弹性力学第九章 柱形杆的扭转和弯曲

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1、第 九 章 柱 形 杆 的 扭 转和 弯 曲本章主要讨论任意截面柱形杆的自由扭转。材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面假设。对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，即截面产生翘曲。 目 录 9.1 扭 转 问 题 的 位 移 解 法 (圣 维 南 扭 转 函 数 ） 9.2 扭 转 问 题 的 应 力 解 法 (普 朗 特 应 力 函 数 ） 9.3 扭 转 问 题 的 薄 膜 比 拟 法 9.4 椭 圆 截 面 杆 件 的 扭 转 9.5 带 半 圆 形 槽 的 圆 轴 的 扭 转 9.6 厚 壁 圆 筒 的 扭 转 9.7 矩 形 截 面 杆 的 扭 转 9.8 薄 壁 杆 的

2、扭 转 9.1 扭转问题的位移解法-圣维南扭转函数柱 体 扭 转横截面翘 曲自 由 扭 转横截面翘曲变形不受限制约 束 扭 转横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自 由 扭 转 自 由 扭 转 的 位 移 z xzv yzu ),( yxw 调 和 函 数柱 体 自 由 扭 转 位 移 解 法 1. 2.翘 曲 假 设位 移 解 法 基 本 方 程 Laplace方 程 )29(022222 yx 设 单 位 长 度 相 对扭 转 角 为 柱 体 扭 转 边 界 条 件侧面边界条件柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件（9-4）下求解方程（9-2）。 端面边界条件)49( xmyldnd

3、)59( GDT xy xGyG yzxz ,C2 )(,)( xyxyxy S yxGT dd2 边 界 条 件侧面端面单 连 域 取 为 0 9.2 扭转问题的应力解法-普朗特应力函数由： 可得： C=-2 k 普 朗 特 （ Prandtl） 扭 转 应 力 函数 ),( yx 9.3 扭 转 问 题 的 薄 膜 比 拟 法德 国 力 学 家 普 朗 特 （ Prandtl） 基 本 思 想 ：作 用 均 匀 压 力 的 薄 膜 与 柱 体 扭 转 有 着 相 似 的微 分 方 程 和 边 界 条 件 。通 过 研 究 薄 膜 所 张 成 的 曲 面 的 等 高 线 ， 分 析柱 体 扭

4、 转 时 横 截 面 的 应 力 分 布 。 薄 膜 比 拟 设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转柱体截面形状相同或成比例）。xxy dxdy O Tqz在微小均匀压力作用下，薄膜产生垂度z（x,y），薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和面内压力，只能承受均匀拉力T,在薄膜中取微单元abcd，其投影为矩形，边长为dx，dy；其上作用有侧向压力q和张力T。dxdya b d c 微单元在Oz轴方向的平衡：各边的拉力及其在Oz轴上的投影：dxdya bd cT边拉力投影adbcabdc yTd xzyT d xxzxzyT dd 22yTdxTd yzxT dxTd yyzyzxT dd 2

5、2压力在O z轴上的投影为yxq dd 薄膜平衡方程：02222 qyzxzT即Tqz 2在边界上，薄膜垂度为零0 sz 扭转应力函数：22 边界条件0 s012 zqT或0122 或 在 薄 膜 曲 面 上 ， 形 象 地 表 示 出 横 截 面 上 应 力 的 分 布 情况 。 想 象 用 一 系 列 和 Oxy平 行 的 平 面 与 薄 膜 曲 线 相 截 ，可 得 到 一 系 列 的 曲 线 。 显 然 ， 这 些 曲 线 是 薄 膜 的 等 高线 图 。 0sZ 0sG nGsG sn ,0薄 膜 的 等 高 线 ， 对 应 于 扭 转杆 横 截 面 上 这 样 的 曲 线 ， 其上

6、 各 点 的 应 力 与 曲 线 向 切 。这 种 曲 线 称 为 切 应 力 线 。 应力环量 通 过 比 拟 ， 可 以 定 性 地 勾 画 出 截 面 上 应 力分 布 的 大 致 情 况 。 要 知 道 哪 一 点 的 切 应 力最 大 ， 就 看 看 薄 膜 上 哪 一 点 的 斜 率 最 大 。也 就 是 说 ， 薄 膜 上 斜 率 最 大 点 ， 就 是 对 应的 横 截 面 上 最 大 切 应 力 的 作 用 点 。 研 究 图 中 某 一 条 等 高 线 所 围 成 的 薄 膜 的 平 衡 ，设 这 一 部 分 薄 膜 的 面 积 为 A ， 则qAdsvZFs T svGv

