数量方法-随机变量

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1、单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,数量方法-随机变量,数量方法-随机变量数量方法-随机变量有志者，事竟成！第七单元 随机变量及其分布 随机变量概述,离散型随机变量,连续型随机变量,例 1 在10件同类产品中，有3件次品，现任取

2、2件，用,X,表示“2件中的次品数”，,X,的取值有哪些？对应的概率是多少?,例 2 “测试电子元件寿命”试验，用,Y,表示 元件寿命(小时)，,Y,的取值如何?,一、随机变量的概念,一个变量若满足：,（1）取值的,随机性,。即取到哪一个值事前不知道，要由随机试验的结果而定；（2）取值的,对应性,。即取到的每一个值都 对应于某一随机现象；（3）概率的,确定性,。即它取某一个值或在 某一区间内取值的概率是确定的。,称这样的变量为,随机变量,，通常用大写 字母,X、Y、Z,表示。,例,1,中，“两件产品中没有次品”事件 可用,X=0,表示 “两件产品中至少一件次品”事件 可用,X1,表示,例,2,

3、中，“元件寿命至少,1000,小时”事件 可用,Y 1000,表示 “元件寿命不足,500,小时”事件 可用,Y,500,表示,为什么要引入随机变量？,可使随机事件数量化，便于数学处理，从而更深入地研究随机现象。,上述两例，随机现象较容易用数量来描述，但在实际中常遇到一些似乎与数量无关的随机现象，如何用随机变量来描述它们？,例,3,抛一枚均匀硬币，试验的可能结果两个，即“正面向上”与“正面向下”。,通常定义随机变量,1,正面向上,P(X=1)=0.5X=,且,0,正面向下,P(X=0)=0.5,例,4,一批产品的合格率为,P，,随机抽一个检验，,可能结果为“抽到合格品”与“抽到废品”。,通常定

4、义随机变量,1,抽到合格品,P(Y=1)=PY=,且,0,抽到废品,P(Y=0)=1-P,例,5,一批产品的一、二、三级品率为,50%、35%、,15%,，随机抽取一个，可能结果“抽到一级品”“抽到二级品”、“抽到三级品”。,可定义,1,抽到一级品,P(Z=1)=50%Z=2,抽到二级品 且,P(Z=2)=35%,3,抽到三级品,P(Z=3)=15%,二、随机变量的种类,按随机变量的取值不同，可分为,离散型随机变量,：随机变量只取有限个或 可列个可能值。,连续型随机变量,：在某一个或若干个有限或 无限区间取值的随机变量。,设离散型随机变量,X,所有可能取值为,x,1,，,x,2,，,x,n,，

5、其相应的概率分别为,p,1,，,p,2,，,p,n,记作,P(X=x,i,)=p,i,，（,i=1,，,2,，,n,）,称为离散型随机变量,X,的概率分布，简称分布。也可表示为：,p,1,p,2,P,i,x,1,x,2,X,一、离散型随机变量的分布,概率分布的性质,1）0p,i,1 i=1,，,2,，,2）p,i,=1,例 写出上一节例,1,、,3,、,4,、,5,的概率分布,二、离散型随机变量的数学期望,离散型变量,X,的取值为,x,1,x,2,x,i,相应的概率为,p,1,p,2,p,i,x,i,与,p,i,的乘积 之和为,X,的数学期望，简称期望或均值。记作,E(x),或,E(x)=,x

6、,i,p,i,例 （教材,P149,例,3,、,4,）,数学期望是对随机变量集中趋势的度量，对其离散程度的度量用方差。,离散型变量,X,离差的平方的数学期望 称为,X,的方差。记作,D(X),或,方差的算术平方根为均方差或标准差，用,表示。,例 （教材,P151,例,6,、,7,）,三、离散型随机变量的方差,四、常见的离散型随机变量,一个试验如果结果只有两个，都可以用,两点分布,来描述。,（一）,两点分布,1,、定义 随机变量,X,只可能取,0，1,两个值，概率分布为：,P(X=,1,)=p,，,P(X=0)=,1,p (0p1),或 （,k=,0,1 0,p1,）,称,X,服从两点分布。记为

