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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,追溯湖北高考,十,年,自主命题,立体几何,命,题之,奥秘,兼谈探究性学习,武汉经济技术开发区,何文桂特级教师工作室,2013.9,高考年年考，试题年年新，可谓是“,神秘莫测,”！果真如此吗？下面我们一起,追溯湖北高考十年自主命题立体几何命题之奥秘，,并以此说明,引导学生探究性学习的重要性！,问题58,人教社2007版普通高中课程标准实验教科书,数学(A版)(选修2-1)P,111,练习题3,如图112，已知正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，AB,1,和BA,1,交于点P，连结DP，求
2、证：DPBA,1,【思考与探索】,在图112中多角度、动态地探索新的结论，或将结论引伸到棱柱或棱锥,以上多次看到将正方体或直棱柱中的部分图形移出来命题,如果将正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中的三棱锥A,1,-ABC从体中移出来，不仅发现一种特殊的三棱锥,四个面都是直角三角形，而且研究四个面都是直角三角形的四面体A,1,-ABC，发现有面积关系：,如果将正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中的三棱锥A,1,-ABD从体中移出来，则有,并且有：(1)如果6条棱长之和为定值L，其体积的最大值为,还可得到：,(V为三棱锥A,1,-ABD的体积)，当且仅当AA,1,=AB=
3、AD时取,“,=,”,号；,(2),其中,，,，,分别为二面角A-A,1,B-D，A-,A,1,D-B，A-BC-A,1,的平面角,又如图133，长方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的对角线AC,1,是其外接球的直径，在长方体中，AC,1,2,=AA,1,2,+AB,2,+AD,2,，如果把长方体拿掉，留下三条棱AA,1,、AB、AD，则AA,1,、AB、AD为球O的三条互相垂直的弦(如图134)，于是有：,过球O上任一点A作互相垂直的三条弦AA,1,、AB、AD，则AA,1,2,+AB,2,+AD,2,为定值,再如图135，PA、EC是圆柱OO,1,的母线，AB是底面圆的直径，C
4、是底面圆O上异于A、B的任一点，连PC、PB、AC、BC、EA、EB，M、N分别是EC、EA的中点如果将圆柱的侧面和上底面去掉后命题，则为：,高考题27,(1986全国卷文、理科题三，8分),如图136，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C为圆周上不同于A、B的任一点,求证：平面PAC平面PBC,该题收录于人教社2007版普通高中课程标准实验教科书,数学(A版)(必修2)P,69,例3,课本题,人教社2007版普通高中课程标准实验教科书,数学(A版)(必修2)P,74,练习题B组题4,如图137,(1),，AB是O的直径，点C是O上的动点，过动点C的直线EC垂直于O所在平面，M、N分
5、别是EC、EA的中点，试判断直线MN与平面EBC的位置关系，并说明理由,下面几题均可视为由圆柱,“,生成,”,高考题28,(2013湖北卷理科题19，12分),如图137(2)，AB是O的直径，点C是O上异于A，B的点，直线EC垂直于平面ABC，M、N分别是EC、EA的中点,(1)设平面BMN与平面ABC的交线为L，试判断直线L与平面EAC的位置关系，并加以证明；,(2)设(1)中的直线L与O的另一交点为D，且Q满足,记直线,E,Q与平面ABC所成的角为，异面直线,E,Q与MN所成的角为，二面角N-L-C的大小为求证：sin=sinsin,显然，该题由课本题探索新结论后命制的,同时，该题也可视
6、为探索图137(3)长方体ADBC-FGHE,的性质后，将三棱锥E-ABC移出后命制的,当然，它也可视为在正方体中探索相应问题后拓展而来的,如果设R是图137(3)长方体中AC的中点，再把四棱锥E-CRDB移出来命题，则为：,高考题29,(2013北京卷文科题17，14分),如图137(4)，在四棱锥E-CRDB中，CRBD，CDCB，,BD=2CR，平面ECB平面CRDB，ECCB，,M,，,N,分别是BD，ED的中点,求证：(1)EC底面CRDB；(2)R,M,平面ECB；(3)平面RM,N,平面EBD,高考题30,(2008广东卷文科题18，14分),如图138，四棱锥P-ABCD的底面
7、ABCD是半径为R的圆的内,接四边形，其中BD是圆的直径，ABD=60,0,，BDC=45,0,，ADPBAD,(1)求线段PD的长；,(2)若PC=,R，求三棱锥P-ABC的体积,问题61,人教社2007版普通高中课程标准实验教科书,数学(A版)(选修2-1)P,111,习题A组题1,如图155，已知M、N分别是正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱BC、CD的中点，求,(1)MN和AD,1,所成的角；(2)MN和A,1,B,1,所成的角,【思考与探索】,直接在图155中探索新的结论,通过以上探究，不仅揭示了,湖北高考,十,年自主命题,(包括全国各省市命题),立体几何,命题的奥
8、秘,从正方体出发，先探索正方体的性质(,“,传统方法,”,与向量方法相结合进行探索,)，再将正方体的性质引伸到直棱柱，然后直接在正方体或直棱柱中或将正方体或直棱柱中的部分图形移出来命题,(由于底面有外接圆的直棱柱必有外接圆柱，命题时，正方体、长方体和直三棱柱均可与圆柱相互对接，而正方体、长方体和正多面体可与球体相互对接，正棱锥可与圆锥相互对接),正方体作为立体几何教材中最基本的几何体，它作为高考题的生成源，进一步论证了高考题源于教材的命题思想，进一步说明了,“,回归课本是复习备考之根本，对课本习题整合、引伸及推广则是研究的核心！,”,同时还发现将有关几何体,“,补成,”,特殊的几何体可获取或简
9、化解题方法,为什么高考选择正方体作为立体几何命题背景？,一是建立空间直角坐标系发挥向量工具作用的需要；,二是,“,特殊与一般的数学思想,”,的体现,:,一般性存在于特殊性之中，如平行六面体的性质存在于长方体中，长方体的性质存在于正四棱柱中，正四棱柱的性质存在于正方体中，而正方体的性质较容易发现,难点则是怎样通过正方体的性质探索出正四棱柱、长方体、平行六面体的性质，或将具有某性质的部分图形分割出来命题,探索的切入点一般,是：,与,面的中心，体的中心，棱的中点或某等分点有关的线线、线面、面面的位置关系与数量关系；,探索的思考程序一般是：,发现正方体的性质,正四棱柱中验证(如果成立),长方体中验证(如果成立),平行六面体中验证；,探索结果的利用一般,是：,直接在该几何体中命题，或将体中的部分柱体、锥体移出来命题,揭示了立体几何题的命题奥秘，让我们一起去感悟其他题的命题奥秘吧！,
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