第2章信号和系统的频域分析课件

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1、,,,,*,第,2,章 时域离散信号和系统的频域分析,第,2,章 信号和系统的频域分析,,2.1,引言,,2.2,序列的傅里叶变换,,2.3,周期序列的离散傅里叶级数,,2.4,时域离散信号的,FT,与模拟信号的,FT,的关系,,2.5,序列的,Z,变换,,2.6,利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,,2.1,引言,,,我们知道信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法，频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析方法相当于用化学分析方法间接看水。,,时域分析 频域分析,,,f(t,)

2、 F(Ω),,,x(n,),X(e,jω,),,,在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。,,在离散领域：系统用差分方程,？,、,Z,变换,？,和傅里叶变换,？,描述,。,,,连续信号和系统的 离散信号和系统的,,频域分析 频域分析,,,,,,2.2,序列的傅里叶变换的定义及性质,,2.2.1,序列傅里叶变换的定义,,,FT[x(n,)]=,,,,,IFT[X(e,jω,)]=,x(n,)=,序列的傅里叶变换

3、,序列的傅里叶反变换,,,例,2.2.1,设,x(n)=R,N,(n),， 求,x(n),的,FT,。,,解：,设,N=4,，,X(ω,),的幅度与相位随,ω,变化曲线如图,2.2.1,所示。注意观察它的周期性,？,。,,,图,2.2.1 R,4,(n),的频谱的幅度与相位曲线,,2.2.2,序列傅里叶变换的性质,,1. FT,的周期性,,在定义,(2.2.1),式中，,n,取整数， 因此下式成立,M,为整数,(2.2.6),它说明序列的傅里叶变换是频率,ω,的周期函数，周期是,2π,。在,ω=0,和,ω=2,πM,附近的频谱分布是相同的。在,ω=0,，,±2π,，,±4π,，,···,点

4、上表示信号,x(n,),的直流分量，在,ω= ±π,，,±3π,，,±5π,，,···,点上表示信号,x(n,),的高频分量,？,。,,例如：信号,x(n,)=,cos(ωn,),，当,ω=2πM,时它没有变化，当,ω=2πM+π,时它变化最快，用图表示如图,2.2.2,。,,,图,2.2.2,cos,（,ωn,）的波形,,,2. FT,的线性,那么,,设,,式中,a, b,为常数 。,,3.,FT,的,时移与频移,,设,X(e,jω,)=FT,［,x(n),］，,那么,,,,证明方法： 令,l=n-n,0,,(2.2.7)

5、,(2.2.8),(2.2.9),,,,,例,2.2.2,试分析,x(n)=e,jωn,的对称性,,解： 将,x(n),的,n,用,-n,代替， 再取共轭得到：,,,x*(-n)= e,jωn,,,因此,x(n)=x*(-n),，,满足,(2.2.10),式，,x(n),是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到,,,x(n)=,cos(ωnJ)+j,,sin(ωn,),,,由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。,,一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即,,,x(n)=,x,e,(n)+x,o,(n,)

6、 (2.2.16),,式中,x,e,(n,),和,x,o,(n,),可以分别用原序列,x(n),求出：,,(2.2.18),(2.2.19),,,,,对于频域函数,X(e,jω,),也有和上面类似的概念和结论：,,,X(,e,jω,)=,X,e,(,e,jω,)+X,o,(,e,jω,) (2.2.10),,,共轭对称部分,X,e,(,e,jω,) =,X,e,*,,(e,-jω,) (2.2.21),,,共轭反对称部分,X,o,(,e,jω,),=-X,o,*,,(e,-jω,)

7、(2.2.22),,,(2..23),(2.2.24),,对称性,,(a),若,,x(n)=,x,r,(n)+jx,i,(n,),，对该式进行,FT,， 得到,,,x,r,(n,),→,,X,e,(e,,jω,),,,jx,i,(n,),→,X,o,(e,,jω,),,(b),若,x(n,)=,x,e,(n)+x,o,(n,),，对该式进行,FT,，得到,,,x,e,(n,) →,X,R,(e,jω,),,,x,o,(n,) →,jX,I,(e,jω,),,用途：加快,DFT,，节约计算机资源,,x(n,) →,X(ω,),,=x,1,+jx,2,→=X,1,+jX,2,,X,1

