计算机硬件及网络支持向量机

《计算机硬件及网络支持向量机》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机硬件及网络支持向量机（34页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,支持向量机引导,孙宗宝,2006年12月20日,哈尔滨理工大学网络信息中心学术交流,11/13/2024,1,支持向量机引导,孙宗宝,2006年12月20日,哈尔滨理工大学网络信息中心学术交流,11/13/2024,2,内容提要,概述,线性可分情况理论,线性不可分情况,支持向量机模型,核函数,支持向量机网络,11/13/2024,3,SVM,简介,90年代中

2、期在统计学习理论的根底上开展起来的一种机器学习方法 (Boser,Guyon,Vapnik),适合有限样本(小样本)问题,在很大程度上解决了传统方法如神经网络中存在的问题，如过学习、非线性、多维问题、局部极小点问题等,统计学习理论和支持向量机被视为机器学习问题的一个根本框架，传统的方法都可以看作是SVM方法的一种实现,有坚实的理论根底和严格的理论分析,11/13/2024,4,概述,一、向量的内积与超平面,11/13/2024,5,概述,二、最优分类平面,11/13/2024,6,概述,二维数据最优分类线的根本要求：,1、要能将两类样本无错误的分开,即使经验风险最小，理论上为零,2、要使两类之

3、间的距离最大,也就是使margin最大，从而使实际风险最小,11/13/2024,7,概述,我们要做的是什么呢？,找到一个超平面(最优分类面)，使得它能够尽可能多的将两类数据点正确的分开，同时使分开的两类数据点距离分类面最远。,11/13/2024,8,H,H,2,H,1,最优分类平面,为最优分类平面的方程,11/13/2024,9,SVM原理之线性可分,设线性可分样本集为(xi,yi),i=1,2,n,xRd,y+1,-1是类别标号。,那么d维空间中线性判别函数的一般形式为:,g(x)=wx+b,分类面方程为:,wx+b=0 (1),11/13/2024,10,SVM原理之线性可分,将判别函

4、数进行归一化,使两类所有样本都满足|g(x)|1,即,使离分类面最近的样本的|g(x)|=1,这样分类间隔就等于2/w,因此,间隔最大等价于使w(或w,2,)最小;,而,要求分类线对所有样本正确分类,就是要求其满足:,y,i,(wx,i,)+b-10,(i=1,2,n)(2),11/13/2024,11,SVM原理之线性可分,我们解决这样问题的思路是什么呢？,首要的就是设法找到解决问题的数学模型！,我们的问题是：,找到满足上述式2、且使w2的分类面。,其实这个分类面就是最优分类面！,11/13/2024,12,SVM原理之线性可分,支持向量SV在那呢？,能使式2,yi(wxi)+b-10,(i

5、=1,2,n),中等号成立的，也就是位于margin 上的样本就是支持向量。,11/13/2024,13,SVM原理之线性可分,最优分类平面求解的数学模型,我们的求解过程显然是一个有 约束条件的优化问题：,即在式(2)的约束下,求函数:,(w)=1/2w,2,=1/2(ww)(3),的最小值。,11/13/2024,14,SVM原理之线性可分,求解方法-Lagrange 乘子法,什么是Lagrange 乘子法？,看一个例子。,问题：给你一块面积固定等于a 的平方 板子，问做成什么样的长方体盒子，它具有最大的体积。,11/13/2024,15,SVM原理之线性可分,Lagrange 乘子法,设长

6、方体的三个棱长为x，y，z，那么其体积f 为三个边长的乘积：,f(x,y,z)=xyz,本问题要求外表积为a 的平方，于是长方体的6面的面积可以写成：,2xy+2xz+2yz=a2,即 2xy+2xz+2yz-a2=0,这个问题转化为了有约束条件的优化问题。,11/13/2024,16,SVM原理之线性可分,Lagrange 乘子法,解题方法为：,1 用拉格朗日方法制造一个新函数,F,2 在,F,中放进一个未知的常数,C,得到：,F=xyz+C(2xy+2xz+2yz-a,2,),11/13/2024,17,SVM原理之线性可分,Lagrange 乘子法,F对,x，y，z 的三个自变量的偏微分

7、分别为零，得到三个新方程式：,yz+2,C,(,y,+,z,),=,0,xz,+2,C,(,x,+,z,)=0,xy,+2,C,(,x,+,y,)=0,因为自变量仅可能是正数，把上面的式子相除得,(,x/y,)=(,x,+,z,)/(,y,+,z,),(,y,/,z,)=(,x,+,y,)/(,x,+,z,),11/13/2024,18,SVM原理之线性可分,Lagrange 乘子法,由此得出只有各个自变量的值相等才可以维持上面的关系，再由约束条件得到它们的值是：,x=y=z=(a/6),11/13/2024,19,SVM原理之线性可分,构造拉格朗日函数:,L(w,b,a)=(ww),a,i,