7、,X,B(1,，,p,),2,、两点分布的数学期望与方差,E(X)=p,D(X)=(1,p)p,例（教材,P152,例,8,）,某射手射击一次，观察他中靶与脱靶；抛硬币一次，观察其正面朝上、朝下；从一批产品中取一件，观察其正品、废品;以上试验都可用,两点分布,来描述。,某射手射击多次；连续抛硬币多次；从一批产品中取,n,件产品；这些试验还能用两点分布描述吗？,随机试验只有两个可能结果,A,或 ，且,P(A)=p,，,P()=1,p=q,这种试验称为,Bernoulli,试验；试验,独立重复,n,次,，称,n,重,Bernoulli,试验,。,（二）,二项分布,令,X,为,n,重,Bernoul

8、li,试验中事件,A,发生的 次数，,X,的所有可能取值为,0、1、2n X,取值,k,的概率为,(K=0、1、2 n),其中,P(A)=p,，,P()=1,p=q,0,p0),的泊松分布。记作,X,P(,),。,泊松分布用来描述指定时间内某一事件发生次数的分布。,如：,某市早晚高峰期内通过某路口的车辆数分布；某市除夕日被爆竹炸伤人数的分布；某景点十一黄金周接到游客投诉电话次数分布。,2,、泊松分布的数学期望与方差,E(X),=,D(X),=,例,（教材,P153,例,10,）,一、概率密度函数,X,为连续型随机变量，,x,为任一实数，若函数,(x),表示变量,X,的分布情况，即,X,取值的规

9、律，称,(x),为概率密度 函数，或称概率分布。,性质,对任意实数,x,，,(x),0,对于任意,x,1,x,2,，,X,在其区间（,x,1,，,x,2,）的概率,P(x,1,Xx,2,),是函数,(x),的曲线 下从,x,1,到,x,2,的面积；,(x),曲线与,x,轴构成的面积为,1,，即,P(,X,)=1,。,二、常见的连续型随机变量,（一）,均匀分布（一致分布）,若随机变量,X,的密度函数为,0,其他,则称,X,服从,a,，,b,上的均匀分布,记作,X,U,a，b,如果,X,在,a,，,b,上服从均匀分布，则对任意满足 的,a，b,有,X,取值于,a,，,b,中任一小区间的概率与该小区

10、间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。,例 （教材,P158,例,3,）,均匀分布的数学期望与方差,在区间,a,，,b,上均匀分布变量,X,的数学 期望和方差为：,（二）,正态分布,1、,正态分布,若随机变量,X,的密度函数为,、,是参数,（,0,）,则称,X,服从参数为,和 的正态分布,记作,X,N(,，,),式中的,是正态随机变量,X,的均值,即,E(X)=,式中的 是正态随机变量,X,的方差,即,D(X)=,关于密度函数的图形,1),图形是关于,x=,对称的钟形曲线，且峰值在,x=,处取得。,2),方差 越小，曲线峰值越大，曲线 越狭长；方差越大，曲线越平坦。,3),当,x,时，,

11、0,，即 以,x,轴 为渐近线。,2,、标准正态分布,若正态分布,N(,，,),中的参数,=0,，,=1,时，其分布,N(0,，,1),称为标准正态分布。,用 表示标准正态分布的密度函数,标准正态分布密度函数图形关于纵轴对称,标准正态分布的概率可通过查表求得,表中能查得的概率为 即,如何求,3,、一般正态分布转换为标准正态分布,即服从一般正态分布的变量通过上述 转换可以变换成为标准正态分布。,例,（教材,P161,例,5,）,例,（教材,P161,例,6,）,例,（教材,P161,例,7,）,X,为,n,重,Bernoulli,试验中事件,A,发生 的次数，,p,为事件,A,发生的概率。当,n,足够大且,p,不很靠近0、1时，可用 正态分布近似描述这个二项分布。,Y,为正态分布变量,其均值和标准差 与二项分布变量,X,相同。即,4、用正态分布逼近二项分布,例,抛一枚硬币100次，正面向上在45次 与55次间的概率为多少。,谢谢,46,、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。,卡耐基,47,、书到用时方恨少、事非经过不知难。,陆游,48,、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。,史美尔斯,49,、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。,孙洙,50,、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。,莫扎特,