8、,=,X,e,=(,X(ω,) + X,*,(-ω))/2,,X,2,=-,jX,o,=-,j(X(ω,) - X,*,(-ω))/2,,,,5.,FT,的,时域卷积定理,,设,y(n)=x(n)*h(n),,,,则,Y(e,,jω,)=X(e,jω,)·H(e,jω,) (2.2.32),,6. FT,的频域卷积定理,,设,y(n,)=,x(n)·h(n,) (2.2.33),,,则,,,2.3,周期序列的离散傅里叶级数,,,定义,设 是以,N,为周期的周期序列,,,则离

9、散傅里叶级数为,,,,物理意义,周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的 表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。,X(k,),表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理,FT,的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。,,,,例,2.3.1,设,x(n)=R,4,(n),，将,x(n),以,N=8,为周期，进行周期延,,拓，得到如图,2.3.1(a),所示的周期序列 ，周期为,8,，求,,的,DFS,。,,解： 按照定义,,,例,2.3.1,图,,习题,2,的解：,,1,建立数学模型,FT

10、,的反变换表达式为,,,x(n,)=,,因为,MATLAB,是做数值计算的，所以改写表达式,,,x(n,)=,,,,写成,,,,,,MATLAB,程序,DSP7.m,,clear,,,N=200; %0,到,pi,的频分点数,,dw,=pi/,N;w,=[1:N]*,dw,; %,角频率的间隔,,X=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)]*pi; %,给出频谱函数,,ln,=200; %,给出序列的正长度,,n=0:ln; %,给出序列的正序号,,x=X*,exp(j,*w‘*n)*,dw,/pi; %,求,X(w,),的傅里叶反变换

11、,,subplot(2,1,1),plot(w,X),grid,,title(',频谱,X(w,),的波形图,'),,xlabel(‘w,/,弧度,'),,ylabel('X(w,)');,,subplot(2,1,2),stem(n,abs(x),'.'),grid,,title(',序列,x(n,),的波形图,'),,xlabel('n'),ylabel('x(n,)');,,s,h,g,,,,3,程序运行结果,,频分点,N=200,时,,,,,,频分点,N=100,时,,习题,6,（,2,）的解：,,1,建模 从序列的傅里叶变换的定义出发,,,为了计算，将连续频率,w,设置成离散

12、频率，得到频谱,,X=x*exp(-j*n’*w),,2 MATLAB,程序,DSP8.m,clear,,,n=-1:1; %,建立序号,,x=[.5,1,.5];%,给出序列,,w=linspace(0,2*pi,1000);%,线性产生角频率,w,的,1000,个频点,,X=x*exp(-j*n'*w);%,求,x(n,),的傅里叶变换,,plot(w,abs(X)),grid,shg,%,画频谱图,,title(',序列,x(n,),的频谱图,'),,,xlabel('w,/,弧度,'),,ylabel('X(w,),的幅度,'),,程序运行结果,,一种是,w=0~2pi,，,,,,

13、一种是,w=0~4pi,，,,,2.4,时域离散信号的,FT,与模拟 信号的,FT,之间的关系,,模拟信号,x,a,(t,),的一对傅里叶变换用下面公式描述,,（,2.4.2,）,,（,2.4.1,）,,,而采样信号 的傅里叶变换用下面公式描述,,（,1.5.2,）,,（,1.5.5,）,,,公式（,1.5.5,）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系,,离散信号,x(n,),的一对傅里叶变换用下面公式描述,,,,（,2.2.4,）,,（,2.2.1,）,,,,如果时域离散信号,x(n,),是由我们对模拟信号,x,a,(t,),的采样产生的，即,x(n,)=,x,a,(nT,)

