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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,江南大学物联网工程学院,——,自动控制原理,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,自动控制原理,——,第,2,章 自动控制系统的数学模型,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第,2,章 控制系统的数学模型,2.1,线性微分方程的建立及求解,,2.2,传递函数,
2、,定义、性质、典型元件及典型环节传函,,2.3,控制系统的结构图及信号流图,,组成、绘制、梅逊公式,,,2.4,控制系统的传递函数,,开环传函、闭环传函,引言,,要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。,,数学模型,：描述系统内部各物理量之间关系的,数学表达式,。,,数学表达式：代数方程、微分方程,,静态数学模型 ：系统变量之间与,时间无关,的静态关系,,动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性,控制系统数学模型的类型,时域（,t,）模型,,微分方程,z,域（,z,）模型,,脉冲传函,频域（,ω,）模型,,频率特性,复域（,s,）模型,,传递函数
3、,§2.1.1,,建模方法,：分析法、实验法,§2.1,控制系统的微分方程,,黑匣子,,输入（充分激励）,,输出（测量结果）,,具体方法：最小二乘,(,曲线拟合,),法、神经元网络法、模糊模型法等。,,模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。,,实验法,（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应,辨识出,数学模型。,,分析法－根据系统运动规律〔定律、经验公式〕和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。 建模〔微分方程〕步骤：,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的
4、微分方程。,,第三步：标准化。,,左“出〞=右“入〞，且各微分项均按降幂排列。见P19公式〔2-8〕所示。,第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。,根据系统遵循的物理定律,——,如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,,解：明确输入量 ， 输出量,,第一步：环节数学表达式,,,第二步：消去中间变量,,i,,＋,－,u,r,u,c,R,C,图,2.1,RC,滤波电路,该电路为一阶系统,[,例,2.1],,如图,2.1,所示，写出,RC,滤波电路,的微分方程。,【,例,2.2】,如,图,2.2,所示，写出,RLC,振荡器电路,的微分方程。
5、,,解：,,＋,－,u,r,u,c,R,C,图,2.2,RLC,振荡器电路,L,i,解方程组得,RLC,振荡器电路的微分方程为：,该电路为二阶系统,§2.1.1,线性定常微分方程的求解,一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如以下图所示。,数学工具——拉普拉斯变换与反变换,⑴ 拉氏变换定义,,设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0,,② t>0时，f(t)连续，那么f(t)的拉氏变换存在，表示为：,拉氏变换函数〔象函数〕,原函数,衰减因子，其中：,,τ-时间常数,,s = -σ+jω为拉氏变换算子，其中：,,σ-衰减系数,,ω-振荡频率〔rad/s〕,⑵,拉氏变换,基本定理
6、,,线性定理,,位移定理,延迟定理,终值定理,,,微,积分定理,,d/dt s,,将F(s)化成以下因式分解形式：,⑶,拉氏,反变换,定义表达式：f〔t〕=L-1 [F(s)],方法：简单函数-直接查表；,,复杂函数-局部分式展开，再查表。,◆F(s),含有,共扼复数极点,时，可展开为,◆ F(s),中具有,不同的极点,时，可展开为,待定系数,◆ F(s),含有,多重极点,时，可展开为,§2.2 非线性数学模型的线性化 ——微小偏差法〔略〕,2.3.1,传递函数的,定义,和主要性质,定义：零初始条件下，系统〔元件、环节〕输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之
7、比。,设,n,阶线性定常系统由下述,n,阶线性常微分方程描述：,定义表达式为：,,C,(s)=,G,(s),R,(s),§,2.3,传递函数,※,,三种表达式,,,(1),一般表达式,式中：,c,(t),是系统输出量，,r,(t),是系统输入量；,,各系数均是常数。,设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，那么对上式中各项分别求拉氏变换，可得到系统传函的一般表达式：,,(2),时间常数,表达式,K *— 零、极点〔根轨迹〕增益；-zi、-pl—零点和极点值。,K,—,增益；,τ,i,、,T,l,—,对应环节时间常数。,(3) 零极点〔根轨迹〕表达式,根本性质：,,
8、性质1 传递函数的概念只适于线性定常系统。,,性质2 传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式〔幅度与大小〕无关，也不反映系统内部的任何信息 。,,性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。,,传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。,假设系统传递函数为G(s)， r(t)=δ(t)，即：R〔s〕=1,,那么：C(s)=G(s)R(s)=G(s)=L[g(t)],传递函数是,复变量的有理真分
