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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,‹#›,24.1.2,垂直于弦的直径,第二十四章 圆,24.1.2 垂直于弦的直径第二十四章 圆,1,,赵州桥的主桥拱是圆弧形,,,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,。,,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,,,,,,37.4,7.2,赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为,2,,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2、,,●,O,,,,,,,,实践探究,…,…,如何证明圆是轴对称图形呢？,,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现,3,,如图，,AB,是⊙,O,的一条弦，作直径,CD,，使,CD,⊥,AB,，垂足,为,E,．你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,相等的线段：,,AE=BE,,⌒,⌒,弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ,⌒,⌒,思考讨论,·,O,,A,C,D,E,,,,,,,,,,,,B,如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足相等,4,·,O,,A,B,C,D,E,,,,,,垂径定理,,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．,,,,,,,,题设,结论,（,1
3、,）直径,（,2,）垂直于弦,｝,,｛,（,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧,（,5,）平分弦所对的劣弧,,符号语言：,,∵,CD,是直径且,CD⊥AB,∴,AE=BE,,,⌒,⌒,AD=BD.,⌒,⌒,AC=BC,,,,,垂直于弦的直径,平分弦，并且平分弦所对的两条弧．,,·OABCDE垂径定理题设结论（1）直径｝｛（3）平分弦,5,,,E,,,,,O,,A,,B,,D,,C,,,E,,,,,,A,,B,,,C,,D,,,E,,,O,,A,,B,,D,,C,,,,E,,,,O,,A,,B,,C,,,E,,,O,,C,,D,,A,,B,,,,,,,O,,B,,A,,E,D,O,判断下列
4、图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（,经过圆心，垂直于弦,）缺一不可！,√,√,√,×,×,×,,,EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDABOB,6,,跨度（弧所对的弦的长）为,37.4,米，拱高（弧的中点到弦的距离）为,7.2,米，求出赵州桥主桥拱的半径。,问题解决,,,,,,37.4,7.2,跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦,7,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,．经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,,相交于点,C,，根据,垂径定理,，,D,是,AB,的中点，,C,是
5、的中点，,CD,就是拱高．,解得：,R,≈27,．,9,（,m,）,B,,,,A,,,D,C,,,O,R,∴,在,Rt△,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,－,7.2,）,2,∴,赵州桥的主桥拱半径约为,27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,又,OD=OC,－,CD,=,（,R,－,7.2,）,m,AB,AB,AB,AB,AB,=37.4m,，,CD,=7.2m,∵,⌒,⌒,⌒,⌒,方法：,“,作垂径，连半径，勾股定理显活力！,”,数学思想：,方程思想。,,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R,8,变式,2,：,半径为,
6、4cm,的⊙,O,中，弦,AB=4cm,,那么圆心,O,到弦,AB,的距离是,,。,,,,,,,,A,B,O,E,变式训练,,,,,,,,O,A,B,E,C,变式,3,：,半径,OC⊥,弦,AB,于,E,，若,OE=6,，,EC=4,，则弦,AB=,,。,·,,,,O,A,B,E,变式,1,：,在⊙,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，则⊙,O,的半径是,,．,变式2：半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦,9,,知识升华,,图中,OE,叫做,弦心距,r,h,d,a,F,图中,EF,叫做,弓形高,半径,r,、弦长,a,、弦心距,d,、弓形高
7、,h,四者之间“知二求二”,知识升华图中OE叫做弦心距rhdaF图中EF叫做弓形高半径r,10,1,、已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,＝,BD,。,证明：过,O,作,OE⊥AB,，垂足为,E,，则,AE,＝,BE,，,CE,＝,DE,。,AE,－,CE,＝,BE,－,DE,。,所以，,AC,＝,BD,,E,,,.,,A,C,D,B,O,拓展延伸,,,,,,1、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小,11,2,、 已知：⊙,O,中弦,AB∥CD,。,求证：,AC,＝,BD,⌒,⌒,证明：作直径,MN⊥
8、AB,。∵,AB∥CD,，∴,MN⊥CD,。则,AM,＝,BM,，,CM,＝,DM,（垂径定理）,AM,－,CM,＝,BM,－,DM,即,AC,＝,BD,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,.,,,,C,D,A,B,O,,M,N,圆的两条平行弦所夹的弧相等,拓展延伸,,2、 已知：⊙O中弦AB∥CD。⌒⌒证明：作直径MN⊥,12,这堂课我的收获是,……,这堂课我还有哪些疑问,……,这堂课我悟到了,……,这堂课我的收获是……,13,作业,1.,作业本：,课本P8,9,，习题24.1,第1题,；,2.,练习册,《,垂直于弦的直径,》,作业1.作业本：课本P89，习题24.12.练习册《垂直于弦,14,《垂直于弦的直径》教学课件---初中九年级数学公开课,15,
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