14、,，那么，,X(,ω,),与,X,a,(Ω,),之间有什么关系？ 这在模拟信号,DSP,处理中 是个很重要的问题。,,由公式（,2.4.2,）得到,,,,,为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令,,Ω=,B+Ω,s,k,，,Ω,s,是采样角频率，则当,Ω=,－,∞,到,∞,时，,B=,－,Ω,s,/2,到,Ω,s,/2,，,k=,整数，所以,,,注意,:,,B=Ω,,ΩT=ω,,,它与式（,2.2.4,）对比得到,,,（,2.4.7,）,,公式（,2.4.7,）描述离散信号与连续信号的频谱关系。,,,,公式（,1.5.5,）和（,2.4.7,）的共同特点是序列的频谱和采样信号的频谱都是模拟信

15、号的频谱的周期延拓，延拓周期是,Ω,s,,。它们频率轴上取值的对应关系用,ΩT=ω,表示。,,,图,2.4.1,模拟频率与数字频率之间的定标关系,,采样规律：,,函数采样,(I)FT,,周期延拓没采样函数变换的,,采样间隔,Δ,(I)FT,,延拓的周期是,(1/Δ),,,例,2.4.1,设,x,a,(t,)=cos(2πf,0,t),，,f,0,=50 Hz,，以采样频率,f,s,=200 Hz,对,x,a,(t,),进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号,x(n),， 求,x,a,(t,),、 和,x(n,),的傅里叶变换。,,解：根据,FT,对称

16、性和频移性,,,,,,令,2πf=Ω,,按照,(1.5.2),式， 与,x,a,(t,),的关系式为,,,,的傅里叶变换用,(1.5.5),式确定， 即以,Ωs,为周期， 将,X,a,(Ω,),周期延拓形成：,,,,,x(n,),的傅里叶变换用,(2.4.7),式确定，注意：,ΩT=ω,,,,,Ω,0,=100π,，,ω,0,=π/2,?,,下面是连续信号、采样信号,,和离散信号的频谱图：,,,,,,,,,/T,图,2.4.2,例,2.4.1,图,,,,2.5,序列的,Z,变换,,2.5.1 Z,变换的定义,,序列,x(n,),的,Z,变换是,,,式中,z,是一个复变量，相当于,

17、FT,中的虚指数,e,jω,， 它所在的复平面称为,z,平面。 注意在定义中， 对,n,在,±∞,之间求和的,ZT,， 可以称为双边,Z,变换。对,n,在,0~∞,之间求和的,ZT,， 可以称为单边,Z,变换的定义， 如下式,(2.5.1),(2.5.2),,使,(2.5.3),式成立的,Z,变量取值范围称为收敛域。 一,,般收敛域用环状域表示：,,,对于因果序列，用两种,Z,变换定义计算出的结果是一样,,的。 本书中如不另外说明， 均用双边,Z,变换对信号进行,,分析和变换。,,,(2.5.1),式,Z,变换存在的条件是等号右边级数收敛，,,要求级数绝对可和， 即,,(2.5.3),,令,z

18、=,re,jω,带入上面不等式就可以得到,R,x,－,＜,r,＜,R,x+,，它说,,明收敛域是以,R,x,－,和,R,x+,为半径的两个圆圈围成的圆环，,,,R,x,－,和,R,x+,称为收敛半径。,图,2.5.1 Z,变换的收敛域,,,常用的,Z,变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示,,,分子多项式,P(z),的根是,X(z),的零点，分母多项式,Q(z),的根是,X(z),的极点。在极点处,Z,变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界,？,。,,对比序列的傅里叶变换定义,(2.2.1),式，很容易得到,FT,和,ZT,之间的关系， 用下式表示：,(2.5.