7、Z GAds s s 2 9.4 椭 圆 截 面 杆 件 扭 转椭圆截面杆件 1.求应力函数012222 byax用逆解法，设应力函数为B为待定常数，将式（b）代入式（9-8）得(a) 1 2222 byaxB (b)222 22 bBaB )( 22 22 ba baB 则椭圆截面边界方程为： 将式(c)代入式（9-12）得 abdxdyabdxdyybadxdyx ,4,4 3232因为得 1)( 222222 22 byaxba ba (c) (d) dxdydxdyybdxdyxaba Gba dxdyGT 222222 22 1122 Gba Tba 33 22 )( (e) 2.求

8、应力分量将式(c),（e）代入式（9-7），得xbaTyabT zyzx 33 2,2 截面上任一点的合剪应力为 21222222 2 byaxabTzyzx 最大剪应力发生在短半轴的两端2max 2abT 最小剪应力发生在长半轴的两端baT 2min 2 xyO 3. 求位移分量代入式(9-1a)，得 xzGba Tbav yzGba Tbau 33 22 33 22 )( )(翘曲位移为xyGba Tbaw 33 22 )( Gba Tba 33 22 )( 将 最 大 切 应 力横 截 面 翘 曲 xbaTyabT yzxz 33 2,2 424222 2 byaxabTyzxz baT

9、abT 2min2max 2,2 xybGabaTyxw 33 22),( 扭 转 应 力 - 带半圆槽的圆截面杆的扭转半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转应力。xyO半径为b的半圆键槽方程为r0)( 22 br半径为a的大圆方程（除原点O）0cos21 r a 整个边界方程可表示为0cos21)( 22 r r ab xyx rr cos,222 A B 22222 21)( yx axbyxm设 由 r r cos21)( 22 abm 211 222222 rrrr 21 m 22222 21)(21 :yx axbyx数为直角坐标系下的应力函 222 222 222 2

10、)(21 yx yxabaxG yyx xabGzyzx 最大剪应力在A点，A（b，0)，得xyO rA B abaGAzy Azx 2120 max B（2b，0）点的剪应力 22410 abaGBzy Bzx 有一很小半圆槽时，槽底的最大剪应力是无槽圆轴最大剪应力的两倍。当b10和 0.333最 大 切 应 力 单 位 长 度 扭 转 角 2max 3 aT 33 GaT 实 际 工 程 上 经 常 遇 到 开 口 薄 壁 杆 件 ， 例 如 角 钢 、 槽 钢 、工 字 钢 等 ， 这 些 薄 壁 件 其 横 截 面 大 都 是 由 等 宽 的 狭 长 矩 形组 成 。 无 论 是 直

11、的 还 是 曲 的 ， 根 据 薄 膜 比 拟 ， 只 要 狭 长 矩形 具 有 相 同 的 长 度 和 宽 度 ， 则 两 个 扭 杆 上 的 剪 应 力 没 有 多大 差 别 。一 开 口 薄 壁 杆 件 的 扭 转a 1 a2 a1 a1 a3 a2a1 a321 3 ia i 设 及 分 别 表 示 扭 杆 横 截 面 的 第 i个 狭 矩 形 的 长 度 和 宽 度 ，Ti表 示 该 矩 形 截 面 上 承 受 的 扭 矩 ， T表 示 整 个 横 截 面 上 的 扭 矩 ，i代 表 该 矩 形 长 边 中 点 附 近 的 剪 应 力 ， 为 单 位 长 度 扭 转 角 。 则由 狭

12、 长 矩 形 的 结 果 ， 得 33 ii iTGa (a) 23 ii i iTa (b)由 式 (a)得 33i ii G aT (c)这 个 横 截 面 上 的 扭 矩 为 33 i i iGT T a (d) 3 3i ii i iaT Ta由 式 (c)和 式 (d)消 去 ,得代 回 式 (a)和 式 (b),我 们 得 到值 得 注 意 的 是 ： 由 上 述 公 式 给 出 的 狭 长 矩 形 长 边 中 点 的 剪应 力 具 有 相 当 高 的 精 确 ， 然 而 ， 由 于 应 力 集 中 的 存 在 ， 两个 狭 矩 形 的 连 接 处 ， 可 能 存 在 远 大 于

