线性代数二次型讲义课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,,*,线 性 代 数,通识教育平台数学课程系列教材,线 性 代 数 通识教育平台数学课程系列教材,第五章 二次型,第一节 二次型及其标准形,第二节 正交变换法化二次型为标准形,第三节 化二次型为标准形的其他方法,第四节 二次型的分类,第五节 二次型在直角坐标系下的分类,第五章 二次型第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法,1,．了解二次型及其矩阵表示。,2,．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。,3,．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。,,本章学习

2、要求：,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,对于,概念,和,理论,方面的内容，从高到低分别用,“理解”、“了解”、“知道”,三级来表述；,对于,方法，运算,和,能力,方面的内容，从高到低分别用,“熟练掌握”、“掌握”、“能”,（或,“会”,）三级来表述。,1．了解二次型及其矩阵表示。本章学习要求：~~~~~~~~~,,二次型就是二次多项式,.,在解析几何中讨论的有心二次曲线,,,当中心与坐标原点重合时,,,其一般方程是,ax,2,+2,bxy,+,cy,2,=,f,(1),方程的左端就是,x,,,y,的一个二次齐次多项式,.,为了便于研究这个二次曲线的几何性质

3、,,,通过基变换,(,坐标变换,),,把方程,(1),化为不含,x,,,y,混合项的标准方程,a,',x,',2,+,c,',y,',2,=,f,(2),在二次曲面的研究中也有类似的问题,.,二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心,,考察：方程,表示,x y,平面上一条怎样的曲线？图形如何？,将,x y,,坐标系逆时针旋转,π,/4,，即令,则得此曲线在新的,u v,,坐标系下的方程,考察：方程表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？将,,上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子,中的交叉项，使之成为标准方程,.,而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换,.,综上所述

4、，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变,换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项,式,.,二次型就是二次齐次多项式,.,上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子而其中坐标轴,定义,第七章 二次型与二次曲面,二次齐次多项式,f,(,x,,,y,,,z,) =,a,11,x,2,+,a,22,y,2,+,a,33,z,2,+ 2,a,12,xy,+ 2,a,13,xz,+ 2,a,23,yz,称为,实二次型,.,,其中,a,ij,为实常数.,一、二次型的矩阵表示,§1,、二次型及其标准形,,取,a,21,,=,a,12,,,a,31,,=,a,13,,,a,32,,=,a,23,

5、,,从而,,,,2,a,12,xy,=,a,12,xy + a,21,yx,,,2,a,13,xz,=,a,13,xz + a,31,zx,,,2,a,23,yz,=,a,23,yz + a,32,zy .,f,=,a,11,x,2,+,a,12,xy,+,a,13,xz,+,,a,21,yx,+,a,22,y,2,,+,a,23,yz,+,,a,31,zx,+,a,32,zy,+,a,33,z,2,,=,x,(,a,11,x,,+,a,12,y,+,a,13,z,),+,y,(,a,21,x,,+,a,22,y,+,a,23,z,),+,z,(,a,31,x,,+,a,32,y,+,a,33

6、,z,),定义第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式f (x, y,,第七章 二次型与二次曲面,§1,、二次型及其标准形,= X,T,AX .,称,,A,为二次型,f,的矩阵，它是一个对称矩阵.,三元实二 次型,f,三阶实对称矩阵,,A,一一对应,A,X,第七章 二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形= XT AX,,例,2,,第七章 二次型与二次曲面,,例,1,1,2,5,1,1,1,1,解,上一页,,,例 2 第七章 二次型与二次曲面例 11251111解上一页,,例,2,,第七章 二次型与二次曲面,上一页,,例,2,若二次型,f,,的矩阵为,试写出,f,.,解,例 2 第七章 二次型与二

7、次曲面上一页例 2若二次型 f 的,,例,2,,第七章 二次型与二次曲面,,练习,1,3,4,1,0,1,0,解,上一页,,,例 2 第七章 二次型与二次曲面练习1341010解上一页,,例,2,,第七章 二次型与二次曲面,上一页,,练习,若二次型,f,,的矩阵为,试写出,f,.,解,例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页练习若二次型 f 的矩,定义,1,第七章 二次型与二次曲面,§1,、二次型及其标准形,n,元二次型及其矩阵表示,称,n,,元实二次齐次式,为,n,元,实二次型,.,,记,a,ij,=,a,ji,,,则,记,X,= (,x,1,,,x,2,, …,,x,n,),T,,,A,=(

