(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法课件

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1、*,多元函数的极值和最值,条件极值 拉格朗日乘数法,小结 思考题 作业,第八节 多元函数的极值与,,拉格朗日乘数法,第八章 多元函数微分法及其应用,1,,一、多元函数的极值和最值,1.极大值和极小值的定义,一元函数的极值,的定义:,是在一点,附近,将函数值比大小.,定义,点,P,0,为函数的,极大值点.,,类似可定义极小值点和极小值.,设在点,P,0,的某个邻域,,为,极大值.,则称,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,2,,,注,,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,多元函数的极值也是,局部的,,一般来说:,极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最

2、小值.,有时,,极值,.,极值点.,内的值比较.,是与,P,0,的邻域,极小值可能比极大值还大.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,3,,例,例,例,函数 存在极值,,在(0,0)点取极小值.,在(0,0)点取极大值.,(也是最大值).,在(0,0)点无极值.,椭圆抛物面,下半个圆锥面,马鞍面,在简单的情形下是,容易判断的.,函数,函数,(也是最小值).,函数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,4,,2,.极值的必要条件,证,定理1,(必要条件),则它在该,点的偏导数必然为零:,有极大值,,不妨设,都有,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,说明一元函数,有极大值,,必有,类似地可证,5,,

3、推广,如果三元函数,具有偏导数,,则它在,有极值的,必要条件,为,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,均称为函数的,驻点,极值点,仿照一元函数,,凡能使,一阶偏导数,同时为零的,点,,驻点,.,如何判定一个驻点是否为极值点,如,,驻点,,但不是极值点.,,注,6,,3,.极值的充分条件,定理2,(充分条件),的某邻域内连续,,有一阶及二阶连续偏导数,,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,,有极大值,,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,,也可能无极值.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,7,,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,,得驻点

4、.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,,再判定是否是极值.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,8,,例,,解,又,在点(0,0)处,,,在点(,a,,,a,)处,,,故,故,即,的极值.,在,(0,0)无极值;,在,(,a,,,a,)有极大值,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,9,,解,练习,求由方程,将方程两边分别对,x,,,y,求偏导数,,由函数取极值的必要条件知,,驻点为,将上方程组再分别对,x,,,y,求偏导数,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,法一,10,,故,函数在,P,有极值.,代入原方程,,为极小值;,为极大值.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,所

5、以,所以,11,,求由方程,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,解,练习,法二,配方法,方程可变形为,于是,显然,,根号中的极大值为4,,※,由,※,可知,,为极值.,即,为极大值,,为极小值.,12,,取得.,然而,如函数在个别点处的,偏导数不存在,,这些点当然不是驻点,,如,:,函数,不存在,,但函数在点,(0,0),处都具有极大值.,,在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究,偏导数不存在的点.,注,由,极值的必要条件知,,极值只可能在驻点处,但,也可能是极,值,点.,在点,(0,0),处的偏导数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,13,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,2003年考研

6、数学(一), 4分,选择题,已知函数,f,(,x,,,y,)在点(0, 0)的某个邻域内连续,,则,(,A,) 点(0, 0)不是,f,(,x,,,y,)的极值点.,(,B,) 点(0, 0)是,f,(,x,,,y,)的极大值点.,(,C,) 点(0, 0)是,f,(,x,,,y,)的极小值点.,(,D,) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为,f,(,x,,,y,)的极值点.,14,,其中最大者即为最大值,,,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,4,.多元函数的最值,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数,在,D,内,的所有嫌疑点的函数值及,在,D,的边界

7、上的最大值和最小值相互比较,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,15,,解,(1),求函数,在,D,内,的驻点,由于,所以函数在,D,内无极值.,(2) 求函数在,D,边界上的最值,(现,最值只能在边界上),围成的三角形闭域,D,上的,最大(小)值.,例,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,D,16,,＊,在边界线,＊,在边界线,由于,最小,,由于,又在端点(1,0)处,,所以,,最大.,有驻点,,函数值,有,单调上升.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,D,17,,＊,在边界线,所以, 最值在端点处.,由于,函数单调下降,,(3),比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,D,18,,解,练习,此时,的

8、最大值与最小值.,驻点,得,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,上,在,求,4,:,9,4,),,,(,2,2,2,2,£,+,+,+,=,y,x,D,y,x,y,x,f,19,,对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外,,并无,条件极值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,二、条件极值 拉格朗日乘数法,20,,解,例,已知长方体长宽高的和为18,,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,且长方体体积,一定有最大值,,体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于,V

