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1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 控制系统的数学描述方法,1、线性常系数微分方程,（时间域描述）,2、传递函数（Transfor function）,（算子域描述）,3、结构图,（图形化描述）,第二章 控制系统的数学描述方法 1、线性常系数微分方程,1,2.1 控制系统的微分,方程,1,、线性常系数微分方程,式中 为输出信号的各阶导数，,为常系数,为输出信号的各阶导数，,为常系数,2.1 控制系统的微分方程1、线性常系数微分方程,2,2、线性定常系统的基本性质,（迭加原理）,如果有输入,x,1,(,t,),输出,y,1,(,t,)
2、,输入,x,2,(,t,),输出,y,2,(,t,),则系统的输入为,输出保持线性可加为,2、线性定常系统的基本性质（迭加原理）,3,3、控制系统微分方程的建立,解析法：,（基础方法）,根据物理系统的,运动定律,列写方程。,实验法：,（工程方法）,根据实验数据确定系统的运动规律。,主要以解析法列写方程：,电学系统力学系统,3、控制系统微分方程的建立解析法：（基础方法）,4,电学系统,i,元件约束,：线性元件的,V,I,关系,电学系统,5,ii 网络约束,基尔霍夫的两个定律,节点电流定律,回路电压定律,在这两个网络基本方程的约束下，可以确,定电网络中独立变量的个数，并写出电网,络的微分方程。,i
3、i 网络约束基尔霍夫的两个定律,6,例21,考虑由电阻,R,与电容,C,组成的一阶滤波电路，写出以,u,i,为输入，,u,o,为输出的微分方程。,解,由回路电压定律,由于 代入,令时间常数,T,=,RC,，得到一阶微分方程,或,例21考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以u,7,例22,考虑两级,RC,网络的滤波电路，写出以,u,i,为输入，,u,o,为输出的微分方程。,解,对于回路,L,1,有,对于回路,L,2,有,元件约束为,例22考虑两级RC网络的滤波电路，写出以ui为输入，u,8,综合上述方程组，消去中间变量,i,1,，,i,2,，,u,c1,，,得到以,u,i,为输入，,u,
4、o,为输出的微分方程,为二阶微分方程。,设时间常数为,方程可以写为,或,综合上述方程组，消去中间变量 i1，i2，uc1，,9,力学系统,运动规律为牛顿定律,机械平移运动,例,23,设弹簧质量阻尼器系统如图所示，试列出以力,F,i,为输入，以质量单元的位移,x,为输出的运动方程。,解,由加速度定律,合力为,力学系统运动规律为牛顿定律,10,外力,弹性阻力,粘滞阻力,代入方程有,机械平移系统的运动方程也是二阶微分方程。,外力,11,机械旋转运动,例,24,已知机械旋转系统如图所示，试列出系统运动方程。,解,由角加速度方程,其中,J,：转动惯量,：,角加速度,M,：合外力矩,得到,整理，为,M,f
5、,的一阶微分方程。,如果以角度,为输出，由于得到2阶方程,机械旋转运动,12,复合系统,：电动机机电复合系统,例,25,已知直流电动机，定子与转子的,电磁关系,与,机电系统原理,如图所示，试写出其运动方程,电磁物理结构图,定子转子,复合系统：电动机机电复合系统,13,机电系统原理图,1、电网络平衡方程,2、电动势平衡方程,3、转矩平衡方程,4、电磁力矩方程,机电系统原理图,14,4方程联立，消去中间变量,I,a,，,E,a,，,M,a,，忽略空载阻力矩,M,L,，得到电枢电压,U,i,旋转角速度,的2阶运动方程,由于电枢电感很小，略去,L,a,，得1阶方程,4方程联立，消去中间变量Ia，Ea，
6、Ma，忽略空载阻力矩ML,15,2.2 非线性微分方程的线性化,线性方程非线性方程(连续、可导),y=kxy=f,(,x,),2.2 非线性微分方程的线性化 线性方程非线性方程,16,应用小偏差理论实现非线性方程的线性化,具有连续变化的非线性函数,y=f,(,x,),为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是：变量X 偏离预定工作点很小。,应用小偏差理论实现非线性方程的线性化具有连续变化的非线性函数,17,泰勒级数：,略去二阶以上高次项,写出增量式,则 在x0邻域，斜率为,得到增量方程,写为普通变量，得到线性化方程,泰勒级数：,18,例,27,已知单摆系统的运动如图211所示。（1）写出运
7、动方程，（2）求取线性化方程。,解,（,1）列写运动方程,摆球质量为,m,摆长为,l,；摆角为,，,运动弧长为,l,，,摆球运动阻力为,h,，,很小时，由牛顿定律可以写出,例27 已知单摆系统的运动如图211所示。（1）写出运动,19,媒质阻力,h,的大小与运动速度成正比,得到单摆系统的运动方程,为2阶非线性方程。,给定初值：和,运动由方程唯一确定。,媒质阻力h的大小与运动速度成正比,20,（2）求取单摆系统的线性化方程,由于,在,=0邻域展开泰勒级数为,忽略2次以上高次项，有,=,得到线性化方程为,（2）求取单摆系统的线性化方程,21,注意：,（1）,本质非线性系统不可以作线性化。,本质非线性系统不连续性、不可导性使得其泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不成立。,注意：,22,（2）,不同的工作点，不同的线性化系数，,有不同的线性化方,（3）,工作点邻域的线性化方程是增量方程,（小范围工作）。,（4）,多变量情况时，其线性化方法相似。,如双变量时，函数关系为,f,(,x,y,)。,（2）不同的工作点，不同的线性化系数，,23,
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