8、,a,ij,),n,,n,,,,则,f,(,x,1,,,x,2,, …,,x,n,) =,X,T,AX,,,其中,A,,称为二次型的矩阵，,A,的秩称为二次型的秩.,定义1第七章 二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形n 元二,第七章 二次型与二次曲面,①,由于,a,ij,=,a,ji,,,,所以,A,T,= A,,,②,A,中,a,ii,是,x,i,2,的系数,,a,ij,是交叉项,x,i,x,j,系数的一半.,注,:,n,元实二次型,f,n,阶实对称矩阵,,A,一一对应,定义,2,称只含平方项的二次型,,为,标准二次型,.,n,元标准二次型,,,f,n,阶对角 矩 阵,一一对应,第七章

9、 二次型与二次曲面① 由于aij = aji ,,第七章 二次型与二次曲面,§1,、二次型及其标准形,二、矩阵间的合同关系,思考：,二次型,f,=,X,T,AX,经过满秩线性变换,,X,=,CY,后还是二次型吗?,对于二次型,f,=,X,T,AX,，作满秩变换,X,=,CY ,,则,f,=,X,T,AX,= (,CY,),T,A,(,CY,) =,Y,T,(,C,T,AC,),Y .,而,(,C,T,AC,),T,=,C,T,A,T,(,C,T,),T,,= C,T,AC ,,所以,f,=,Y,T,(,C,T,AC,),,Y,仍是关于新变量,Y,,的二次型,,,且二次型的矩阵为对称矩

10、阵,,B,=,C,T,AC .,满秩变换,X,=,CY,f,=,X,T,AX,F,=,Y,T,BY,,,B,=,C,T,AC,第七章 二次型与二次曲面§1、二次型及其标准形二、矩阵间的合,,定义,3,第七章 二次型与二次曲面,对于,n,阶实对称矩阵,A,和,B,，,若存在可逆矩阵,P,使,P,T,AP,=,B,则,称,A,,合同于,B,，,记作,A B,,因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的,.,上一页,合同矩阵的性质：,X,T,AX,Y,T,BY,经满秩的线性变换,,X=PY,A,B,左乘以,P,T,且右乘以,P,定义3第七章 二次型与二次

11、曲面对于 n 阶实对称矩阵 A 和,,定义,如果满秩变换,X,=,CY,将二次型,,,f,=,X,T,AX,化成了标准二次型,,的一个,标准形,.,为,f,=,X,T,AX,上一页,§1,、二次型及其标准形,三、二次型的标准形,这样的矩阵,C,,是否存在？,,定理,1,对任意的实二次型,f =X,T,AX,,,一定存在满秩,线性变换,X=CY,,,使二次型化为标准形,.,,推论,1,任意给定一个实对称矩阵,A,,,一定存在可逆矩阵,,C,,使得,,C,T,AC,为对角矩阵,.,定义如果满秩变换 X = CY 将二次型 f =,定义,§2.,正交变换法化二次型为标准形,回顾：正交变换的

12、概念,设,,是,n,维欧氏空间,R,n,上的线性变换，若对任意的,X,,,Y,,R,n,,,有,||,,(,X,),,(,Y,) || = ||,X,,Y,|| ,,则称,,为,R,n,上的,正交变换,.,第七章 二次型与二次曲面,,定理,设,,是欧氏空间,R,n,上的线性变换，则下列四个条件等价(互为充分必要条件),.,(1),,为正交变换,.,(2),,把,R,n,的标准正交基变为标准正交基,,.,(3) ||,,(,,),|| = ||||,, ,,,,R,n,(,保持向量长度不变,,),.,(4) (,,(,X,),,,(,Y,)),=,(,X,

13、,,Y,) (,保内积不变,) .,定义§2. 正交变换法化二次型为标准形回顾：正交变换的概念设,定义,正交矩阵,正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为,正交矩阵,.,第七章 二次型与二次曲面,,定理,A,是正交矩阵,,,,,A,T,A,=,E,(,或,AA,T,=,E,) .,正交矩阵有如下性质：,,定理,,,定理,,设,A,是正交矩阵,,，则,(1) |,A,| =,1 .,(2),A,,1,,=,A,T .,设,A,是正交矩阵,,,A,,的列(行)向量组为相互正交的单位向量组.,定义正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.,,§2.,正交变换法化二次型为标准形,一

