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1、标题：华文行楷,40,一、黑体,32,例题,1,黑体,28,第三级,第四级,第五级,*,第六章 定积分的应用,*,定积分在几何上的应用,一、平面图形的面积,二、体积,三、平面曲线的弧长,四、小结,第二节,(Application of the Definite Integral to Geometry),11/14/2024,1,第六章 定积分的应用,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积,1.,直角坐标情形,图,6-2-1,（,1,）,图,6-2-1,（,2,）,11/14/2024,2,第六章 定积分的应用,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,11/14/2024,3,
2、第六章 定积分的应用,解,解方程组,选 为积分变量,11/14/2024,4,第六章 定积分的应用,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,11/14/2024,5,第六章 定积分的应用,解,解方程组,选 为积分变量,11/14/2024,6,第六章 定积分的应用,11/14/2024,7,第六章 定积分的应用,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,11/14/2024,8,第六章 定积分的应用,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,图,6-2-5,11/14/2024,9,第六章 定积分的应用,面积元素,曲边扇形的
3、面积,2.,极坐标情形,设由曲线,),(,q,j,=,及射线,a,q,=,、,b,q,=,围成一曲边扇,形，求其面积这里，,),(,q,j,在,b,a,上连续，且,0,),(,q,j,图,6-2-6,11/14/2024,10,第六章 定积分的应用,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,图,6-2-7,11/14/2024,11,第六章 定积分的应用,解,利用对称性知,例,6,求心形线,),cos,1,(,q,+,=,a,所围平面图形的,面积,),0,(,a,.,图,6-2-8,11/14/2024,12,第六章 定积分的应用,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的
4、立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1.,旋转体的体积,图,6-2-9,11/14/2024,13,第六章 定积分的应用,x,y,o,旋转体的体积为,图,6-2-10,11/14/2024,14,第六章 定积分的应用,解,直线 方程为,图,6-2-11,11/14/2024,15,第六章 定积分的应用,图,6-2-11,11/14/2024,16,第六章 定积分的应用,解,图,6-2-12,11/14/2024,17,第六章 定积分的应用,图,6-2-13,11/14/2024,18,第六章 定积分的应用,解,图,6-2-14(1),B,C,A,11/14/2024,19,第六章
5、 定积分的应用,图,6-2-14(2),B,C,A,11/14/2024,20,第六章 定积分的应用,补充,利用这个公式，可知上例中,11/14/2024,21,第六章 定积分的应用,2.,平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,.,立体体积,图,6-2-15,11/14/2024,22,第六章 定积分的应用,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,图,6-2-16,11/14/2024,23,第六章 定积分的应用,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,图,6-2-17,1
6、1/14/2024,24,第六章 定积分的应用,三、平面曲线的弧长,图,6-2-18,11/14/2024,25,第六章 定积分的应用,弧长元素,弧长,1.,直角坐标情形,图,6-2-19,11/14/2024,26,第六章 定积分的应用,解,所求弧长为,图,6-2-20,11/14/2024,27,第六章 定积分的应用,解,11/14/2024,28,第六章 定积分的应用,曲线弧为,弧长,2.,参数方程情形,11/14/2024,29,第六章 定积分的应用,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,11/14/2024,30,第六章 定积分的应用,曲线弧为,弧长,3.,极坐标情
7、形,11/14/2024,31,第六章 定积分的应用,解,例,15,求极坐标系下曲线,的长,.,11/14/2024,32,第六章 定积分的应用,四、小结,1.,平面图形的面积,（,直角坐标、参数方程、极坐标）；,2.,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,11/14/2024,33,第六章 定积分的应用,3.,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,11/14/2024,34,第六章 定积分的应用,1.,求由 及 所围图形的面积,.,2.,求由 及 所围图形的面积,.,3.,求星形线 所围图形的面积,.,练习题,11/14/2024,35,第六章 定积分的应用,11/14/2024,36,第六章 定积分的应用,作业,P284-286,2(1,)(2);,3;4;,9;12;21;22.,练习题答案,11/14/2024,37,第六章 定积分的应用,
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