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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专题四 二次函数压轴题,类型三 特殊三角形问题,专题四 二次函数压轴题 类型三 特殊三角形问题,例,3,（,2018,山西）如图，抛物线,y
2、,x,2,x,4,与,x,轴,交于,A,，,B,两点,(,点,A,在点,B,的左侧,),，与,y,轴交于点,C,，连,接,AC,，,BC,.,点,P,是第四象限内抛物线上的一个动点，点,P,的横坐标为,m,，过点,P,作,PM,x,轴，垂足为点,M,，,PM,交,BC,于点,Q,，过点,P,作,PE,AC,交,x,轴于点,E,，交,BC,于点,F,.,例,3,题图,典例精析,例 3（2018山西）如图，抛物线y x2 x,解,：令,y,0,，得,x,2,x,4,0,，,解得,x,1,3,，,x,2,4,，,点,A,，,B,的坐标分别为,(,3,，,0),，,(4,，,0),由,x,0,，得,y
3、,4,，,点,C,的坐标为,(0,，,4),；,【,思维教练,】,已知抛物线的解析式,A,，,B,，,C,三点均为抛物线与坐标轴的交点，分别令,y,0,，,x,0,，求解即可,（,1,）求,A,，,B,，,C,三点的坐标；,例,3,题图,解：令y0，得 x2 x40，【思维教练】已,（,2,）试探究在点,P,运动的过程中，是否存在这样的点,Q,，使得以,A,，,C,，,Q,为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点,Q,的坐标；若不存在，请说明理由；,【,思维教练,】,利用待定系数法可求得直线,BC,的解析,式，利用勾股定理计算出,AC,的长，设点,Q,的坐标为,(,m,，,m,4)(
4、0,m,4),，进而用含,m,的式子分别表示,出,CQ,2,，,AQ,2,，要使,ACQ,为等腰三角形，需分三种,情况讨论：,CQ,CA,；,AQ,AC,；,QA,QC,，,然后分别列方程求出,m,，即可得到对应的点,Q,的坐标,例,3,题图,（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A,解,：点,Q,的坐标为,(,，,4),或,(1,，,3),；,解法提示：,设直线,BC,的解析式为,y,kx,b,，,(,k,0),将,B,(4,，,0),，,C,(0,，,4),代入,y,kx,b,得 ，解得,，,直线,BC,的解析式为,y,x,4,，,PM,x,轴，点,P,的横坐标为,m,
5、，点,Q,的坐标为,(,m,，,m,4),，,点,Q,在第四象限，,m,0,，,m,40,，,0,m,4.,例,3,题图,解：点Q的坐标为(，4)或(1,A,(,3,，,0),，,C,(0,，,4),，,AC,2,AO,2,CO,2,(,3),2,(,4),2,25,，,CQ,2,(,m,0),2,m,4,(,4),2,2,m,2,，,AQ,2,m,(,3),2,(,m,4),2,2,m,2,2,m,25,，,要使以,A,，,C,，,Q,为顶点的三角形为等腰三角形，,可分三种情况讨论，,当,AC,CQ,时，即,AC,2,CQ,2,，,25,2,m,2,，,解得,m,1,，,m,2,(,舍去,)
6、,，,点,Q,的坐标为,(,，,4),；,例,3,题图,A(3，0)，C(0，4)，例3题图,当,AC,AQ,时，即,AC,2,AQ,2,，,25,2,m,2,2,m,25,，解得,m,3,0(,舍去,),，,m,4,1,，,点,Q,的坐标为,(1,，,3),；,当,AQ,CQ,时，即,AQ,2,CQ,2,，,2,m,2,2,m,25,2,m,2,，,解得,m,5,(,舍去,),综上所述，点,Q,的坐标为,(,，,4),或,(1,，,3),例,3,题图,当ACAQ时，即AC2AQ2，例3题图,（,3,）请用含,m,的代数式表示线段,QF,的长，并求出,m,为何值时,QF,有最大值,【,思维教练
7、,】,过点,F,作,FG,PQ,于点,G,，由,OBC,为,等腰直角三角形，可判断,FQG,为等腰直角三角形，,则,FG,GQ,FQ,，通过证明,FGP,AOC,，再,结合线段的和差关系继而得到,QF,与,QP,的关系，,QP,的长可用含,m,的代数式表示出来，即可求得,QF,关于,m,的函数关系式，再利用函数的增减性即可求解,.,例,3,题图,（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出【思维教练】,解,：如解图，过点,F,作,FG,PQ,于点,G,，则,FG,x,轴，,由,B,(4,，,0),，,C,(0,，,4),得,OBC,为等腰直角三角形，,OBC,QFG,45,，,GQ,FG,F
8、Q,.,PEAC,，,1,2.,FGx,轴，,2,3,，,1,3.,FGP,AOC,90,，,FGP,AOC,，,例,3,题解图,解：如解图，过点F作FGPQ于点G，则FGx轴，例3题解,QP,GQ,GP,FQ,FQ,FQ,，,FQ,QP,.,PM,x,轴，点,P,的横坐标为,m,，,MBQ,45,，,QM,MB,4,m,，,PM,m,2,m,4,，,，即,，,GP,FG,FQ,FQ,，,例,3,题解图,PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，,QP,PM,QM,m,2,m,4,(4,m,),m,2,m,，,QF,QP,(,m,2,m,),m,2,m,.,0,，,QF,有最大值，,当,m,2,
