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1、针对演练,典例精析,,题型八 二次函数综合题,类型五 平行四边形、菱形、正方形的存在性问题,第二部分 攻克题型得高分,题型八 二次函数综合题类型五 平行四边形、菱,,,例,如图，,抛物线经过,A,(-5,0),，,B,(-1,0),，,C,(0,5),三点，顶点为,M,，连接,AC,，抛物线的对称轴为,l,，,l,与,x,轴交点为,D,，与,AC,的交点为,E,.,（,1,）求抛物线的解析式、顶点坐标以及对称轴,l,；,(1)【,思维教练,】,,典例精析,典例精析,解：由由拋物线过,A,(,－,5,，,0),，,B,(,－,1,，,0),可知，其对称,轴,l,为,x,＝－,3,，设抛物线解析
2、式为,y,＝,a,(,x,＋,3),2,＋,h,，分别,将,A,(,－,5,，,0),，,C,(0,，,5),代入上式,可得 ， 解得,,∴,抛物线解析式为,y,＝,(,x,＋,3),2,－,4,＝,x,2,＋,6x,＋,5,，,顶点坐标为,(,－,3,，－,4),．,解：由由拋物线过A(－5，0)，B(－1，0)可知，其对称,（,2,）设点,P,是直线,l,上一点，且,PM,＝,CO,，求点,P,的坐标；,(2)【,思维教练,】,例题图,（2）设点P是直线l上一点，且PM＝CO，求点P的坐标； (,解：∵点,C,(0,，,5),，∴,CO,＝,
3、5,，,设点,P,的坐标为,(-3,，,p,),，,如解图①，当点,P,在,M,点上方，,则,PM,＝,p,－,(-4),＝,5,，解得,p,＝,1,，,此时点,P,的坐标为,(-3,，,1),；,当点,P,在,M,点下方，,则,PM,＝,-4,－,p,＝,5,，,解得,p,＝,-9,，此时点,P,的坐标为,(-3,，,-9),．,综上，这样的点,P,有两个，坐标分别为,(-3,，,1),、,(-3,，,-9),；,例题解图①,解：∵点C(0，5)，∴CO＝5，例题解图①,（,3,）设点,G,是抛物线上一点，过点,G,作,GH,⊥,l,于点,H,，是否存在点,G,，使得以,A,、,B,、,G,
4、、,H,为顶点的四边形是平行四边形？若存在,,,求出点,G,的坐标，若不存在，请说明理由,;,(3)【,思维教练,】,若要以点,A,、,B,、,G,、,H,构成的四边形为平行四边形，由图可得点,G,只能位于,x,轴以上部分的抛物线上，在对称轴两侧，会存在对称的两点，然后根据对边相等求解．,（3）设点G是抛物线上一点，过点G作GH⊥l于点H，是否存在,解：存在．如解图②，,∵点,G,在抛物线上，则设点,G,的坐标为,(,g,，,g,2,＋,6,g,＋,5),，,∵,GH,∥,x,轴，点,H,在直线,l,：,x,＝,-3,上，,∴点,H,(-3,，,g,2,＋,6,g,＋,5),．,∵,GH,∥,
5、AB,，要得到平行四边形，,∴,GH,＝,AB,＝,4,，,即,|,g,＋,3|,＝,4,，解得,g,＝,1,或,g,＝,-7,，,当,g,＝,1,时，,g,2,＋,6,g,＋,5,＝,12,，此时点,G,的坐标为,(1,，,12),；,当,g,＝,-7,时，,g,2,＋,6,g,＋,5,＝,12,，此时点,G,的坐标为,(-7,，,12),．,综上，这样的点,G,有两个，坐标分别为,(1,，,12),、,(-7,，,12),．,例题解图②,解：存在．如解图②，例题解图②,（,4,）设,K,是抛物线上一点,,,过,K,作,KJ,∥,y,轴,,,交直线,AC,于点,J,,,是否存在点,K,使得以
6、,M,、,E,、,K,、,J,为顶点的四边形是平行四边形,,,若存在,,,求出点,K,的坐标,;,若不存在,,,请说明理由；,(4)【,思维教练,】,（4）设K是抛物线上一点,过K作KJ∥y轴,交直线AC于点J,解：存在，如解图③，设点,K,的坐标为,(,e,，,e,2,＋,6,e,＋,5),，∵,KJ,∥,y,轴，交直线,AC,于点,J,，直线,AC,的解析式为,y,＝,x,＋,5,，,∴设点,J,的坐标为,(,e,，,e,＋,5),．,∵,M,(-3,，,-4),，,E,(-3,，,2),，∴,ME,＝,6.,∵,ME,∥,y,轴，,KJ,∥,y,轴，∴,KJ,∥,ME,，,要得到平行四边