19、4),,式中,z=e,jω,表示在,z,平面上,r=1,的圆， 该圆称为单位圆。,,,(2.5.4),式表明单位圆上,？,的,Z,变换就是序列的傅里叶变,,换。 如果已知序列的,Z,变换，可用,(2.5.4),式，很方便的,,求出序列的,FT,，,条件是收敛域中包含单位圆。,,例,2.5.1 x(n)=u(n),，,求其,Z,变换。,,解：,,,,X(z,),存在的条件是,|z,-1,|<1,，,因此收敛域为,|z|>1,，,,,|z|>1,,,X(z,),表达式表明，极点是,z=1,，单位圆上的,Z,变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在，更不能用式,(2.5.4

20、),求它的,FT,。,该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内,Z,变换是存在的。,,2.5.2,序列特性对收敛域的影响,,序列的特性决定其,Z,变换收敛域， 了解序列特性与收敛的基本关系， 对使用,Z,变换是很有帮助的。,,,1.,有限长序列,,,其它,,其,Z,变换为,,,,设,x(n,),为有界序列， 由于是有限项求和， 除,z=0,与,∞,两点,ZT,是否收敛与,n,1,、,n,2,取值情况有关外， 整个,z,平面均收敛。具体情况具体分析：,,当,n,1,< 0,和,n,2,≤0,时，,0≤z,＜,∞,；,,当,n,1,< 0,和,n,2,> 0,时，,0

21、；,,当,n,1,≥0,和,n,2,> 0,时，,0

22、|z|,＜,∞,。 第二项为因果序列， 其收敛域为,R,x-,<|z|≤∞,，,R,x-,是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域,相与,， 其收敛域为,R,x-,<|z|<∞,。 如果是因果序列， 收敛域为,R,x-,<|z|≤∞,。,,,,,,,例,2.5.3,求,x(n,)=,a,n,u(n,),的,Z,变换及其收敛域,,解：,,,,在收敛域中必须满足,|a,z,-1,|<1,，,因此收敛域为,|z|>|a|,。,,,3.,左序列,,左序列是在,n≤n,2,时， 序列值不全为零， 而在,n>n,2,，,,,序列值全为零的序列。 左序列的,Z,变换表示为,,,,,如果,n,2,<0, z=0,

23、点收敛，,z=∞,点不收敛， 其收敛域是在某一半径为,R,x+,的圆内， 收敛域为,0≤|z|0,， 则收敛域为,0<|z|< R,x+,,。,,,2.5.3,逆,Z,变换的定义,,已知序列的,Z,变换及其收敛域， 求序列称为逆,Z,变换。 序列的,Z,变换和逆,Z,变换表示如下：,,,,,,Ｚ逆变换的求法　 留数法,,长除法,,部份分式法,(2.5.5),,,1.,长除法,,,,按照,Z,变换定义,(2.5.1),式， 可以用长除法将,X(z),写成幂级数形式， 级数的系数就是序列,x(n),。,要说明的是， 如果,x(n),是右序列， 级数应是负幂级数； 如

24、,x(n),是左序列， 级数则是正幂级数。,,例,2.5.8,已知 用长除法求其逆,Z,变换,x(n),。,,解 由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展开成负幂级数。,,,,因为,,,,,,,,,所以,,,最后得,,1-az,-1,,,,例,2.5.9,已知 ，求其逆,Z,变换,x(n),。,,解：由收敛域判定,x(n,),是左序列，用长除法将,X(z),展成正幂级数,,,,-az,-1,+1,,所以,,,,,2.,部分分式展开法,,对于大多数单

25、阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆,Z,变换。,,设,Z,变换,X(z),是有理函数，分母多项式是,N,阶，分子多项式是,M,阶，将,X(z),展成一些简单的分式之和，通过查表,(,参考表,2.5.1),求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列,x(n),。设,X(z),只有,N,个一阶极点，可展成下式,,(2.5.11),(2.5.12),,,,,,求出,A,m,系数,(m=0,1,2,…N),后，利用变换对,,,,,很容易求得,x(n),序列。,,,,例,2.5.10,已知 ，求逆,

26、Z,变换。,,解：,,,,,因为收敛域为,2<|z|<3,，第一部分极点是,z=2,，因此收敛域为,|z|>2,。第二部分极点,z=-3,，收敛域应取,|z|<3,。根据前面两个公式得到,,,x(n,)=2,n,u(n)+(-3),n,u(-n-1),,题,14,的,MATLAB,答案：,,clear,format compact %格式紧凑,,syms x n %说明x和n是符号,,x=2^(-n),,X=ztrans(x) %对序列做单边z变换,,pretty(X) %使公式更好看,,,题,18,（,2,）的,MATLAB,提示：,,z=,iztrans(Z,) %,对序列做单边

