2-1-连续型随机变量及其分布律解析优秀PPT

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1、单击此处编辑母版标题样式,,一,、,概率密度的概念与性质,其次章,三、内容小结,二,、,常见连续型随机变量的分布,第一节 连续型随机变量 及其分布密度,(3),一、概率密度的概念与性质,1.,定义,对于随机变量,X,，若存在非负可积函数,p,(,x,) (,x,,R), 使得,X,的分布函数,x,y,o,2. 密度函数的性质,(1),(2),( 非负性),( 规范性),(3),(6),(4),证(3),x,y,o,还可得,(4) 对于随意可能值c ,连续型随机变量取 c 的概率等于零.即,证(4),注.,1,º,2,º,A,=,,A,=,,连续型随机变

2、量的概率与区间的开闭无关,若连续型随机变量 X=a 是不行能事务,,,则有,若,X,=,a,为离散型随机变量,,连,,续,,型,离,,散,,型,解,例,1,例,2,故有,解,(1) 因为,X,是连续型随机变量,,概率密度,,函数图形,1. 匀整分布,(1) 定义,二、常见连续型随机变量的分布,分布函数,(2) 匀整分布的性质,若,X,~,U,[,a,,,b,]，则,①,②,(3) 匀整分布的意义,背景：几何概型,设电阻值R是一个随机变量, 匀整分布在,,900欧~1100欧.求R的概率密度及R 落在950欧~,,1050欧的概率.,解,由题意,,R,的概率密度为,故有,例,3,例4,分析,1

3、º 等候时间为 0 ~ 5分钟的任一时间;,( 无限性),2º 等可能性.,属几何概型,解,所求概率:,设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上听从匀整分布, 现,,对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值,,大于3 的概率.,,X,的分布密度函数为,设,A,表示“对,X,的观测值大于 3”,,解,即,A,={,X,>3 }.,例,5,因而有,设,Y,表示对,X,进行3次独立观测中, 观测值大于,,3的次数,,则,2. 正态分布,(或,高斯分布,),高斯资料,(1) 定义,(2) 正态概率密度函数的几何特征,正态分布密度函数图形,演示,正态分布的分布函数,正态分布是最常见最重要的

4、一种分布,例如,,测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;,,正常状况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量,,高度等都近似听从正态分布.,正态分布的应用与背景,,(3) 正态分布下的概率计算,原函数不是,,初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算(演示),方法二:转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,性质：,x,-x,①,②,③,④,x,y,o,,,⑤,可得,则其分布密度,①,可查表2，得,如：,情形1.,②,③,计算法：,解,例,6,情形2.,①,②,③,证,,①,③,例7,某地抽样调查结果表明，考生

5、的外语成果(百分制), 听从正态分布，平均成果为 72分，96分以上占考生总数的2.3%, 试求考生的外语成果在 60分至 84分之间的概率.,解,依题意，考生外语成果 X,查表，知,查表，得,3. 指数分布,某些元件或设备的寿命听从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都听从指数分布.,应用与背景,分布函数,设某类日光灯管的运用寿命 X 听从参数为,,=1/2000的指数分布(单位:小时),,(1)任取一只这种灯管, 求能正常运用1000小时以,,上的概率.,,(2) 有一只这种灯管已经正常运用了1000 小时以,,上,求还能运用1000小时以上的概率.,X,

6、的分布函数为,解,例,8,,,指数分布的重要性质 :“,无记忆性,”,.,分布函数,,三、内容小结,2. 常见连续型随机变量的分布,均匀分布,正态分布(或高斯分布),指数分布,分布名称,记号,分布密度,,,,,,,匀整分布,X,~,U,[,a,,,b,],指数分布,分布名称,记号,分布密度,,,,正态分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量,,误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常,,状况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度;,,炮弹的弹落点的分布等, 都听从或近似听从正态,,分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最,,为常见的一种分布, 一个变量假如受到大量微小,,的、

7、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般,,是一个正态随机变量.,3.,正态分布是概率论中最重要的分布,另一方面,,,有些分布,(如二项分布、泊松分布)的极,,限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理,,论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,解,例,1-1,备份题,解,则有实根的概率为,例,3-1,(1) 所求概率为,解,例,7-1,例8-1,某仪器装有3支独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都听从同一指数分布，分布密度为,试求在仪器运用的最初 200小时内，至少有一支电子元件损坏的概率.,解,设 Xi= { 第 i 支元件运用的寿命 } (

8、 i =1, 2, 3 ),B,Ai= { 在仪器运用最初200小时内，,第,i,支电子元件损坏 } (,i,=1, 2, 3 ),{ 在仪器运用最初200小时内，,第,i,支电子元件未损坏 } (,i,=1, 2, 3 ),设 Xi= { 第 i 支元件运用的寿命 } ( i =1, 2, 3 ),(,i,=1, 2, 3 ),(,i,=1, 2, 3 ),例8-2,假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数 N(t) 听从参数为 t 的泊松分布. 试求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布.,解,)= 0,,T,t,Born:,30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany),Died:,23 Feb 1855 in Göttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,Gauss,