7、形，只需,KJ,＝,ME,＝,6.,(ⅰ),当点,K,在点,J,的下方时，,KJ,＝,(,e,＋,5),－,(,e,2,＋,6,e,＋,5),＝,-,e,2,－,5,e,，,则,-,e,2,－,5,e,＝,6,，解得,e,1,＝,-2,，,e,2,＝,-3,，,例题解图③,解：存在，如解图③，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)，∵,则,K,1,(-2,，,-3),或,K,2,(-3,，,-4),，,由于,K,2,(-3,，,-4),与点,M,重合，此时不能构成平行四边形，故舍去；,(ⅱ),当点,K,在点,J,的上方时，,KJ,＝,(,e,2,＋,6,e,＋,5),－,(,e,＋,5),＝,e
8、,2,＋,5,e,，,则,e,2,＋,5,e,＝,6,，解得,e,3,＝,-6,，,e,4,＝,1,，,则,K,3,(-6,，,5),、,k,4,(1,，,12),．,综上，这样的点,K,有三个，坐标分别为,(-2,，,-3),、,(-6,，,5),或,(1,，,12),．,则K1(-2，-3)或K2(-3，-4)，,（,5,）设点,N,是抛物线上一点,,,过点,N,作,NS,∥,AC,,,交,x,轴于点,S,,,是否存在点,N,,,使得以,A,、,E,、,N,、,S,为顶点的四边形是平行四边形？若存在,,,求出点,N,的坐标,;,若不存在,,,请说明理由；,(5)【,思维教练,】,（5）设点
9、N是抛物线上一点,过点N作NS∥AC,交x轴于点S,解：如解图④，过点,N,作,NT,⊥,x,轴，交,x,轴于点,T,，,∵,NS,∥,AE,，∴∠,NST,＝∠,EAD,，,∵,NT,⊥,x,轴，,ED,⊥,x,轴，,∴∠,NTS,＝∠,EDA,＝,90°,，,∵,NS,∥,AE,，要以点,A,、,E,、,N,、,S,为顶点的,四边形是平行四边形，则,NS,＝,AE,，,∴△,SNT,≌△,AED,，,∴,NT,＝,ED,＝,2.,设点,N,的坐标为,(,n,，,n,2,＋,6,n,＋,5),，,当点,N,在,x,轴上方，则,NT,＝,n,2,＋,6,n,＋,5,＝,2,，,例题解图④,解：
10、如解图④，过点N作NT⊥x轴，交x轴于点T，例题解图④,解得,n,1,＝,-,－,3,，,n,2,＝ －,3,，,此时点,N,的坐标为,N,1,(-,－,3,，,2),或,N,2,(,－,,3,，,2),；,当点,N,在,x,轴下方，则,NT,＝,-,n,2,－,6,n,－,5,＝,2,，,解得,n,3,＝,-3,＋ ，,n,4,＝,-3,－ ，,此时点,N,的坐标为,N,3,(-3,＋ ，,-2),或,N,4,(-3,－ ，,-2),．,综上，这样的点,N,有,4,个，分别为：,(-,－,3,，,2),，,(,－,3,，,2),，,(-3
11、,＋ ，,-2),或,(-3,－ ，,-2),．,解得n1＝- －3，n2＝ －3，,（,6,）设点,Q,是抛物线上一点,,,点,R,是任意一点,,,是否存在点,Q,，使得四边形,AQCR,是菱形,,,若存在,,,求出点,Q,的坐标；若不存在,,,请说明理由,.,(6)【,思维教练,】,,（6）设点Q是抛物线上一点,点R是任意一点,是否存在点Q，使,解：存在．如解图⑤，过点,O,作,OI,⊥,AC,交,AC,于点,I,. ∵,OA,＝,OC,＝,5,，∴,AI,＝,CI,，,∴,OI,是,AC,的垂直平分线，,∵四边形,AQCR,是菱形，,∴点,Q,、,
12、R,在,AC,的垂直平分线上，,∴点,Q,是直线,OI,与抛物线的交点．,过点,I,作,II,′,,⊥,x,轴于点,I,′,，则,II,′,是△,AOC,的中位线，,∴,II,′,＝,OC,＝ ，,I,′,O,＝,AO,＝ ，,∴点,I,的坐标为,(-,，,),，,例题解图⑤,解：存在．如解图⑤，过点O作OI⊥AC交AC于点I. ∵OA,设直线,OI,的解析式为,y,＝,tx,，将点,I,的坐标代入，可得,t,＝,-1,，,∴直线,OI,的解析式为,y,＝,-,x,，,,与抛物线联立得 ，解得 ， ，,,∴这样的,Q,有两个，坐标分别为,(,，,),；,(,，,),．,,设直线OI的解析式为y＝tx，将点I的坐标代入，可得t＝-1,
中考数学《二次函数：平行四边形、菱形、正方形的存在性问题》课件