27、,z,反变换,,,2.5.4 Z,变换的性质和定理,,,1. ZT,的移位,,设,X(z,)=ZT,［,x(n,),］,, R,x-,<|z|

28、n,)=h(n)*x(n),可用两种方法，,,（,1,）直接求解线性卷积,,,,,,m≥0,，,n-m≥0,,,n≥0,,(2),用,Z,变换法,,,,,,,用部份分式法,,,2.5.5,用,Z,变换表示差分方程,,这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简,,单。设,N,阶线性常系数差方程为,,,,1.,求稳态解,,如果输入序列,x(n,),是在,n=0,以前,∞,时加上的，,n,时,,刻的,y(n,),是稳态解，对,(2.5.30),式求,Z,变换，得到,,用,ZT,的移位性质,(2.5.30),,移项后得,,,,,,令,,,则,,所以,,,2.,求暂态解,,对于,N,阶差分方程，求

29、暂态解必须已知,N,个初始条件。设,x(n),是因果序列，即,x(n)=0,n<0,，,已知初始条件,y(-1),y(-2)…y(-N),。,对,(2.5.30),式进行,Z,变换时，注意这里要用单边,Z,变换。方程式的右边由于,x(n),是因果序列，单边,Z,变换与双边,Z,变换是相同的。下面先求移位序列的单边,Z,变换。,,设,,则,,令,p=,n-k,，则上式可以变成,,,,,,按照,(2.5.33),式对,(2.5.30),式进行单边,Z,变换，有,,,,,,零状态响应 零输入响应,(2.5.33),(2.5.34),,例,2.5.13,已知差分

30、方程,y(n)=by(n-1)+x(n),，,式中,x(n)=,a,n,u(n,),，,y(-1)=2,，求,y(n),。,,解：将已知差分方程进行,Z,变换,式中，,于是,,收敛域为,|z|>max(|a|,|b|),，,,式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,,,2.6,利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,,,,2.6.1,传输函数与系统函数,,传输函数表示系统的频谱。它是系统的单位脉冲响应,h(n,),的傅里叶变换,H(e,,jω,),：,(2.6.1),,系统函数表示系统的结构。它是系统的单位脉冲响应,h(n,),的,Z,变换,H(z,),：对,N,阶差分方程,(1.4.2)

31、,式进行,Z,变换，可以得到系统函数的一般表示式,(2.6.2),如果,H(z),的收敛域包含单位圆,|z|=1,，,H(e,jω,),与,,H(z),之间关系如下式：,,(2.6.3),,,2.6.2,系统函数的极点影响因果性和稳定性,,因果,(,可实现,),系统的单位脉响应,h(n),一定满足当,n<0,时，,h(n)=0,；所以其系统函数,H(z),的收敛域一定包含,∞,点。因果系统的极点只能在某个圆的圆内，收敛域在这个圆外。,,系统稳定要求 ，对照,Z,变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆,？,。如果系统因果且稳定，收敛域包含,∞,点和单位

32、圆，那么收敛域可表示为,,,r<|z|≤∞,，,0

33、非因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应,h(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1),，是一个非因果序列，而且不收敛。,,,(3),如果收敛域,a<|z|

34、函数的幅度大小，零点,c,r,和极点,d,r,影响系统的频率特性。让我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,,,(2.6.4),,将,(2.6.4),式分子分母同乘以,z,N+M,，得到,,,,,,如果系统稳定，则可以将,z=e,jω,带入上式，得到传输函数,,,（,2.6.6,）,,,开动脑筋，在,z,平面上用矢量表示传输函数的分子分母，,可以吗？,如图,2.6.2,所示，,,图,2.6.2,频响的几何表示法,,,分子 称为零点矢量 ，分母 称为极点矢量，将它们用极坐标表，即,,,并带入（,2.6.6,）式得到,,,,,,,,假想,B,点在单位

