高中数学《归纳与类比》素材1北师大版选修2-2

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1、 探究问题解决的巧妙之法——归纳与类比 数学学习过程的本身往往是对已有知识的不断提升， 比如我们在学习分式的基本性质和 分式的混合运算时通常是类比分数来进行的， 这就是运用类比的方法来学习新知识。 在考试 中也经常由简单问题切入， 不断改变问题的条件， 升级问题的难度， 并在此过程中通过类比 和归纳的方法来获得解决问题的途径，进而解决问题 . 下面通过分析典型例题来诠释归纳和类这种数学思想方法的运用 . 例 1. 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中 A 60 ，AC=1. 固定△ ABC 不动，将△ DEF

2、进行如下操作： (1) 如图 1(1) ，△ DEF 沿线段 AB 向右平移 (即 D 点在线段 AB 内移动 )，连结 DC、CF 、FB， 四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积 . (2) 如图 1(2)，当 D 点移动到 AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由 . (3) 如图 1(3)，△ DEF 的 D 点固定在 AB 的中点时，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△ DEF ， 使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连结

3、AE，请你求出 sin α的值 . C ( F) C F C F A (F) (E)

4、 D B A A B E D 图 1(1) D 图 1(2) B E 解： α (1) 过 C 点作 CG⊥AB 于 G，在 Rt△ AGC 中，

5、 ∵ A 60 , AC 1， sin A =sin60 = CG ， 图 1(3) E AC ∴ CG 3 . 又∵ AB =2， C F 2 ∴ S 梯形 CDBF =S△ ABC = 1 AB CG = 1 2 3 3 .

6、 2 2 2 2 A G B E (2) 菱形 D 解图 1(1) 理由如下： C (F) ∵ CD∥ BF ， FC∥ BD ，∴四边形 CDBF 是平行四边形 . ∵ DF∥ AC ，∠ ACB=9

7、0 ，∴ CB⊥DF ， ∴四边形 CDBF 是菱形 . (F) (3) 过 D 点作 DH ⊥AE 于 H， A (E) D B 则 S△ ADE = 1 AD EB 1 1 3 3 .

8、 H 2 2 2 又 S△ ADE = 1 AE DH 3 ，则 DH 3 3 (或 21 ) . α 2 2 AE 7 7 解图 1(3) E ∴在 Rt△ DHE 中， sin α= DH 2 3 (或 21 ) .

9、 DE 7 14 用心 爱心 专心 点 ： 如果 看第（ 3） 是不易求解的，但借助前两 的 ，并且在解决 运用 比的方法就可以 得解决 的渠道． 例 2．将一 透明的平行四 形胶片沿 角 剪开， 得到 2(1)中的两 三角形胶片 △ ABC 和 △ DEF ．将 两 三角形胶片的 点 B 与 点 E 重合，把 △ DEF 点 B 顺时针 方向旋 ， AC 与 DF

10、 相交于点 O ． C A A A E F O B F O FB(E) B(E) C D C D D 图 2(1) 图 2(2) 图 2(3)

11、 （1）当 △DEF 旋 至如 C、D 在同一直 上 ， AFD 与 DCA 2(2)位置 ，点 B( E) 、 的数量关系是 ． （ 2）当 △ DEF 旋 至如 2(3)位置 ，（ 1）中的 成立 ？ 明理由． （ 3）在 2(3) 中， 接 BO、AD ，探索 BO 与 AD 之 有怎 的位置关系，并 明． 解：（ 1） AFD DCA （或相等）． （ 2） AFD DCA （或成立）． 理由

12、如下： 由 △ ABC ≌△ DEF ，得到： AB DE， BC EF （或 BF EC ）， ABC DEF BAC， EDF ． ABC FBC DEF CBF ， ABF DEC ． AB DE， 在 △ ABF 和 △ DEC 中， ABF DEC， BF EC， △ ABF ≌△ DEC， BAF

13、 EDC ． BAC BAF EDF EDC， FAC CDF ． AOD FAC AFD CDF DCA ， AFD DCA ． （ 3）如 ， BO AD ． A 由 △ ABC ≌△ DEF ，点 B 与点 E 重合， 得到 BAC BDF，BA BD ． G 点 B 在 AD 的垂直平分 上， F O

