′(x)>0,,,注意,:,如果在,某个区间内,恒有,f′(x)=0,,则,f(x),为常数函数,.,如果,f′(x)<0,,,则,f(x),为,增,函数,;,则,f(x),为,减,函数,.,例,3,：,求函数,f(x)=2

6、x,3,-6x,2,+7,的单调区间,.,解,:,函数的定义域为,R,,f′(x)=6,x,2,-12x,,令,6,x,2,-12x>0,,解得,x<0,或,x>2,，,,则,f(x),的单增区间为（－∞，,0,）和,,（,2,，＋∞）,.,,再令,6,x,2,-12x<0,,解得,0

7、-1>0,时,,,解得,x>0.,,则函数的单增区间为,(0,+∞).,,,当,e,x,-1<0,时,,,解得,x<0.,,即函数的单减区间为,(-∞,0).,总结：,根据导数确定函数的单调性,1.,确定函数,f(x),的,定义域,.,2.,求出函数的导数,.,3.,解不等式,f ′(x)>0,,得函数单增区间,;,,,解不等式,f′(x)<0,,得函数单减区间,.,,知识应用,1,．应用导数求函数的单调区间,(1),．函数,y=x,－,3,在,[,－,3,，,5],上为,______,函数,(,填,“,增,”,或,“,减,”,),。,基础训练：,增,(2),．函数,y = x,2,－,3x,

8、,在,[2,+∞),上为,______,函数，在,(-∞,1],上为,___,函数，在,[1,2],上为　 　　　函数,,(,填,“,增,”,或,“,减,”,或,“,既不是增函数，也不是减函数,”,),。,增,减,既不是增函数,,又不是减函数,变,1,：,求函数 　的单调区间。,,理解训练：,求函数 的单调区间。,例,1,变,2,：,求函数 的单调区间。,巩固训练：,变,3,：,求函数 的单调区间。,已知导函数的下列信息：,试画出函数 图象的大致形状。,A,B,x,y,o,2,3,,例,2,2

9、,．应用导数信息确定函数大致图象,设,是函数,的导函数，,的图象如,,右图所示,,,则 的图象最有可能的是,(,),x,y,o,1,2,,x,y,o,1,2,,x,y,o,1,2,,x,y,o,1,2,,x,y,o,2,,(A),(B),(C),(D),C,,高,考,尝,试,,,,高,考,尝,试,B,1,、函数,f(x)=x,3,-3x+1,的减区间为,( ),,(-1,1),,(1,2),,(C) (-∞,-1),,(D) (-∞,-1),，,(1, +∞),课 堂 练 习,A,3,、当,x∈(-2,1),时，,f(x)=2x,3,+3x,2,-12x+1,是,( ),,单调递增函数 （,B,）单调递减函数,,(C),部份单调增，部分单调减,,(D),单调性不能确定,2,、函数,y=a(x,3,-x),的减区间为,,a,的取值范围为,( ),,(A)a>0 (B),–,11 (D) 0