13、此 的 局 部 剪 应 力 。33 i iTG a (9-32) 33 ii i iTa (9-33) 应 力 集 中长 边 中 点 切 应力 给 出 了 相 当精 确 的 解 答 局 部 切 应 力 局 部 max与 圆弧 半 径 r与 狭长 矩 形 的 短 边i的 比 值 有 关 1 TTT (9-33)图 4(9-33) 4 (9-33)(9-33) TTT 二 闭 口 薄 壁 杆 件 的 扭 转 设 外 边 界 所 包 围 面 积 的 平 均 值（ 即 薄 壁 杆 件 截 面 中 线 所 包 围 的 面积 ） 为 A， 于 是 有 2T Ah 对 于 闭 口 薄 壁 杆 件 的 扭 转

14、 问 题 ， 可 以 通 过 薄 膜 比 拟法 求 得 近 似 解 答 。 如 图 5所 示 ， 假 想 在 薄 杆 横 截 面 的 外 边界 上 张 一 张 膜 ， 保 证 薄 膜 外 边 界 的 垂 度 为 零 ， 内 边 界 处的 垂 度 为 常 量 。 由 于 杆 壁 厚 度 很 小 ， 所 以 沿 壁 的 厚 度 方向 薄 膜 的 斜 率 可 视 为 常 量 。 于 是 ， 在 杆 壁 的 厚 度 处 ， 剪应 力 的 大 小 应 等 于 薄 膜 的 斜 率 ， 即 (2-7)其 中 ， h为 杆 壁 厚 度 薄 膜 的 垂 度 。 图 5h (e) 由 此 得代 入 式 （ e）

15、得 可 见 ， 剪 应 力 与 杆 壁 的 厚 度 成 反 比 ， 最 大 的 剪 应 力发 生 在 杆 壁 最 薄 处 。 2Th A 2TA 2G A 为 了 求 出 单 位 长 度 扭 转 角 ， 先 求 出 杆 横 截 面 中 心 线上 的 应 力 环 量 ， 以 A表 示 中 心 线 所 包 围 的 面 积 ， 于 是 有2TA (9-34) 4 2TsA G 24 TA G 得如 果 杆 壁 为 等 厚 度 的 ， 则其 中 ， s为 杆 截 面 中 心 线 的 长 度 。 图 6 (9-35) 若 闭 口 的 薄 壁 杆 有 凹角 在 凹 角 处 有 可 能 发 生高 度 的 应

16、 力 集 中 现 象 。比 值 和 之 间的 关 系 ， 如 图 6所 示 。 其中 为 圆 角 半 径 。r max / /r 对 于 薄 壁 杆 的 横 截 面 有 两 个 孔 的 多 连 通 域 情 况 ， 如 图7所 示 ， 由 于 杆 壁 厚 都 很 小 ， 于 是 有其 中 ， h 1和 h2表 示 薄 膜 内 边界 s1和 s2的 高 度 。 11 122 21 2 1 1 1 23 3 3hhh h (f)图 7 再 分 别 对 两 根 中 心 闭 合 线 ACBA和 ABDA求 应 力 环 量 ， 有1 3 12 3 222ACB BABDA ABds ds G Ads ds

17、 G A (h) 由 薄 膜 和 外 边 界 所 在 平 面 之 间 的 体 积 可 求 得 扭 矩1 1 2 22( )T A h A h 也 可 以 表 示 为 1 1 1 2 2 22( )T A A (g) 求 得 1 1 3 3 12 2 3 3 222s s G As s G A (i)1 21 2 1 2 3 2 1 2 3 1 21 2 2 21 3 2 2 3 1 1 2 3 1 23 1 2 1 3 1 22 2 2 21 3 2 2 3 1 1 2 3 1 21 2 1 2 1 23 2 2 21 3 2 2 3 1 1 2 3 1 2 ( )2 ( ) ( )2 ( ) 2 ( )T s A s A As A s A s A AT s A s A As A s A s A AT s A s As A s A s A A (9-36) 1 21 2 3 1 3 2 2 3 12 2 21 3 2 2 3 1 1 2 3 1 2( )4 ( )T s s s s s sG s A s A s A A (9-37) 若 、 为 常 数 ， 则 式 （ h） 可 变 为1 2