9、时，,QF,有最大值,例,3,题解图,QPPMQM m2 m4(4m,备考指导,二次函数与等腰三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：,1.,用点坐标表示三角形三边长；,2.,根据等腰三角形的性质，分别令三边长两两相等，得到三组方程；,3.,分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，,则不存在这样的三角形,此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算,.,备考指导二次函数与等腰三角形判定结合的问题，解决的方法一般为,注：,作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系,注：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系,例,4,如图，在平面直角坐标系中，抛物线,y,ax
10、,2,bx,c,(,a,0),与,x,轴相交于,A,、,B,两点，与,y,轴相交于点,C,，直线,y,kx,n,(,k,0),经过,B,、,C,两点已知,A,(1,，,0),，,C,(0,，,3),，且,BC,5.,(1),分别求直线,BC,和抛物线的解析式；,【,思维教练,】,先在,Rt,OBC,中，利用勾股定理求得点,B,的坐标，,利用,B,、,C,两点坐标求得直线,BC,的解析式，最后将点,A,、,B,、,C,的坐标代入抛物线的解析式中即可,例,4,题图,典例精析,例 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx,解,：点,C,的坐标为,(0,，,3),，,OC,3,，,在,Rt,B
11、OC,中，,OC,3,，,BC,5,，,OB,4,，,点,B,的坐标为,(4,，,0),，,将点,B,(4,，,0),，点,C,(0,，,3),代入直线,y,kx,n,(,k,0),中，,得,，解得 ，,直线,BC,的解析式为,y,x,3.,例,4,题图,解：点C的坐标为(0，3)，OC3，例4题图,点,A,(1,，,0),，,B,(4,，,0),，,C,(0,，,3),在抛物线上，,，解得,，,抛物线的解析式为,y,x,2,x,3,；,例,4,题图,点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，例4,（,2,）在抛物线的对称轴上是否存在点,P,，使得以,B,、,C,、,P,三点为顶点
12、的三角形是直角三角形？若存在，请求出点,P,的坐标；若不存在，请说明理由,【,思维教练,】,要求点,P,坐标，可用未知数,t,将点,P,坐标表示出来，再分别用含,t,的式子表示出,PC,、,PB,、,BC,的长度，,PBC,为直角三角形时，分,BCP,90,，,PBC,90,，,BPC,90,，,这三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解,.,例,4,题图,（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点,解,：存在,由,(1),知抛物线解析式为,y,x,2,x,3,，,对称轴,l,为直线,x,，,设点,P,的坐标为,(,，,t,),，如解图，过点,C,作,CD,l,于点,D,，,连接,
13、PC,，,PB,，设直线,l,与,x,轴的交点为点,M,，,则点,D,的坐标为,(,，,3),，点,M,的坐标为,(,，,0),，,则,CD,，,PD,|,t,3|,，,PM,|,t,|,，,BM,4,，,例,4,题解图,解：存在例4题解图,PC,2,CD,2,PD,2,(,t,3),2,，,PB,2,PM,2,BM,2,t,2,，,BC,2,25,，,当,BCP,是直角三角形时，则有：,(i),当,BCP,90,时，即,PC,BC,，有,PC,2,BC,2,PB,2,，,即,(,t,3),2,25,t,2,，解得,t,，,此时点,P,的坐标为,(,，,),；,(ii),当,PBC,90,时，
14、即,BP,BC,，有,BP,2,BC,2,PC,2,，,即,t,2,25,(,t,3),2,，解得,t,2,，,此时点,P,的坐标为,(,，,2),；,例,4,题解图,PC2CD2PD2 (t3)2，PB2,(iii),当,BPC,90,时，即,CP,BP,，有,BP,2,PC,2,BC,2,，,即,t,2,(,t,3),2,25,，,解得,t,1,，,t,2,，,此时点,P,的坐标为,(,，,),，,(,，,),，,综上可得，存在满足条件的点,P,，点,P,的坐标为,(,，,),，,(,，,2),，,(,，,),，,(,，,),例,4,题解图,(iii)当BPC90时，即CPBP，有BP2P
15、C,备考指导,二次函数与直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：,1.,用点坐标表示三角形三边长的平方；,2.,根据直角三角形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分,别列方程；,3.,分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，,则不存在这样的三角形,此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算,备考指导二次函数与直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为,初中数学中考复习专题四：-二次函数压轴题集训类型三-特殊三角形问题课件,注：,其他常见方法有：,作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似比列方程求解；,平移垂线法：若以,AB,为直角边，且,AB,的一条垂线的解析式易求,(,通常,为过原点,O,且与,AB,垂直的直线,),，可将这条直线分别平移至过点,A,或点,B,，得到相应解析式，再联立方程求解,注：其他常见方法有：,
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