广东省佛山市2024-2025学年高二上学期阶段测试一（10月） 数学试题[含答案]

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1、 2024—2025学年度第一学期高二年级数学科 阶段测试一（概率+空间向量与立体几何）考试题 （全卷共4页，供全级使用）成绩：______ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（） A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答. 抛掷一枚

2、硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（） A. 事件1与事件3互斥 B. 事件1与事件2互为对立事件 C. 事件2与事件3互斥 D. 事件3与事件4互为

3、对立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解. 由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：, 事件3可表示为：,事件4可表示为：, 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件， 所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件， 所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量定义即可解题. 因

4、， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 4. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算得到，然后利用平方法即可求出答案. 由于， 所以 ， 所以，故甲，乙两人相距70m． 故选：A． 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（）． A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到

5、方程组，得到答案. 因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得 故选：C 6. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（） A. 事件A与事件B互斥 B. C. D. 事件A与事件B相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确. 易知，同理可得，； 由可得，即， 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误； 对于B，显然，即B错误； 对于C，由可得，即 所以

6、，即C错误； 对于D，易知，满足独立性定义，即D正确. 故选：D 7. 是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则A1,0,0，，设，，，， ，， ， 当时，取得最小值， 当或1，或1时，取得最大值0， 所以的取值范围是. 故选：B. 8. 甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜

7、的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.57 D. 0.575 【答案】D 【解析】 【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 由题意知， 一二局甲胜的概率为：， 一三局甲胜的概率为：， 二三局甲胜的概率为：， 因此最终甲胜的概率为， 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，

8、有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下命题正确的是（） A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则 C. 已知，，若与垂直，则实数 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C，根据四点共面的充要条件可判定D. 对于A，由题意知，所以，故A正确； 对于B，由题意知，所以或，故B错误； 对于C，由题意知， 解之得，故C正确； 对于D，由， 即，所以四点

9、共面，故D正确. 故选：ACD 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件“”，事件=“”，事件=“”，则（） A. B. 与相互独立 C. 与为对立事件 D. 与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得． 依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个； 其中事件“  ”包含的样本点有：  ，，，，，共个； 事件  “  ”，包含的样本点有：  ，  ， ， ，，，，，共个， 事件

10、 “”，包含的样本点有：，，，，，， ，，，，，， ，，，，，共个， 对于A，，故A正确； 对于B，事件包含的样本点有，，共3个， 所以， 所以，所以与相互独立，故B正确； 对于C，包含的样本点个数满足， 所以与不为对立事件，故C错误； 对于D，事件包含的样本点有：，，，，，，共6个， 而，，， 从而， 所以与不相互独立，故D错误. 故选：AB. 11. （多选）在直三棱柱中，，是的中点，则（） A. B. 若，则 C. 在上存在一点，使得平面 D. 若，则平面与平面不平行 【答案】CD 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数

11、量积的坐标表示公式、空间向量共线向量坐标表示公式、空间向量模公式，结合平面向量的法向量逐一判断即可. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，所以，A错误； 若，则，所以，B错误； 当为中点时，平面平面， 所以平面，C正确； 若，，则， 所以． 设平面的法向量， 平面的法向量， 则，即， 令，则，又， 则，即，令，则， 所以与不平行，D正确． 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9

12、之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组.代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 137 996 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据在这20 组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有组，即可得出结论.

13、这20 组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有： 137、191、271、932、812、393共组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：， 故答案为：. 13. 小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为___________ . 【答案】## 【解析】 【分析】记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解. 解：记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立， 且， 因为他恰好能答对两道题

14、的概率为， 可得 ，整理得， 所以他三道题都答错的概率为. 故答案为：. 14. 已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________． 图1 图2 【答案】## 【解析】 【分析】应用空间向量法计算已知面面垂直即法向量垂直即可求参. 如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得

15、 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）9；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 16. 由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取

16、一个，求： （1）所抽到数为偶数的概率； （2）所抽到数为3的倍数的概率； （3）所抽到数个位和十位不相同的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 分析】运用列举法，结合古典概型计算公式进行求解（1）（2）（3）即可. 【小问1详解】 数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中偶数有共8个， 所以所抽到数为偶数的概率； 【小问2详解】 数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中3的倍数有共5个， 所以抽到数为3的倍数的概率； 【小问3详解】 数字1，2，3，4构成的两位数有共16个，其中个位和十位相同的数有共4个，所以个位和十位不相同的数

17、有12个， 所以抽到数为3的倍数的概率； 17. 如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，

18、可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为中点，可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问2详解】 解：因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 若平面，可得， 即可得，解得，所以， 即存在点，使得平面，此时的值为. 18. 在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为. （1）求的坐标 （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据AC和BD的中点相同，利用中点坐标公式求解； （2）由（1）得到

19、，再利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 解：设，因为AC和BD的中点相同， 且， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 所以. 19. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接，可得， 因为为的中点，且， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以 ， 因为平面，平面，且平面,平面， 所以， 又因为， 所以， 所以.