复数域和实数域上的二次型

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,§9.2 复数域和实数域上的二次型,,,本教程只限于讨论复数域和实数域上的二次型和实二次型，这里将给出两个复二次和两个实二次型等价的充分必要条件，相当于给出复数域上两个对称矩阵和实数域上两个对称矩阵合同的充分且必要条件．,,先对复二次型回答这个问题，我们有,,,复数域上两个,n,阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．,,两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩．,(显然只要证明第一个论断),,§9.2 复数域和实数域上的二次型,,证,,必要性显然成立，只证充分性．,设,A,,,B,是

2、复数域上两个,n,阶对称矩阵，秩,A,=,秩,B,=,r,，由定理，分别存在复可逆矩阵,P,的,Q,，使得,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,当,r,> 0,时，,c,i,,,,0,,d,i,,,,0,,i,= 1, 2, …,,r,．取,n,阶复矩阵,,分别表示复数,c,i,与,d,i,的一平方根，则,,S,,=,S,，,T,,=,T,，而,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,因此，矩阵,A,,,B,都与矩阵,,合同，所以,A,与,B,合同．,,下面考察实数域上的情形，首先证明定理：,,,实数域上每一,n,阶对称矩阵,A,都合同于如下形式的一个矩阵：,,§9.2 复数

3、域和实数域上的二次型,证,,,由定理，,,,实可逆矩阵,P,使得,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,如果,,r,> 0,， 必要时交换两列和两行,(,相当于右乘以,P,ij,，左乘以,P,,ij,),，总可以假定,c,1,,,c,2,, ...,,c,p,> 0,,c,p,+1,, ...,,c,r,< 0, 0,,,p,,,,r,．取,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,,(,下面的定理与定理是平行的,),,,定理,,实数域上每个,n,,元二次型都与如下形式的一个二次型等价：,,其中，,r,是所给二次型的秩．,,,,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,,二次型

4、,(1),叫做实二次型的,典范形式,，定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价，在典范形式里，,平方项的个数,r,,等于二次型的秩,，因而是唯一确定的．,,还要进一步证明，在典范形式,(1),中，系数是１的项的个数,p,也是唯一确定的,(,因而系数是,,1,的项的个数,r,,,p,也是唯一确定的,),，这就是,,实二次型的惯性定律,．,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,,定理,9.2.4(,惯性定律,),,实数域,R,上,n,元二次型,,等价于两个典范形式,,那么,,p,=,p,,．,,,证,设,(2),与,(3),分别通过变量的非奇异线性变换，,,,§9.2 复数域

5、和实数域上的二次型,化为所给的二次型,,如果,,p,,,,p,,，考虑,,p,+,n,,,,p,,,个方程的齐次线性方程组,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,因为,p,<,p,,，所以,p,+,n,,,,p,,<,n,，方程组,(6),在,R,内有非零解，令,(,c,1,,,c,2,, ...,,c,n,),是,(6),的一个非零解， 把这一组值代入,y,i,和,z,i,的表示式,(4),与,(5),，记,,则有,,y,1,(,c,),2,+ ... +,y,p,(,c,),2,,,,y,p,+1,(,c,),2,,,...,,,y,r,(,c,),2,,,=,z,

6、1,(,c,),2,+ ... +,z,p,,(,c,),2,,,,z,p,,+1,(,c,),2,,,...,,,z,r,(,c,),2,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,然而,,y,1,(,c,) = ... =,y,p,(,c,) = 0,，,,z,p,,+1,(,c,),,= ... =,z,r,(,c,) = 0,，,,所以,,,y,p,+1,(,c,),2,,,...,,,y,r,(,c,),2,=,z,1,(,c,),2,+ ... +,z,p,,(,c,),2,，,,因为,,y,i,(,c,),2,与,,,z,i,(,c,),2,都是非负实数，所以必

7、须,,y,p,+1,(,c,) = ... =,y,r,(,c,) = 0,，,z,1,(,c,),,= ... =,z,p,,(,c,) = 0,，,,,,又,,z,p,,+1,(,c,),,= ... =,z,n,(,c,) = 0,，,,所以,,c,1,,,c,2,, ...,,c,n,,是齐次线性方程组,,的非零解，这与矩阵,(,t,ij,),的非奇异性矛盾，从而证得：,p,,,,p,,，同理可证,,p,,,,,p,，所以,p,=,p,,．,,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,由这个定理，实数域上每个二次型,p,(,x,1,,,x,2,, ...,,x,n,),

8、都与唯一的典范形式,(1),等价，在,(1),中，正平方项的个数,p,叫做所给二次型的惯性指标，正项的个数,p,与负项的个数,r,,,,p,的差,,,s,=,p,,,(,r,,,,p,) = 2,p,,,,r,,叫做所给的,二次型的符号差,，一个实二次型的秩，惯性指标和符号差都是唯一确定的．,,,(,由定理和,9.2.,４可得下列定理,9.2.5),,§9.2 复数域和实数域上的二次型,,实数域上两个,n,元二次型等价的充分且必要的条件是它们有相同的秩和符号差．,,证,设,,q,1,(,x,1,,,x,2,, ...,,x,n,),和,,q,2,(,x,1,,,x,2,, ...,,

9、x,n,),是实数域上两个,n,元二次型，令,A,1,与,A,2,分别是它们的矩阵，则由定理，,,,可逆矩阵,P,，使得,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,如果,q,2,与,q,1,等价，那么,A,1,与,A,2,合同，从而,,,,实可逆矩阵,Q,使得：,A,2,=,Q,,A,1,Q,， 取,,T,=,Q,,1,P,，那么,,因此,,q,2,与,q,1,都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差．,,反之，若,q,1,与,q,2,有相同的秩,r,,和符号差,s,，则也有相同的惯性指标：,,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,合同，从而：,A,2,与,A,1,合同，即

10、有,,,q,2,与,q,1,等价．,,,,,实数域,R,上一切实可行,n,元二次型可以分成,类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价．,,§9.2 复数域和实数域上的二次型,证,给定,0,,,r,,,,n,,与,0,,,p,,,,r,，令,,由定理，,R,上每个,n,,元二次型恰与一个以,C,r,,,p,为矩阵的典范形式等价，,r,取定后，,p,可以取,0, 1, ...,,r,；而,r,又可以取,0, 1, ...,,n,中任何一个数，因此这样的,C,r,,,p,共有,,,返回第九章目录,§9.2 复数域和实数域上的二次型,对于每一个,C,r,,,p,就有一个典范形式,,与它相当，把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是,R,上一切,n,元二次型恰可分成,,类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价．,,,