14、、实对称方阵的对角化,,定理,1,实对称方阵的特征值都是实数,.,证,设,λ,,是实对称方阵,A,,的特征值，,X,,是对应的特征,向量，即,将上式两边同时转置，由,A,,的对称性，得,而,因此，,§2. 正交变换法化二次型为标准形一、实对称方阵的对角化定理,,定理,2,实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交,.,证,设,λ,1,,,λ,2,,是实对称方阵,A,,的两个不同的特征值，,X,1,, X,2,,是对应的特征向量，即,因为,A,,的对称性，得,从而，,因此，,定理 2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.证设,,定理,3,,若,,是,n,,阶实对称方阵,A,,的,k,

15、,重特征值，则,A,,对应于,,的线性无关特征向量的最大个数均为,k,.,实对称方阵相似于一 个对角阵吗？,回答是肯定的！！！,单击,此处,可查阅进一步内容,,定理,4,对于任一个,n,阶实对称方阵,,A,,,必存在一个正交方阵,P,使,P,T,AP,为对角形，且,P,T,AP,的对角线上的元素均为,A,的,n,个特征值(,,重数计算在内),,P,的列向量为相应于,n,个特征值的标准正交特征向量.,证,定理 3 若  是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值,证,设实对称方阵,A,,的特征值为,（重根计算在内），则由定理,3,知，,证设实对称方阵 A 的特征值为（重根计算在内），则由定理

16、3,记,从而，,记从而，,,定理,5,任意一个,n,元,实二次型,都存在正交变换,X = QY,使得,其中,,1,, ,2,, …, ,n,,就是,,,A,的全部特征值,,Q,的,n,个列向量是,A,的对应于特征值,,1,, ,2,, …, ,n,,的标准正交特征向量.,定理 5任意一个 n 元实二次型都存在正交变换 X = Q,第七章 二次型与二次曲面,,例,1,求正交矩阵,Q,使,Q,T,AQ,成对角形矩阵，并求此,对角形矩阵.,其中,解,= (,, 2)(,,2, 6,,+ 5,,) = 0 ,,A,的特征值为,,1,= 1,,,2,= 2,,,3,=

17、 5.,,1,= 1,时, 由,,(,E,,A,),X,= 0,,即,上一页,第七章 二次型与二次曲面例 1求正交矩阵 Q 使 QTAQ,第七章 二次型与二次曲面,解得对应的特征向量为,,1,= (0, 1, 1),T,;,,2,= 2,时, 由,,(2,E,,A,),X,= 0,,解得对应的特征向量为,,2,= (1, 0, 0),T,;,,3,= 5,时, 由,,(5,E,,A,),X,= 0,,解得对应的特征向量为,,3,= (0, 1, 1),T,.,上一页,将,,1,,,,2,,,,3,单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,第七章 二次型与二次曲面解得对应的特

18、征向量为 1 = (,Q,=,0,1,0,0,0,,,对应于特征值,1,对应于特征值,2,对应于特征值,5,且,Q,T,AQ,,=,第七章 二次型与二次曲面,上一页,Q =01000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且,§2.,正交变换法化二次型为标准形,第七章 二次型与二次曲面,二、正交变换法化二次型为标准形,1.,写出二次型,f,的矩阵,A,,,并求,,,A,的全部特征值,,,1,,,,2,, …,,,n,,(,重数计算在内,,),.,2.,求出各特征值的特征向量；若,,i,是,k,重根时，找出,,,i,的,k,个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.,

19、步骤：,3.,将所得的,n,个正交向量再单位化，得,n,个两两正交的单位向量,P,1,,,P,2,, …,,P,n,,,记,P,= [,P,1,,,P,2,, …,,P,n,] .,则,X,=,PY,为所求正交变换，,f,,的标准形为,§2. 正交变换法化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面二,,例,1,求一个正交变换,X=QY,化二次型,成标准形,.,二次型的矩阵,解,A,,的特征值是,,1,=,,2,=,λ,3,,=,1,,,4,=,,-,3,.,上一页,例 1求一个正交变换 X=QY 化二次型成标准形.二次型的矩,,对于,,4,=,-3,,,从而可取特征向量,ξ,1,= ( 1

