【学生讲义】巧解外接球问题

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1、快速解决巧解外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的 内接多面体，这个球 称为多面体的外接球.有关多面体外接球 的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 . 考查学生的空间想象能力 以及化归能力.研究多面体的夕卜接球问题，既要运用多面体的 知识，又要运用 球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体 外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要 的作用 一、直接法（公式法） 1、求正方体的外接球的有关问题 24, 【例1】（上海中学）若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 【例

2、2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为 则该球的体积为 . 2、求长方体的外接球的有关问题 【例3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1.2.3, 则此球的表面积为 4,体积为16,则这个球的表面 By 积为（ d. 32 a. 16 B. 20 C. 24 【例4】（七宝中学）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 3. 求多面体的外接球的有关问题 【例5】（上海实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知

3、该六棱柱的顶 点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 二、构造法（补形法） 8,底面周长为3,则这个球的体积为 1、构造正方体 【例6】 （2015年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 【例7】 （上海中学）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 .3 a、b、C,则就可以将这 个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径 为R,则有2R 旧2 b2 c2 出现墙角”结构利用补形知识，联

4、系长方体。 【原理】长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ,则体对角线长为 几何体的外接球直径为 体对角线长」即 【例8】：在四面体匚一--- 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ,若该四面体 的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积 【例9】（建平中学）一个四面体的所有棱长都为 2,四个顶点在同一球面

5、上，则此球的表面 D. 6 【例10】 （华二附中）在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 ,E为AB的中点, 将ADE与 BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、 B重合于点P,则三棱锥 P-DCE的外接球的 体积为（ .6 b. m D. 24 4V3 A.百 【例11］（交大附中）已知球 O的面上四点A R G d, DA 平面 ABC AB BC

6、 D DC AB ,『BCD 本文章在给I ］ |图形的情况下解决球心位置,半径大小的问题. 匚多面体几何性质法 m 13］（大同3学）大同各项点部作同 个球面上的正四极柱的高为 图4 4,体积炉16, 则这个球的表面积是（ A 16 B 20 本题是运用 24 B D 32 这一件质来求解的 DA=AB = BC= "3,则球O的体积等于 2,构造K方体 【例12）（2012年上海高考题）E知点A、B.C、D在同一个球面上, 若 AB 6 A(「2 ,"ADT : 四？^求轴截面圆半径法 ［例14］（西南位育中学） 正四

7、棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积 【小结】 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元 素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 本题提供的这种思路是探求正 棱锥外接球半径的通解通法, 该方法的实质 就是通过寻找外接球的一个轴截面圆, 从而把立体几何问题转化为平面几 图3 何问题来研究？这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 【例15】（上海第二中学）在矩形 ABCD中，AB 4,

8、BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一 个直二面角B AC D,则四面体 ABCD的外接球的体积为（ 125 A.石 125 B. 9 125 C.V 125 D. 3 【原理】： 直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 的球面上，_L&_L BC 【例16] （复旦附中）已知三棱锥的四个顶点都在球 ,求球 的体积。 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 四面体是正四面体，外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为