第七讲计算机辅助几何设计课件

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1、一、参数曲线曲面概述,第七讲 计算机辅助几何设计,主要内容,二、参数曲线曲面基本知识,三、参数曲线,四、参数曲面,五、,CATIA,曲线曲面造型技术,一、参数曲线曲面概述第七讲 计算机辅助几何设计主要内容二,一、参数曲线曲面概述,如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题？,1963,年美国波音（,Boeing,）飞机公司的佛格森（,Ferguson,）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式。,第七讲 计算机辅助几何设计,概述,一、参数曲线曲面概述如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形,一、参数曲线曲面概述（续）,1964,年，美国麻省理工学院（

2、,MIT,）的孔斯（,Coons,）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。,1964,年，舍恩伯格（,Schoenberg,）提出了参数样条曲线、曲面的形式。,1971,年，法国雷诺（,Renault,）汽车公司的贝塞尔（,Bezier,）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。,第七讲 计算机辅助几何设计,概述,一、参数曲线曲面概述（续）1964年，美国麻省理工学院（MI,一、参数曲线曲面概述（续）,1974,年，美国通用汽车公司的戈登（,Gorden,）和里森费尔德（,Riesenfeld,）提出了,B,样条曲线和曲面。,1975,年，美国锡拉丘兹（,Syracuse,）大学的佛斯普里尔（

3、,Versprill,）提出了有理,B,样条方法。,80,年代后期皮格尔（,Piegl,）和蒂勒（,Tiller,）将有理,B,样条发展成非均匀有理,B,样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。,第七讲 计算机辅助几何设计,概述,一、参数曲线曲面概述（续）1974年，美国通用汽车公司的戈登,二、参数曲线曲面基本知识,曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。,显式表示,一般形式是：,y,=,f,(,x,),。,说明：在此方程中，一个,x,值与一个,y,值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。,第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线

4、曲面基本知识曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示,二、参数曲线曲面基本知识（续）,隐式表示,一般形式是：,f,(,x,，,y,)=0,。,说明：隐式表示的优点是易于判断函数,f(x,y),是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。,显式表示和隐式表示为非参数化表示形式。,第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）隐式表示显式表示和隐式表示为非,二、参数曲线曲面基本知识（续）,非参数表示形式的缺点,与坐标轴相关；,会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；,不便于计算机编程。,第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）

5、非参数表示形式的缺点 与坐标轴,二、参数曲线曲面基本知识（续）,参数表示,曲线上任一点的坐标均表示成给定参数,t,的函数。,P,(,t,)=,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),曲面上任一点的坐标均表示成给定参数,u,和,w,的函数。,P,(,t,)=,x,(u,，,w,),y,(u,，,w,),z,(u,，,w,),第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）参数表示 曲线上任一点的坐标均,二、参数曲线曲面基本知识（续）,参数表示,端点为,P,0,、,P,1,的直线段参数方程可表示为：,P,(,t,)=,P,0+(,P,1-,P,0),t,t,0,1;,第

6、七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,P,0,P,1,t,=,t,0,t,=,t,1,二、参数曲线曲面基本知识（续）参数表示 端点为P0、P1的直,二、参数曲线曲面基本知识（续）,参数表示优越性,与坐标系无关；,有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；,便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算；,坐标点各分量的表示是分离的；,规格化的参数变量,t,0,1,，使得界定曲线、曲面的范围十分简单；,易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。,第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,！这里教材中有错,二、参数曲线曲面基本知识（续）参数表示优越性 与坐标系无关；,二、参数曲线曲面基本知识（续）,构造曲线

7、曲面的方法,插值,给定一组有序的数据点,Pi,，,i,=0,1,n,，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。,逼近,构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。,拟合,插值和逼近则统称为拟合。,第七讲 计算机辅助几何设计,基本知识,二、参数曲线曲面基本知识（续）构造曲线曲面的方法 插值 逼近,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。,代数形式,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 以三次参数曲线为例，讨,三、

8、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式 第七讲,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,令,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）令:,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,令,:,对于,则,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）令:,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,令,:,对于,则,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲

9、线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）令:,三、参数曲线,参数曲线的代数和几何形式,几何形式（续）,得,:,由,记为,:,所以,:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线参数曲线的代数和几何形式 几何形式（续）得:,三、参数曲线,四点式曲线,已知四点,:,求,:,过四点曲线的几何和代数形式,令,因为,所以,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,解,:,三、参数曲线四点式曲线已知四点:求:过四点曲线的几何,三、参数曲线,四点式曲线,几何表达式,代数表达式,作业：,u,等距分布式，求几何和代数表达式,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线四点式曲线几何表达式 代数表达式

10、 作业：u等距分,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。,1962,年，法国雷诺汽车公司的,P.E.Bezier,构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法。,背景,定义,用一组折线集定义，第一个点和最后一个点在曲线上，且第一条折线和最后一条折线是曲线在起点和终点的切线，曲线形状趋于折线集得形状。,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线 由于几何外形设计,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,表达式,其中,称为伯恩斯坦,(Bernstain),基函数。,第七讲 计

11、算机辅助几何设计,参数曲线,！此公式教材中有错,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）表达式 其中称为伯,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,讨论,那么,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）讨论 那么第七讲,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,讨论,于是：,于是：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）讨论 于是：于是：,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,讨论,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）讨论 第七讲,三、参数曲线,贝赛尔,

12、Bezier,曲线（续）,低阶,Bezier,曲线,n,1,时：,表示连接,P,0,和,P,1,得直线段,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）低阶Bezier曲线,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,低阶,Bezier,曲线,n,2,时：,写成矩阵的形式为：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）低阶Bezier曲线,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,低阶,Bezier,曲线,n,3,时：,写成矩阵的形式为：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）

13、低阶Bezier曲线,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,Bezier,曲线特点,过特征多边形得起点和终点；,第一条折线和最后一条折线是曲线在起点和终点得切线；,起点的二阶导数由前三点确定，某一点的底,r,阶导数由该点相邻的,r,点确定；,调和函数具有对称性；,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线贝赛尔Bezier曲线（续）Bezier曲线特点,三、参数曲线,贝赛尔,Bezier,曲线（续）,Bezier,曲线的局限性,不能作局部修改，改变某一控制点对整个曲线都有影响；,特征多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱；,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线

14、贝赛尔Bezier曲线（续）Bezier曲线的局,三、参数曲线,B,样条曲线,B,样条曲线的一般表达式,已知控制顶点和一组基函数，定义,B,样条曲线为：,式中：,称为,n,次,B,样条基函数。,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线B样条曲线的一般表达式 已知控制,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,二次,B,样条曲线,式中：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）二次B样条曲线式中：第七讲,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,二次,B,样条曲线矩阵形式,二次,B,样条可以写成如下形式：,可以得到：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,！这里教材

15、中有错,三、参数曲线B样条曲线（续）二次B样条曲线矩阵形式 二次B,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,三次,B,样条曲线,可以得到：,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）三次B样条曲线可以得到：第七讲,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,设已知型值点列,Q,i,(i=1,2,n-1),要求一条三次,B,样条曲线经过这些点,求出这条曲线的控制顶点,P,i,(i=0,1,n).,由曲线的端点性质可得下列线性方程组,:,P,i-1,+4P,i,+P,i+1,=6Q,i,(i=1,2,n-1),再补充两个边界条件可得唯一解。如,已知,Q,1,和,Q,i-1,处的切矢,三次,

16、B,样条曲线的反算,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）设已知型值点列Qi(i=1,2,三、参数曲线,B,样条曲线（续）,把它们写成矩阵形式为,三次,B,样条曲线的反算,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,三、参数曲线B样条曲线（续）把它们写成矩阵形式为三次B样条曲,三、参数曲线,非均匀有理,B,样条（,NURBS,）曲线,NURBS,曲线的定义:,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲线,！这里教材中有错,三、参数曲线非均匀有理B样条（NURBS）曲线NURBS曲线,0,1,1,u,w,(,u,w,),四、参数曲面,参数曲面的概念,P(u,w)=,x,(,u,w,),y,(,u,w,),z,(,u,w,),0=,u,w,=1,第七讲 计算机辅助几何设计,参数曲面,011uw(u,w)四、参数曲面参数曲面的概念P(u,w)=,四、参数曲面,参数曲面的概念,u,和,w,向切矢：,四个角点的,u,向和,w,向切矢为：,P,u,(0,0),、,P,u,(1,0),、,P,u,(0,1),、,P,u,(1,1),、,P,w,(0,0),、,P,w,(1,0),、,P