20、, 1, 0, 0),T,,,,ξ,2,= ( 0, 0, 1, 1),T,,和,ξ,3,=,( 1, -1, 1, -1),T,.,上一页,对于,,1,=,,2,=,λ,3,,=,1,,通过求齐次线性方程组,(,A,-,λE,),X,=0,,得到其基础解系,并正交化,:,对于 4= -3,从而可取特征向量 ξ1= ( 1, 1,,,从而可取特征向量,ξ,4,=,( 1, -1, -1, 1),T,.,将上述相互正交的特征向量单位化，得,则在正交变换,下，二次标准形为,从而可取特征向量ξ4 = ( 1, -1, -1, 1)T.,第七章 二次型与二次曲面,,例,2,求一个正交变换化二次型

21、,成标准形,.,二次型的矩阵,解,A,的特征多项式为,A,,的特征值是,,1,=,,2,= 0,,,3,= 9.,上一页,第七章 二次型与二次曲面例 2求一个正交变换化二次型成标准形,第七章 二次型与二次曲面,对于,,1,=,,2,= 0,,从而可取特征向量,p,1,= (0, 1, 1),T,及与,p,1,正交的另一特征向量,p,2,= (4, 1,,,1),T,.,上一页,对于,,3,= 9,,取特征向量,p,3,= (1,,2,, 2),T,.,第七章 二次型与二次曲面对于 1= 2 = 0,从而可取,第七章 二次型与二次曲面,将上述相互正交的特征向量单位化，得,属于

22、特征值0,属于特征值9,则存在正交变换,使二次型化为标准形,上一页,第七章 二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，得属,,练习,解,第七章 二次型与二次曲面,,已知二次型,通过正交变换化成标准形,求参数,a,及,有所用的正交变换矩阵.,二次型,,,f,的矩阵,特征方程为,= (,,2)(,,2,6,,+ 9 ,a,2,) = 0 ,,A,的特征值为,,1,= 1,,,2,= 2,,,3,= 5 .,练习解第七章 二次型与二次曲面 已知二次型通过正交变换,第七章 二次型与二次曲面,将,,= 1 (,或,,= 5 ),代入特征方程，得,a,2,4 = 0,,

23、a,=  2.,因,a,> 0,,故取,,a,= 2 .,这时，,,1,= 1,时, 由,,(,E,,A,),X,= 0,,即,解得对应的特征向量为,,1,= (0, 1, 1),T,,,,2,= 2,时, 由,,(2,E,,A,),X,= 0 ,,解得对应的特征向量为,,2,= (1, 0, 0),T,,,第七章 二次型与二次曲面将  = 1 ( 或  = 5,,第七章 二次型与二次曲面,,3,= 5,时, 由,,(5,E,,A,),X,= 0 ,,解得对应的特征向量为,,3,= (0, 1, 1),T,.,将,,1,,,,2,,,,3,单位化，得,故所求的正

24、交变换矩阵为,T,=,0,1,0,0,0,,,上一页,第七章 二次型与二次曲面 3 = 5时, 由,第七章 二次型与二次曲面,,练习,解,已知二次型,的秩为,2,,(1),求参数,c,及此二次型对应矩阵的特征值.,(2),指出方程,f,(,x,1,,,x,2,,,x,3,) = 1,表示何种二次曲面.,(1),此二次型对应矩阵为,因,r,(,A,) = 2,,解得,,,c,= 3.,第七章 二次型与二次曲面练习解已知二次型的秩为 2, (1),第七章 二次型与二次曲面,这时，,=,,(,,4)(,,9),,故所求特征值为,,,= 0,,,= 4,,,= 9.,

25、(2),由上述特征值可知二次型,f,通过变换，可化为标准形为,那么,f,(,x,1,,,x,2,,,x,3,) = 1,表示椭圆柱面.,第七章 二次型与二次曲面这时， =  (4)(9),,§2.,正交变换法化二次型为标准形,三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用,设,X,=,,(,x,,,y,,,z,),T,,，则三元二次型,X,T,AX,可以看作空间向量,α,的函数，其中,α,在标准基,ε,1,，,ε,2,，,ε,3,下的坐标就是,,X .,作满秩线性变换,X,=,CY,，所得新的二次型,Y,T,C,T,ACY,就是关于空间向量,α,在另一组基,η,1,，,η,2,，,η

