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1、,第二章函数,2.1,函数及其表示,-,3,-,考纲要求,:1,.,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,;,了解映射的概念,.,2,.,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法,(,如图像法、列表法、解析法,),表示函数,.,3,.,了解简单的分段函数,并能简单应用,(,函数分段不超过三段,),.,-,4,-,1,.,函数的基本概念,(1),函数的定义,:,给定两个非空,数集,A,和,B,如果按照某个对应关系,f,对于集合,A,中的,任何,一个数,x,在集合,B,中都存在,唯一,确定的数,f,(,x,),与之对应,那么就把对应关系,f,叫作定义在集合,A,上的函数,记作,f
2、,:,A,B,或,y=,f,(,x,),x,A,此时,x,叫作自变量,集合,A,叫作函数的定义域,集合,f,(,x,),|x,A,叫作函数的值域,.,(2),函数的三要素是,:,定义域,、,值域,和对应关系,.,(3),表示函数的常用方法有,:,解析法,、,列表法,和图像法,.,(4),分段函数,:,若函数在其定义域内,对于,定义域内,的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数,.,分段函数的定义域是各段定义域的,并集,值域是各段值域的,并集,.,-,5,-,2,.,函数定义域的求法,-,6,-,3,.,映射的概念,两个非空集合,A,和,B,间存在着对应关系,f,而且对于,
3、A,中的每一个元素,x,B,中总有,唯一,的一个元素,y,与它对应,就称这种对应为从,A,到,B,的映射,记作,f,:,A,B.A,中的元素,x,称为原像,B,中的对应元素,y,称为,x,的像,记作,f,:,x,y.,4,.,映射与函数的关系,函数是从非空数集到非空数集的映射,该映射中的原像的集合称为,定义域,像的集合称为,值域,.,-,7,-,1,2,3,4,5,1,.,下列结论正确的打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),函数是其定义域到值域的映射,.,(,),(2),函数,y=f,(,x,),的,图像,与,直线,x=,1,有两个交点,.,(,),(3),定义域相同,值域也相同的函数一定
4、是相等函数,.,(,),(4),二次函数,y=x,2,-,1,的值域可以表示为,y|y,=x,2,-,1,x,R,即为,y|y,-,1,.,(,),(5),分段函数是由两个或几个函数组成的,.,(,),-,8,-,1,2,3,4,5,2,.,函数,的,定义域为,(,),A,.,-,1,1B,.,(0,1,C,.,-,1,0)D,.,-,1,0),(0,1,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,9,-,1,2,3,4,5,3,.,设,f,g,都是从,A,到,A,的映射,(,其中,A=,1,2,3),其,对应关系,如下,表,:,则,f,(,g,(3),等于,(,),A,.,1B,.,2C,
5、.,3D,.,不存在,答案,解析,解析,关闭,由题中表格知,g,(3),=,1,故,f,(,g,(3),=f,(1),=,3,.,答案,解析,关闭,C,-,10,-,1,2,3,4,5,4,.,下列函数中,与函数,y=x,相等的是,(,),答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,11,-,1,2,3,4,5,答案,解析,解析,关闭,g,(),=,0,f,(,g,(),=f,(0),=,0,.,答案,解析,关闭,B,-,12,-,1,2,3,4,5,自测点评,1,.,由于映射中的两个集合是非空集合,函数中的两个集合是非空数集,.,所以函数是特殊的映射,.,2,.,判断两个函数是不是相等函数
6、,关键是看定义域,和,对应关系,是否,相同,.,3,.,求分段函数的函数值,要依据自变量所属的区间,选择,对应关系,求解,.,当自变量不确定时,需分类讨论,.,-,13,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,1,函数的基本概念,例,1,以下给出的同组函数中,相等函数是,.,(3),f,1,:,y=,2,x,;,f,2,:,如图所示,.,答案,解析,解析,关闭,(1),不相等,.f,1,(,x,),的定义域为,x,R,|x,0,f,2,(,x,),的定义域为,R,.,(2)(3),相等,x,与,y,的,对应关系,完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式,
7、.,答案,解析,关闭,(2)(3),-,15,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,怎样判断两个函数相等,?,解题心得,:,两个函数是否相等,取决于它们的定义域和,对应关系,是否相同,只有当两个函数的定义域和,对应关系,完全相同时,才相等,.,另外,函数的自变量习惯上用,x,表示,但也可用其他字母表示,如,:,f,(,x,),=,2,x-,1,g,(,t,),=,2,t-,1,h,(,m,),=,2,m-,1,均相等,.,-,16,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,1,有以下判断,:,函数,y=f,(,x,),的,图像
8、,与直线,x=,1,的交点最多有,1,个,;,f,(,x,),=x,2,-,2,x+,1,与,g,(,t,),=t,2,-,2,t+,1,相等,;,若,f,(,x,),=|x-,1,|-|x|,则,其中正确判断的序号是,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,17,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,2,求函数的定义域,例,2,(1)(2015,杭州模拟,),函数,的,定义域为,(,),A,.,(,-,3,0,B,.,(,-,3,1,C,.,(,-,-,3),(,-,3,0D,.,(,-,-,3),(,-,3,1,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,
9、关闭,-,18,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),函数,的定义域为,(,),A.(2,3)B.(2,4,C.(2,3),(3,4D.(,-,1,3),(3,6,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,19,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,已知函数解析式,如何求函数的定义域,?,解题心得,:,1,.,函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式,(,组,),不等式,(,组,),的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示,.,2,.,由实际问题求得的函
