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1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本
2、样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本节用波德（,Bode,）和香农（,Shannon,）提出的白化的方法求解维纳霍夫方程，得到系统函数,随机信号都可以看成是由一白色噪声,w,1,(n),激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图,8,.2所示,图,8,.2 s(n)的信号模型,本节用波德（Bode）和香农（Shannon）提出的,由于,x(n)=s(n)+w(n),，在图,8.2,的基础上给出,x(n),
3、的信号模型，图,8.3,所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图,8.4,所示，其中传递函数用,B,（,z,）表示。,图,8.3 x,的信号模型,图,8.4,维纳滤波器的输入信号模型,由于x(n)=s(n)+w(n)，在图8.2的基础上,(8-22),对式（,8,22,）进行,Z,变换得到系统函数和相关函数的,z,变换之间的关系：,(8-23),同样，对图,8.4,进行,z,变换得,(8-24),白噪声的自相关函数为,R,w1w1,(m)=,w1,2,(m),它的,z,变换就等于,w1,2,。图,8.2,中输出信号的自相关函数为,R,ss,(m),，根据卷积性质有,(8-,图,8
4、.4,中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：,如果已知观测信号的自相关函数，求它的,z,变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成,B(z),另外在单位圆外的零、极点构成,B(z,-1,),，这样就保证了,B(z),是因果的，并且是最小相位系统,图8.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：,从图,8.4,可得,(8-26),由于系统函数,B(z),的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则,1/B(z),也是一个物理可实现的最小相移网络函数。我们就可以利用式（,8,26,）对,x(n),进行白化，即把,x(n),当作输入，
5、,w,1,(n),当作输出,1/B(z),是系统传递函数。,从图8.4可得,将图,8.1,重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳,H(z),，如图,8.5,（,a,）所示，为了便于求这个,H,opt,(z),，将图,8.5,（,a,）的滤波器分解成两个级联的滤波器：,1/B(z),和,G(z),，如图,8.5,（,b,）所示，则,(8-27),图,8.5,利用白化方法求解模型,（,a,）,（,b,）,将图8.1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最,白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：,）对观测信号,x(n),的自相关函数,R,xx,(m),求,z,变换得到,R,xx,(z),）利用等式
6、,找到最小相位系统,B(z),）利用均方误差最小原则求解因果的,G(z),），即得到维纳霍夫方程的系统函数解,白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：,步骤,3:G(z),的求解过程,按图,8.5,（,b,）有,(8-28),均方误差为,步骤3:G(z)的求解过程,由于 代入上式，并且进行配方得,(8-29),均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以,(8-30),由于 代入上式，并且进行配方得均方误差最小也就,注意，这里的,g(m),是因果的。对该式求单边,z,变换，得到,(8-31),所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为,所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为,由式,(8-32),因果的维纳滤波器的最
7、小均方误差为：,(8-33),利用帕塞伐尔定理，上式可用,z,域来表示,(8-34),围线积分可以取单位圆,由式围线积分可以取单位圆,【,例,8-2】,已知图,8.1,中，,x(n)=s(n)+w(n),且,s(n),与,w(n),统计独立，其中,s(n),的自相关序列为,R,ss,(m)=0.8,|m|,，,w(n),是方差为,1,的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计,s(n),，并求最小均方误差。,解：依题意，已知,【例8-2】已知图8.1中，x(n)=s(n)+w(n),步骤,1,步骤,2,由于 ，容易找到最小相位系统和白噪声方差,步骤1步骤2,步骤,3,利用式,对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为,0.8|z|2,，,取因果部分，也就是第一项，所以,步骤3取因果部分，也就是第一项，所以,步骤,4,最小均方误差为：,取单位圆为积分围线，有两个单位圆内的极点,0.8,和,0.5,，求它们的留数和,取单位圆为积分围线，有两个单位圆内的极点0.8和0.5，求它,
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