26、,3,下的坐标,,同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程,§2. 正交变换法化二次型为标准形三、正交变换法化二次型为标,§3.,化二次型为标准形的其他方法,第七章 二次型与二次曲面,当,n,= 1,时，二次型,已经是标准形,.,证,一、配方法,,定理,1,对任意的实二次型,f =X,T,AX,,,一定存在满秩,线性变换,X=CY,,,使二次型化为标准形,.,假设对,n,-1,元的二次型，结论成立,.,考虑,n,元二次型,当上面的二次型的矩阵,A,,为零矩阵时，结论成立,.,下面假定,A,,不为零矩阵,.,分两种情形讨论：,情形,I.,A,的主对角元中至少有一个不为零，不妨设,a,11,不为零

27、,.,这时,§3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面当,其中，,令,或,其中，令或,显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为,由归纳假定，对于,n,-1,二次型,存在满秩线性变换,使之成为标准形，即,显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为由归纳假定，,于是满秩的线性变换,将原二次型化为标准形，即,情形,II.,A,的主对角元全为零,.,此时,A,,中至少有一个元素,a,ij,,（,i ≠j,）不为零，不妨设,a,12,≠0.,令,于是满秩的线性变换将原二次型化为标准形，即情形 II.A 的,则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为,这时，上式右端关于变量,

28、的二次型中,的系数不为零，故可视为情形,I,处理,.,定理得证,.,则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为这时，上式右端关于,第七章 二次型与二次曲面,,例,1,化二次型,因为标准形,中只含有平方项.,,因此逐个将变量,配成一个完全平方的形式.,令,解,为标准形，并写出所作的满秩线性变换,.,则,第七章 二次型与二次曲面例 1化二次型因为标准形中只含有平方,所作的满秩线性变换为,,练习,用配方法化二次型,所作的满秩线性变换为练习用配方法化二次型,第七章 二次型与二次曲面,因,f,,中含有,x,的平方项. 可将含,x,的项归到一起, 配成一个完全平方的形式.,f,= (,x,2,+ 2,xy

29、 +,2,xz,) + 2,y,2,+ 6,z,2,,+,6,yz,= (,,x,2,+ 2,xy +,2,xz +,2,yz,+,y,2,+,z,2,) + ( 2,y,2,–,y,2,) + (6,z,2,–,z,2,) + (6,yz,–,,2,yz,),= (,,x,,+,y + z,),2,,+ y,2,+ 5,z,2,+ 4,yz,,= (,x,,+,y + z,),2,,+,(,y,2,+ 4,yz,) + 5,z,2,= (,,x,,+,y + z,),2,,+,(,y,,+ 2,z,),2,+,z,2,,,令,解,则,第七章 二次型与二次曲面因 f 中含有 x 的平方项. 可

30、将,第七章 二次型与二次曲面,,例,2,解,用配方法化,f,= 2,xy,+ 2,xz,– 6,yz,为标准形.,令,再令,上一页,第七章 二次型与二次曲面例 2解用配方法化 f = 2xy,,练习,用配方法化二次型,解,令,练习用配方法化二次型解令,所用变换矩阵为,所用变换矩阵为,§3.,化二次型为标准形的其他方法,第七章 二次型与二次曲面,二、初等变换法,设,A,,为,n,,阶实对称矩阵，由第一节定理,1,知，存在可逆矩阵,C,,,使得,C,T,AC,,为对角阵，即,而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即,因此，,,定理,1,对任意,实对称矩阵,,A,,,存在一系列初等矩阵,,P,

31、1,，,P,2,, … , P,s,,,使,§3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面二,由于,说明，若矩阵,A,,经过一系列合同变换,(,进行初等列变换后再进行同样的初等行变换,),化为对角矩阵,D,,,则单位矩阵,E,,经过相同的一系列列变换化为矩阵,C,.,这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即,初等变换法,.,或者，若矩阵,A,,经过一系列合同变换,(,进行初等列变换后再进行同样的初等行变换,),化为对角矩阵,D,,,则单位矩阵,E,,经过相同的一系列行变换化为矩阵,C,T,.,由于说明，若矩阵 A 经过一系列合同变换 ( 进行初等列变换,,例,3,