14、 且 BAD BDA ． B(E) C D OAD BAD BAC ， ODA BDA BDF ， OAD ODA ， OA OD ，∴点 O 在 AD 的垂直平分 上． 直 BO 是 AD 的垂直平分 ， BO AD ． 点 ： 本 是 直 型 的 合考察， 了降低 度， 目由浅入深， 学生搭建了 比 和 的空 ，其中第（ 2） 的“ 成立

15、？” 的字眼可以引 学生 行 探究和 比． B A 例 3．如 3，平面内有公共端点的六条射 OA ， OB ， 8 7 2 OC ， OD ， OE ， OF ，从射 OA 开始按逆 C 9 3 1 F O 6 1， 2，3， 4， 5，6， 7，⋯． 4 方向依次在射 上写出数字 12 10 5

16、 11 用心 爱心 专心 E D 图 3 （1）“ 17”在射线 上． （ 2）请任意写出三条射线上数字的排列规律． （ 3）“ 2007”在哪条射线上？ 解：（ 1）“ 17”在射线 OE 上． （ 2）射线 OA 上数字的排列规律： 6n 5 ；射线 OB 上数字的排列规律： 6n 4； 射线 OC 上数字的排列规律： 6n 3 ；射线 O

17、D 上数字的排列规律： 6n 2 ； 射线 OE 上数字的排列规律： 6n 1；射线 OF 上数字的排列规律： 6n ． （ 3）在六条射线上的数字规律中，只有6n 3 2007 有整数解，解为 n 335 ． ∴“ 2007 ”在射线 OC 上． 点评： 一般地，找规律的题目实际上均蕴含了归纳的思想 . 例 4．如图 4，在平面直角坐标系中，已知点 P0 的坐标为 (1，0) ，将线段 OP0 按逆时针方向 旋转 45 ，再将其长度伸长为 OP0 的 2 倍，得到线段 OP1 ；又将线段 OP1 按逆时针方

18、向旋转 45 ，长度伸长为 OP1 的 2 倍，得到线段 OP2 ；如此下去， 得到线段 OP3 ，OP4 ， P3 y ， OPn （ n 为正整数） . P2 P4 P （1）求点 P6 的坐标；（ 2）求 △ 5 6 的面积； 1 POP O P0 (10)， x （3）我们规定：把点 Pn (xn， yn ) （ n 01，，2，3， ） 的横坐标 xn 、纵坐标 yn

19、都取绝对值后得到的新坐标 图 4 xn ，yn 称之为点 Pn 的“绝对坐标” ． P5 根据图中点 Pn 的分布规律，请你猜想点 Pn 的 “绝对坐标” ，并写出来． 解：（ 1）根据旋转规律，点 P6 落在 y 轴的负半轴，而点 Pn 到坐标原点的距离始终等于前一 个点到原点距离的 2 倍，故其坐标为 6 ，6 ) ，即 P6 ， ． P (0 2 (0 64)

20、 （ 2）由已知可得， △ P0OP1 ∽△ POP12 ∽ ∽△ Pn 1OPn ， P (x y ) y 2sin45 2 S 0 1 1 OP y 1 2 设 1 1， 1 ，则 1 ， △P OP 2 0 1 2 2 . 又 OP6 32 ， 56 ( OP6 )2 32 2 1024 ，

21、 S△ P OP OP1 S△ P0OP1 OP1 1 ∴ S△ P OP 1024 S P OP 1024 2 512 2 . 2 5 6 0 1 用心 爱心 专心

22、 （3）由题意知， OP0 旋转 8 次之后回到 x 轴正半轴，在这 8 次中，点 Pn 分别落在坐标象限 的平分线上或 x 轴或 y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点 Pn 的坐标可分三类情况： 令旋转次数为 n ： ①当 n 8k 或 n 8k 4 时（其中 k 为自然数），点 Pn 落在 x 轴上，此时，点 Pn 的绝对 坐标为 (2 n，0) ； ②当 n 8k 1 或 n 8k 3 或 n 8k 5 或 n 8k 7 时（其中

23、 k 为自然数），点 Pn 落在 各象限的平分线上， 此时，点 Pn 的绝对坐标为 2 2 n， 2 n ，即 2 n 1 ，n 1 2 ； 2 2 2 2 2 ③当 n 8k 2 或 n 8k 6 时（其中 k 为自然数），点 Pn 落在 y 轴上，此时，点 Pn 的绝 对坐标为 (0，2n ) ． 点评： 归纳和类比的思想方法在这道题中得到了充分的体现， 第三问虽然需要讨论， 但其解 决的方法仍延承前面两问． 用心 爱心 专心