向量的概念与运算

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十讲 向量的概念与运算,1,二、向量在坐标轴上的分向量和向量的坐标及运算的坐标表示,第六章多元函数微分学基础,四、小结、练习,一、空间直角坐标系和向量的概念,三、向量的模与方向余弦的坐标表达式,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合,右手系,.,一、空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有,八个卦限,给定空间任一点,，过,分别作,轴,轴,轴的垂面交,轴于点,、,，设,三点在三条坐标轴,，则,称为,、,、,、,、,的坐标依次为,、,、,点,在这个坐标系,中的坐标显然空

2、间任一确定的点，都有确定的唯一,三个实数,的有序,数组与之对应，反之,任给有序数组 也有唯一 确,定的以其为,坐标的点与,之对应,向量：,既有大小又有方向的量,.,向量表示：,模长为,1,的向量,.,零向量：,模长为,0,的向量,.,|,向量的模：,向量的大小,.,单位向量：,二、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量,.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量,.,负向量：,大小相等但方向相反的向量,.,向径：,空间直角坐标系中任一点,与原点构成的向量,.,1,加法：,（,平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,三、向量的加减法,

3、向量的加法符合下列运算规律：,（,1,）交换律：,（,2,）结合律：,（,3,）,2,减法,四、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（,1,）结合律：,（,2,）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,.,例,1,化简,解,例,2,试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形,.,证,与 平行且相等,结论得证,.,设点,M,则,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,1.,向径,OM,表示,.,五、向量的坐标表达式,6.,方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取,空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的,夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与三,坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,记作,方向余弦的性质,:,例,4.,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角,.,解,:,计算向量,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（,注意与标量的区别）,（,平行四边形法则）,（,注意数乘后的方向）,六、小结,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,.,（,注意分向量与向量的坐标的,区别,）,向量的模与方向余弦的坐标表示式,.,