32、解,例 3解,故当 时，可使,故当 时，可使,,例,4,解,例 4解,所以，,所以，,第七章 二次型与二次曲面,但是通过配方法将二次型,,f,化成标准形后, 对应矩阵的秩不变,,即二次型,f,的秩就等于它的标准形的秩,,,也就等于标准形中的项数,.,配方法不能保持,R,3,中向量的长度, 从而不能保持几何图形不变,,.,也就是变成了,x'y',平面上一个半径为,比如,,xy,面上圆周,,,x,2,+,y,2,=1,,在变换,x = x,’,+ y,’,,,y = x,’,– y,’,下,,,变成 (,x' +y',),2,+ (,x'–

33、y',),2,=1.,即,上一页,第七章 二次型与二次曲面但是通过配方法将二次型 f 化成,比如, 第二节例题2中所给的二次型,在正交变换下的标准形为 而用配方法得到,故经过满秩线性变换,可将二次型化为标准形,注：,同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相同！,这就是所谓的惯性定理,.,比如, 第二节例题2中所给的二次型在正交变换下的标准形为,定义,1,§4,二次型的分类,第七章 二次型与二次曲面,一、惯性定理和二次型的规范形,,定理,1,一个,n,元,二次型,,,f = X,T,AX,经过不同的满秩线

34、性变换化为标准形后，标准形中正平方项的项数,,p,,和负平方项的项数,q,,都是由原二次型唯一确定的，且,其中,r,(,A,),为矩阵,A,,的秩,.,称二次型,f,,的标准形中正平方项的项数,p,,为二次型,f,,的正惯性指数，负平方项的项数,q,,为负惯性指数,.,若二次型,f,的标准形为如下形式,则称为,规范标准形,，简称,规范形,.,其中,r,,为二次型的秩,.,（,规范形是唯一的,）,定义1§4 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面一、惯性定理,定义,2,第七章 二次型与二次曲面,对于两个,n,元二次型,若它们的秩,r,,相同，且正惯性指数,p,,相同（从而负惯性指数也相同），则这两

35、个二次型可以通过满秩线性变换相互转化,.,也就可以归为一类,.,参数,r,,和,p,,提供的分类的一个标准,.,设秩为,r,的,n,元二次型,,f,=,X,T,AX,,经满秩线性变换化为规范形,则,(2),若,p,=,r,<,n,,,则称,f,为,半正定二次型,，,A,为,半正定矩阵,.,(1),若,p,=,r,=,n,,,则称,f,,为,正定二次型,，,A,为,正定矩阵,.,单击,此处,可查阅进一步内容,§4,二次型的分类,二、正定二次型和正定矩阵,定义2第七章 二次型与二次曲面对于两个 n 元二次型若它们,,定理,2,第七章 二次型与二次曲面,若,A,是实对称矩阵，则下列命题是等价的：,

36、(1),A,是正定矩阵,,;,(2),对任意的非零向量,X,,,有,X,T,AX,> 0 ;,因,A,是正定阵, 存在可逆阵,P,,,使,P,T,AP,=,E,,X,,R,n,,,X, 0,,而,P,可逆，,即,A,= (,P,T,),1,P,1,,,故,X,T,AX,=,X,T,(,P,T,),-,1,,P,1,X,=,X,T,(,P,1,),T,,P,1,X,= (,P,1,X,),T,(,P,1,X,) > 0 .,故,PX, 0,,同理,P,1,X, 0,,(1),A,是正定矩阵,,;,(2),对任意的非零向量,X,,,有,X,T,AX,> 0 .,证,(3)

37、,A,的所有特征值都大于零,.,正定二次型的规范形的矩阵显然是,个单位矩阵,.,即单位矩阵是正定矩阵,.,那么，,怎么判断正定矩阵？,定理 2第七章 二次型与二次曲面若 A 是实对称矩阵，则下列,第七章 二次型与二次曲面,,若,A,有一个非正的特征值，不妨设,,i,≤ 0,,存在正交阵,P,,,使得,(2),对任意的非零向量,X,,,有,X,T,AX,> 0 ;,(3),A,的所有特征值都大于零,.,令,X,=,P,,1,,,,其中,,,,,=,,(,,0, 0, …, 0, 1, 0,,, …, 0,,),,X,T,AX,= (,P,1,,),T,,A P,,1,,则,,