35、圆上转一圈，按照,(2.6.8),式,(2.6.9),式，很好估算系统的幅度特性和相位特性。,(2.6.8),(2.6.9),,例,2.6.3,设一阶系统的差分方程为,,,,y(n)=by(n-1)+x(n),,,用几何法分析其幅度特性。,,解：由系统差分方程得到系统函数为,,,,,系统极点,z=b,，,零点,z=0,，当,B,点从,ω=0,逆时旋转时，在,ω=0,点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在,ω=π,时形成波谷。,z=0,的零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图,2.6.4,所示。,,图,2.6.4,例,2.6.3,插图,,例,2.6.4,已知,H(z)=1-z,-8,，试定性地画

36、出系统的幅频特性。,,解：因为,,,,H(z,),的极点为,z=0,，,这是一个,8,阶极点，它不影响系统的 频响。零点有,8,个，由分子多项式的根决定,,,z,8,-1=0,，,z,8,=e,j2πk,,z=e,j2πk,，,k=0,，,1,，,…7,,系统的极零点分布和幅频特性如图,2.6.5,所示。,,,,图,2.6.5,梳状滤波器的极零点分布及幅度特性,,习题,21,（,1,）、,24,,MATLAB,的提示：,,画零极点图,zplane(b,a,),，,,计算幅频特性,[,H,w,]=,freqz(b,a,),,,,clear,close,all %实验（1）,,n=0:4

37、9;a=50*sqrt(2)*,pi;w,=linspace(0,2*pi);,,T=[1/1000,1/300,1/200];,,for l=1:3 x=444.128*exp(-a*n*,T(l,)).*,sin(a,*n*,T(l,));,,X=x*exp(-j*n'*w);subplot(3,2,2*l-1),stem(n,x,'.');,,subplot(1,2,2),plot(w,abs(X));hold,on,pause,, end,,clear,close,all %,实验（,2,）,,n=0:49;w=linspace(0,2*,pi);xb,=[n==0];,,hb,=[

38、n==0]+2.5*[n-1==0]+2.5*[n-2==0]+[n-3==0];,,Xb,=,xb,*exp(-j*n'*,w);Hb,=,hb,*exp(-j*n'*w);,,y=,conv(xb,hb);m,=0:98;Y=y*exp(-j*m'*w);,,subplot(3,2,1),stem(n,xb,'.');subplot(3,2,2),plot(w,abs(Xb));,,subplot(3,2,3),stem(n,hb,'.');subplot(3,2,4),plot(w,abs(Hb));,,subplot(3,2,5),stem(y,'.');subplot(3,2,6),

39、plot(,w,abs(Y,));,,clear,close,all,,n=0:49;w=linspace(0,2*pi);,,xc,=[n>=0]-[n-10>=0];ha=,xc,;,,Xc,=,xc,*exp(-j*n'*,w);Ha,=ha*exp(-j*n'*w);,,y=,conv(xc,ha);m,=0:98;Y=y*exp(-j*m'*w);,,%,说明归一化角频率,,subplot(3,2,1),stem(n,xc,'.');subplot(3,2,2),plot(w/2/pi,abs(Xc));,,subplot(3,2,3),stem(n,ha,'.');subplot(

40、3,2,4),plot(w/2/pi,abs(Ha));,,subplot(3,2,5),stem(y,'.');subplot(3,2,6),plot( w/2/pi,abs(Y));,,clear,close,all,；,%,实验（,3,）,,n=0:49;T=1/1000;,,xa,=exp(-0.4*n).*sin(2.0734*n);,,hb,=[n==0]+2.5*[n-1==0]+2.5*[n-2==0]+[n-3==0];,,y=,conv(xa,hb,);,,w=linspace(0,2*,pi);m,=0:98;,,Y=y*exp(-j*m'*w);,,Xa,=,xa,*exp(-j*n'*,w);Hb,=,hb,*exp(-j*n'*w);Y1=,Xa,.*,Hb,;,,subplot(3,2,1),stem(n,xa,'.');subplot(3,2,3),stem(n,hb,'.');,,subplot(3,2,5),stem(y,'.');,,subplot(1,2,2),plot(w,abs(Y),'r',w,abs(Y1),':g');,,max=max(abs((Y-Y1))),,