9、式，即,n ≥m,，,具有复变函数的所有性质,。对于实际系统来说，且,所有系数均为实数,。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。,性质,7,系统传递函数,G,(,s,),是其单位脉冲响应,g,(,t,),的拉氏变换,,,单位脉冲响应,g,(t),是系统在单位脉冲输入,δ,(t),时的输出响应。,典型环节的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节那么是由各种不同的元件组成。 常用的电路元件如下：,-,z,2,/,z,1,,运放,A,1/,C,s,,电容,C,L,s,,电感,L,R,,电阻,R,传递函数,微分方程,常用元件,,为元件对
10、应的,复阻抗,比例环节,滞后环节,一阶微分环节（,m,个）,积分环节〔ν个〕,惯性环节〔q个〕,振荡环节,,〔n-v-q〕个,1.,比例环节,(,P,调节器,),特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。,,实例：,线性电位器,、,运算放大器,、传动齿轮、线性传感器等。,K,—,比例系数（增益）,2.,积分环节（,I,调节器,）,特点,：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有,记忆功能,，一般用于,改善系统的稳态性能,，提高控制精度。,,实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等,。,3.,微分环节,理想微分,（,D,调节器,）：,一阶微分,（比例微分
11、或,PD,调节器,）：,特点,：输出量正比于输入量变化的速度，具有,超前控制,的作用，一般用于,改善系统的动态性能,。,4.,惯性环节,式中，,T,-,时间常数,特点,：含一个储能元件，对突变的输入,,,其输出不能立即复现，即有延迟。,,实例：,RC,滤波电路网络,，一阶水槽,(,流水,),，直流伺服电动机,,的传递函数也包含这一环节。,,特点,：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其,输出出现振荡,。,,实例：,RLC,电路,的输出与输入电压间的传递函数。,,可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。,5.,振荡环节,式中,ζ,——,阻尼比；,T,——,时间常数,,,ω,n,——
12、,无阻尼自然振荡角频率（,rad,/,s,）,6.,延时（滞后）环节,特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。,,实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,式中：,τ,——,延迟时间常数,说明：,,实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。,,常见的典型电路,§2.3,控制系统结构图及系统传函,2.3.1,控制系统,结构图的组成,,〔2〕比较点〔集合点、综合点、运算点〕：“ 〞,,两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。,,“+〞表示相加，“-〞表示相减。“+〞号可省略不写。,〔1〕传函方框：表示输入到
13、输出单向传输间 的函数关系。,,传函方框+比较点+引出点,,G,(,s,),,R,(,s,),,C,(,s,),,(3),引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置,,图,2.7,引出点示意图,),,,,X,(,s,),,X,(,s,),,R,(,s,),,C,(,s,),(,1,s,G,,),(,2,s,G,,注意：同一位置引出的信号,,大小和性质完全一样。,,,X,1,,X,1,+,X,2,,X,2,,,图,2.6,比较点示意图示意图,,X,1,,X,1,-,X,2,+,,X,2,,-,,X,3,,X,3,注意,：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。,2.3.2,控制系统的,传递函
14、数,(1),前向通道：,E,(s)→,C,(s),,,前向通道传函,：,,,G,1,(s),G,2,(s),H,(s),,,,,,C,(s),图,2.8,,典型的控制系统结构图,控制对象,控制器,C,(s),R,(s),B,(s),E,(s),D,(s),典型控制系统结构图,,定义几个重要概念及传函,以R(s)单独作用〔D(s)=0〕为例。,(2),,反馈通道,：,C,(s) →,B,(s),,,,反馈通道传函,：,Ｈ,(,ｓ,),＝１,时称为,单位反馈,。,（,3,）,开环通道：,E,(s) →,B,(s),,,开环通道传函（简称开环传函）,：,〔4〕闭环传函 —— 两种输入信号对输出响应的
15、传函,,G,(s),H,(s),,,,C,r,(s),R,(s),B,(s),E,(s),典型控制系统结构图可简化为,,其中：,G,(s)=,G,1,(s),G,2,(s),=,前向通道传函,,１,+,开环传函,,控制传函,：,假定,D,(s)=0,，,,R,(s),,C,r,(s),,,典型控制系统结构图可等效为,,,G,２,(s),H,(s),,,,C,d,(s),Ｄ,(s),,,G,1,(s),其中：,,G,(s)=,G,1,(s),G,2,(s),系统总相应为：,C,(s)=,C,r,(s)+,C,d,(s),,扰动传函,：,假定,Ｒ,(s)=0,，,D,(s),,C,d,(s),,,,,,本节结束！,
自动控制原理 第2版 教学课件作者 徐颖秦 02 控制系统数学模型1