38、,的第,,,i,个分量是,,1，其余分量全为,,0.,=,,i,≤ 0.,=,,,T,(,P,1,),T,AP,,1,,=,,,T,,,,矛盾,!,=,,,T,P,,AP,T,,,证,上一页,第七章 二次型与二次曲面 若A有一个非正的特征值，不妨设,第七章 二次型与二次曲面,因为,A,的全部特征值都大于,,0,,， 则,A,所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是,n ,,,故,,A,是正定矩阵.,(1),A,是正定矩阵,(3),A,的所有特征值都大于零,.,证,上一页,,例,1,解,f,的矩阵为,所以,f,是正定二次型,.,第七章 二次型与二次曲面因为 A 的全部特征值

39、都大于 0 ，,第七章 二次型与二次曲面,(1),设,证,,定理,3,,若二次型,,X,T,AX,正定，则,上一页,(2),又因为,A,正定，故存在可逆矩阵,C,,,使,C,T,AC=E,,,即,第七章 二次型与二次曲面(1) 设证定理 3,第七章 二次型与二次曲面,,例,2,故,A,,,B,,,C,,,D,,不是,正定矩阵.,解,上一页,另外，,C,,的对角元,第七章 二次型与二次曲面例 2故 A, B, C, D 不是,第七章 二次型与二次曲面,,定理,4,,n,,元二次型,f = X,T,AX,正定的充要条件是,A,的各阶顺序主子式,|,A,k,| > 0,,k,=1, 2, …,,n

40、.,其中,… ,,上一页,第七章 二次型与二次曲面定理 4 n 元二次型,,例,2,解,f,的矩阵为,因为,A,的顺序主子式为,所以，二次型,f,,是正定的,.,例 2解f 的矩阵为因为 A 的顺序主子式为所以，二次型 f,第七章 二次型与二次曲面,,练习,f,的矩阵,由于,A,1,= 1 > 0,,|A,3,| = |,A,| = 3,A,2,= 3 > 0.,故,f,,正定.,解,上一页,第七章 二次型与二次曲面练习f 的矩阵由于 A1 = 1,定义,3,§4,二次型的分类,第七章 二次型与二次曲面,若,p,= 0,,r,<,n,时, 则称,,,f,,为,半负定二次型,，

41、,A,为,半负定矩阵,.,(2),若,p,= 0,,r,=,n,时, 则称,,,f,,为,负定二次型,，,A,为,负定矩阵.,(3),若,0,,<,p,<,r,≤,n,时, 则称,,,f,,为,不定二次型,，,A,为,不定矩阵.,三、二次型的其他类型：,设秩为,r,的,n,元二次型,,f,=,X,T,AX,,经满秩线性变换化为规范形,定义3§4 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面若 p =,,定理,5,设,A,是,n,阶实对称矩阵,,,则下列命题等价,:(i),X,T,AX,是负定二次型,(,或,A,是负定矩阵,);(ii),对任意的非零向量,X,，,X,T,AX,< 0,;(iii)

42、,A,,的所有特征值全都小于,0;(iv),A,的顺序主子式负正相间，即,定理 5设A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:(i) X,,定理,6,设,A,是,n,阶实对称矩阵,,,则下列命题等价,:(i),X,T,AX,是半正定二次型,(,或,A,是半正定矩阵,);(ii),对任意的非零向量,X,，,X,T,AX,≥ 0,;(iii),A,,的特征值有,p,,个大于,0,，,n,-,p,,个小于,0;(iv),A,的顺序主子式大于或等于,0,，但至少有一个顺序主子式等于,0.,定理 6设A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:(i) X,,例,4,设,A,为,n,阶实对称矩阵，秩(

43、,A,) =,n,,,A,ij,是,,A,= (,a,ij,),n,,n,中元素,a,ij,,的代数余子式 (,,i,,,j,= 1, 2, …,,n,),，,二次型,(1),记,X,= (,x,1,,,x,2,, …,,x,n,),T,,,把,,,f,(,x,1,,,x,2,, …,,x,n,),写成矩阵形式，并证明二次型,,,f,(,X,),的矩阵为,A,1,;,(2),二次型,g,(,X,),,=,X,T,AX,与,f,(,X,),的规范形是否相同？说明理由.,(1),二次型,f,(,x,1,,,x,2,, …,,x,n,),的矩阵形式为,A,1,解,上一页,例 4设 A 为 n