8、y,i,(wx,i,)+b-1,其中:a,i,0为Lagrange系数。求式(3)的极小值就是对w和b求拉氏函数的极小值。求L对w和b的偏微分，并令其等于0,可转化为对偶问题:,在约束条件 a,i,y,i,=0,ai0,i=1,2,n之下对,a,i,0求式(5)的最大值:,11/13/2024,20,SVM原理之线性可分,W(a)=ai-aiajyiyj(xi.xj)5,假设ai*为最优解，那么,w*=i=1.n ai*yixi 6,即最优分类面的权系数向量式训练样本的线性组合。,11/13/2024,21,SVM原理之线性可分,这是一个不等式约束的二次函数极值问题，存在唯一解，并且解必须满足

9、(Kuhn-Tucker条件):,aiyi(w*xi+b)-1=0,i=1.n 7,显然，只有支持向量的系数a,i,不为0,即只有支持向量影响最终的划分结果。,这是为什么？,11/13/2024,22,SVM原理之线性可分,于是式6,w*=i=1.n ai*yixi,可以写成：,w=,a,i,y,i,x,i,可以看出，只有支持向量影响最终的划分结果,，,最优分类面的权系数向量是训练样本向量的线性组合。,8,11/13/2024,23,SVM原理之线性可分,假设ai*为最优解,求解上述问题后得到的最优分类函数是:,f(x)=sgn(w*x)+b*=sgnai*yi(xix)+b*,其中:sgn(

10、)为符号函数,b*是分类的阈值,可以由任意一个支持向量用式(2)求得,或通过两类中任意一对支持向量取中值求得。对于给定的未知样本x,只需计算sgn(wx+b),即可判定x所属的分类。对于非支持向量ai 都为0。,11/13/2024,24,SVM原理之线性不可分,对于线性不可分的样本,希望使误分类的点数最小,为此在式(2)中引入松弛变量i0,即：,yi(wxi)+b-1+i0,(i=1,2,n)9,/yi(wxi)+b-10,(i=1,2,n)(2),11/13/2024,25,SVM原理之线性不可分,在式(9)中,对于给定的常数C,求出使,(w,)=(ww)+C i 10,取极小值的w,b,

11、这一优化问题同样需要变换为用拉格朗日乘子表示的对偶问题,变换的过程与前面线性可分样本的对偶问题类似,结果也几乎完全相同,只是约束条件略有变化:,a,i,y,i,=0,(0a,i,C,i=1,2,n)(11),C反映了在复杂性和不可分样本所占比例之间的折中。,11/13/2024,26,支持向量机,如果用内积K(x,x)代替最优分类面中的点积,就相当于把原特征空间变换到了某一新的特征空间,此时优化函数变为:,W(a)=a,i,-a,i,a,j,y,i,y,j,K,(x,i,x,j,),相应的判别函数也应变为:,f(x)=sgn,a,i,*,y,i,k,(x,i,x)+b,*,11/13/2024

12、,27,支持向量机,算法的其他条件均不变,这就是支持向量机。,所以，原问题就转化成了找SV的问题，而求SV的过程就是解一个,二次规划,(有约束的)，二次规划无局部极值，只有一个最值，所以SV的求解不会有 不收敛 或者 收敛到局部极小 的问题。而VC维又保证了机器的容量，不可能过学习(因为机器的结构已经固定),具体的求解方法可以参考运筹学中约束二次规划的求解,11/13/2024,28,非线性分类面,非线性可分的数据样本在高维空间有可能转化为线性可分。,在训练问题中，涉及到训练样本的数据计算只有两个样本向量点乘的形式,使用函数 ,将所有样本点映射到高为空间，那么新的样本集为,设函数,内核函数(Kernel function),11/13/2024,29,一个能实现非线性关系到线性关系变换的实例,取：,那么,11/13/2024,30,核函数,11/13/2024,31,核函数,Mercer条件,对于任意的对称函数K(,x,x,)，它是某个特征空间中的内积运算的充分必要条件是，对于任意的(x)0且2(,x,)d,x,0,11/13/2024,32,支持向量网络,11/13/2024,33,通常的内核函数,线性内核,多项式内核,径向基函数内核(RBF),S形内核,谢谢大家,!,11/13/2024,34,