10、数定义域,除了要考虑函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义,.,-,20,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,2,(1),函数,f,(,x,),=,log,2,(,x,2,+,2,x-,3),的定义域是,(,),A,.,-,3,1B,.,(,-,3,1),C,.,(,-,-,3,1,+,)D,.,(,-,-,3),(1,+,),答案,解析,解析,关闭,要使函数有意义,应满足,x,2,+,2,x-,3,0,解得,x,1,或,x-,3,故函数的定义域是,(,-,-,3),(1,+,),.,答案,解析,关闭,D,-,21,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点
11、,4,知识方法,易错易混,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,22,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,3,求函数的解析式,例,3,(1),已知,=,lg,x,求,f,(,x,);,(2),已知,f,(,x,),是二次函数,且,f,(0),=,2,f,(,x+,1),-f,(,x,),=x-,1,求,f,(,x,);,(3),已知,求,f,(,x,),.,-,23,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,-,24,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,求函数解析式有哪些基本的方法,?,解题心
12、得,:,函数解析式的求法,:,(1),待定系数法,:,若已知函数的类型,(,如一次函数、二次函数,),可用待定系数法,.,(2),换元法,:,已知复合函数,f,(,g,(,x,),的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围,.,(3),方程思想,:,已知关于,f,(,x,),与,或,f,(,-x,),的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出,f,(,x,),.,提醒,:,因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是,R,一定要注明函数的定义域,.,-,25,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错
13、易混,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,26,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),已知,f,(,x,),是一次函数,且满足,3,f,(,x+,1),-,2,f,(,x-,1),=,2,x+,17,则,f,(,x,),=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,27,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(3),已知,f,(,x,),满足,2,f,(,x,),+=,3,x,则,f,(,x,),=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,28,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混
14、,考点,4,分段函数,(,多维探究,),类型一,分段函数求值问题,思考,:,求某一自变量的函数值,如何选取函数的解析式,?,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,30,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,类型二,分段函数与方程的交汇问题,例,5,已知实数,a,0,函数,若,f,(1,-a,),=f,(1,+a,),则,a,的值为,.,思考,:,求含有参数的自变量的函数值,如何选取函数解析式,?,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,31,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,类型三,分段函数与不等式的交汇问题,例,6,设函数
15、,则使得,f,(,x,),2,成立的,x,的取值范围是,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,32,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式,?,解题心得,:,分段函数问题的求解策略,:,(1),分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解,.,(2),对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应采取分类讨论,.,(3),解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,.,-,33,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识
16、方法,易错易混,对,点训练,4,(1),设,函数,则,f,(,-,2),+f,(log,2,12),=,(,),A.3B.6C.9D.12,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,34,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,答案,解析,解析,关闭,f,(1),=,2,f,(,f,(1),=f,(2),=,4,+,2,a=,4,a,解得,a=,2,.,故选,C,.,答案,解析,关闭,C,-,35,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(,3)(2015,陕西榆林二模,),已知,则,使,f,(,x,),-,1,成立的,x,的取值范围是,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,-,36,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,1,.,在判断两个函数是否相等时,要紧扣两点,:,一是定义域是否相同,;,二是,对应关系,是否相同,.,2,.,求具体函数,y=f,(,x,),的定义域,:,-,37,-,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,3,.,分段函数,“,两种,”,题型的求解策略,:,
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