44、阶实对称矩阵，秩(A) = n ,,第七章 二次型与二次曲面,因秩,(,A,) =,n,,,故,A,可逆，且,从而,故,A,1,也是实对称矩阵，因此二次型,f,(,X,),的矩阵为,A,1,.,(2),因为,所以,A,与,A,1,合同，于是,g,(,X,) =,X,T,AX,与,f,(,X,),有相同的规范形.,上一页,第七章 二次型与二次曲面因秩 (A) = n, 故 A 可逆,,练习,解,第七章 二次型与二次曲面,,已知二次型,通过正交变换化成标准形,求参数,a,及,有所用的正交变换矩阵.,二次型,,,f,的矩阵,特征方程为,= (,,2)(,,2,6,,+ 9 ,a,2

45、,) = 0 ,,A,的特征值为,,1,= 1,,,2,= 2,,,3,= 5 .,练习解第七章 二次型与二次曲面 已知二次型通过正交变换,第七章 二次型与二次曲面,将,,= 1 (,或,,= 5 ),代入特征方程，得,A,2,4 = 0,,a,=  2.,因,a,> 0,,故取,,a,= 2 .,这时，,,1,= 1,时, 由,,(,I,,A,),X,= 0,,即,解得对应的特征向量为,,1,= (0, 1, 1),T,；,第七章 二次型与二次曲面将  = 1 ( 或  = 5,,第七章 二次型与二次曲面,,2,= 2,时, 由,,(2,I,,A,),X,

46、= 0 ,,解得对应的特征向量为,,2,= (1, 0, 0),T,,,,3,= 5,时, 由,,(5,I,,A,),X,= 0 ,,解得对应的特征向量为,,3,= (0, 1, 1),T,.,将,,1,,,,2,,,,3,单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,T,=,0,1,0,0,0,,,上一页,第七章 二次型与二次曲面 2 = 2 时,,,练习,解,已知二次型,的秩为,2,,(1),求参数,c,及此二次型对应矩阵的特征值.,(2),指出方程,f,(,x,1,,,x,2,,,x,3,) = 1,表示何种二次曲面.,(1),此二次型对应矩阵为,因,r,(,A,)

47、= 2,,解得,,,c,= 3.,这时，,=,,(,,4)(,,9),,故所求特征值为,,,= 0,,,= 4,,,= 9.,练习解已知二次型的秩为 2, (1) 求参数 c 及此二,(2),由上述特征值可知二次型,f,通过变换，可化为标准形为,那么,f,(,x,1,,,x,2,,,x,3,) = 1,表示椭圆柱面.,(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准,第七章 二次型与二次曲面,X,T,AX,为正定二次型,,实对称方阵,A,为正定矩阵,A,合同于单位阵,,下面三个命题等价：,第七章 二次型与二次曲面XTAX 为正定二次型实对称方阵,第七章

48、二次型与二次曲面,n,阶实对称方阵,A,有,n,个实特征值(重数计算在内),.,n,,阶实对称方阵必有,n,个线性无关的特征向量.,①,矩阵,A,的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.,实对称方阵一定可以对角化 (相似于对角矩阵).,矩阵,A,的可对角化的充要条件是,A,有,n,个线性无关特征向量,.,②,A,的对应于,k,重特征值,,的线性无关特征向量最大个数为,k .,A,相似于对角阵，即存在在可逆矩阵,P,，,使得,若,P,又是正交阵, 则,第七章 二次型与二次曲面n 阶实对称方阵 A 有 n 个实特,第七章 二次型与二次曲面,n,,阶实对称方阵,A .,A,有,n,个实特征值,,,i,(,重数在内,,),.,A,有,n,个线性无关的特征向量,X,i,分别属于,,,I .,将,X,i,单位化正交化后得,P,i,,,P,i,仍是属于,,,I,的特征向量,,.,记,P,= [,P,1,,,,P,2,, …,,P,n,],,P,是一个正交矩阵,,.,Ap,i,=,,i,P,i,(,i,= 1, 2,…,,n,) ,,AP,=,P, .,证明思路：,第七章 二次型与二次曲面n 阶实对称方阵 A .A 有 n,