9、,在,D,内只有一个驻点,,21,,,,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,,要受到条件,的限制,,这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,,有时,条件极值,目标函数中化为,无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决,条件极值,问题的一般,方法:,下,这样做是有困难的,,拉格朗日乘数法,22,,拉格朗日乘数法:,现要寻求目标函数,在约束条件,下取得,利用隐函数的概念与求导法,如函数(1)在,由条件,(1),(2),极值的必要条件.,取得所求的极值,,那末首先有,(3),确定,y,是,x,的隐函数,多元函数

10、的极值与拉格朗日乘数法,,不必将它真的解出来,则,于是函数(1),即,,取得所,取得极值.,求的极值.,)),,(,,,(,x,y,x,f,z,=,23,,其中,代入(4)得:,由,一元可导函数取得极值的必要条件,知:,(4),多元函数的极值与拉格朗日乘数法,取得极值.,在,(3) ,(5)两式,取得极值的必要条件.,就是函数(1)在条件(2)下的,)),(,,,(,x,y,x,f,z,=,24,,,,设,上述必要条件变为:,(6)中的前两式的左边正是函数:,(6),多元函数的极值与拉格朗日乘数法,的两个一阶偏导数在,的值.,函数,称为,拉格朗日函数,,称为,拉格朗日乘子,,是一个待定常数.,

11、25,,拉格朗日乘数法:,极值的必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点,,先构造函数,为某一常数,,其中,可由,解出,其中,就是,可能的,极值点的坐标.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,26,,如何确定所求得的点,实际问题中,,,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,拉格朗日乘数法可推广:,判定.,可根据问题本身的性质来,的情况.,自变量多于两个,是否为极值点,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,27,,解,则,又是实际问题,,解得,唯一驻点,一定存在最值.,令,?,此题是否也可化为无条件极值做,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,28,,,解,为椭球面上的一点,,令,则,的切平面方程为,在第一卦

12、限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,例,切平面,,四面体体积最小,,求切点坐标.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,29,,,目标函数,该,切平面在三个轴上的截距,各为,化简为,所求四面体的体积,,约束条件,在条件,下求,V,的最小值,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,30,,约束条件,令,由,目标函数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,31,,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,32,,,练习,解,为简化计算,令,是曲面上的点,,它与已知点的距离为,问题化为在,下求,的最小值.,目标函数,约束条件,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,33,,设,(1

13、),(2),(3),(4),多元函数的极值与拉格朗日乘数法,34,,由于问题确实存在最小值，,故,得,唯一驻点,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,还有别的简单方法吗,用几何法!,35,,练习,解,为此作,拉格朗日乘函数:,上的最大值与最小值.,在,圆内,的可能的极值点;,在,圆上,的最大、最小值.,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,9,),2,(,),2,(,2,2,2,2,£,-,+,-,+,=,y,x,y,x,z,在圆,求函数,36,,最大值为,最小值为,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,],9,),2,(,),2,[(,),,,(,2,2,2,2,-,-,+,-,+,+,=,y,x,y,x,y

14、,x,L,l,2,2,y,x,z,+,=,函数,上，,在圆,9,),2,(,),2,(,2,2,£,-,+,-,y,x,37,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,2002年考研数学(一), 7分,设有一小山,取它的底面所在的平面为,xOy,坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,(1) 设,M,(,x,0,,,y,0,)为区域,D,上一点,问,h,(,x,,,y,)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?,若记此方向导数,的最大值为,g,(,x,0,,,y,0,),,试写出,g,(,x,0,,,y,0,)的表达式.,(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为

15、攀登的起点.,是说,要在,D,的边界线,上找出使(1)中,的,g,(,x,,,y,)达到最大值的点.,试确定攀岩起点的位置.,也就,练习,38,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,解,(1) 由梯度的几何意义知,,方向的方向导数最大,,h,(,x,,,y,)在点,M,(,x,0,,,y,0,),处沿梯度,方向导数的最大值为该,梯度的模,,所以,(2) 令,由题意,只需求,在约束条件,下的最大值点.,令,39,,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,则,(1),(2),(3),(1) + (2):,从而得,由(1)得,再由(3)得,由(3)得,于是得到4个可能的极大值点,可作为攀登的起点.,40,,多元函数极值的概念,条件极值 拉格朗日乘数法,多元函数,取得极值的必要条件、充分条件,多元函数最值的概念,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,三、小结,(上述问题均可与一元函数类比),41,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,思考题,答,不一定.,二元函数,在点,处有极值,(不妨设为极小值),,是指存在,当点,且,沿任何曲线趋向于,一元函数,在点,x,0,处取得有极小值,,表示动点,且,沿直线,42,,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,并沿该直线(即沿平行于,Ox,轴的正负,方向)趋向于,它们的关系是:,在点,取得极大(小)值,取得极大(小)值.,43,,