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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,读书患不多，思义患不明。,患足己不学，既学患不行。,1读书患不多，思义患不明。,2,1.3,概率的定义及其性质,事件的频率,概率的公理化定义,概率的性质,21.3 概率的定义及其性质 事件的频率 概率的公理,3,研究随机现象的统计规律性的数学学科。,什么是统计规律性,?,统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律。,概率论,一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小,的数量指标,刻画,称为该事件的概率。,什么是概率,?
2、,如何定义概率,?,3研究随机现象的统计规律性的数学学科。什么是统计规律性?统计,4,正面朝上,例：,“,抛硬币”试验，,将一枚硬币连续抛 次，,记,次试验中,发生的次数,若 是两两不相容事件,则,频率：,频数：,频率的性质：,频率有没有稳定性？,4正面朝上例：“抛硬币”试验，将一枚硬币连续抛 次，记次试,5,试验,序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.5
3、02,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0.502,例：,将一枚硬币抛掷,5,次、,50,次、,500,次,各做,7,遍,观察正面出现的次数及频率,.,波动较小,波动较大,波动最小,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,5试验1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222,6,0.5005,12012,24000,皮 尔 逊,0.5016,6019,12000,皮 尔 逊,0.5069,2048,4048,蒲 丰,0.5181,1061,2048,德,摩根,实验者,60.50051201224000皮 尔 逊0.501660,7,例：,高尔顿,(G
4、alton),板试验，试验模型如下所示,:,自上端放入一小球，任其自由下,落，在下落过程中当小球碰到钉子时，,从左边落下与从右边落下的机会相等。,碰到下一排钉子时又是如此。最后落,入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。,7例：高尔顿(Galton)板试验，试验模型如下所示:自,8,单击图形播放,/,暂停,ESC,键退出,请看动画演示,8单击图形播放/暂停ESC键退出请看动画演示,9,由上述两例可知，频率具有下列特点：,随机波动性,对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不
5、一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；,频率稳定性,随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。,9由上述两例可知，频率具有下列特点：随机波动性对相,10,我们称这个稳定值,p,为随机,事件,A,的概率。,当试验次数,很大时,事件 的频率 接近,一个稳定值,p,，即有,概率的统计学定义,由于频率的取值是“随机的”，那么极限,是什么意思值得研究,（第五章讨论该问题）。,10我们称这个稳定值 p 为随机事件 A 的概率。当试验次数,11,当试验次数,n,相当大时，可以用频率作为概率的近似值：,事件频率的稳定性通常也称作相应事件发
6、生的,统计规律性,。,前苏联数学家科尔莫戈罗夫在,1933,年将频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的,概率的公理化定义。,11 当试验次数 n 相当大时，可以用频率作为概率的近,12,在第五章将证明贝努里大数定理,:,从理论上保证了利用频率稳定值 量度事件 发生的,可能性大小,(,概率,),的可行性,.,当试验次数,很大时,事件 的频率 接近一个常数，,即有,12在第五章将证明贝努里大数定理:从理论上保证了利用频率稳定,13,概率的公理化定义,公理,1,非负性：,公理,2,规范性：,公理,3,可列可加性：对两两不相容的事件列 ，,定义：,设 是随机试验，,称为事件,都
7、赋予一个实数 ，,是其样本空间，,对 的,如果集合函数 满足下列三条公理：,每一个事件 ，,的概率，,有,13概率的公理化定义公理1 非负性：公理2 规范性：公理,14,概率的性质,性质,1,：,证明：,设,则,且,由概率的可列可加性得,14概率的性质性质1：证明：设则且由概率的可列可加性得,15,概率的性质,证明：,设,则,且,由概率的可列可加性得,若,性质,2,：,（有限可加性）,两两互不相容,事件，则有,15概率的性质证明：设则且由概率的可列可加性得若性质2：（有,16,概率的性质,证明：,由 知，,且,由有限可加性得,设,性质,3,：,是两个事件，,若 ，,则 ，,且有,从而,故,16
8、概率的性质证明：由 知，且由有限可加性得设性,17,概率的性质,证明：,由,且,由性质,3,可得,设,性质,4,：,是任意两个事件，,则有,17概率的性质证明：由且由性质3可得设性质4：是任意两个事件,18,概率的性质,证明：,由于,故由性质,3,，,对任意事件 ，,性质,5,：,有,证明：,因,故,对任意事件 ，,性质,6,：,有,且,从而,18概率的性质证明：由于故由性质3，对任意事件 ，性质5,19,概率的性质,证明：,因,且,故有,对于任意两个事件 ，,性质,7,：,有,事件解释为区域,概率解释为区域面积,19概率的性质证明：因且故有对于任意两个事件 ，性质,20,挖,挖,挖,补,对于
9、任意三个事件 ，,推广,1,：,有,20挖挖挖补对于任意三个事件 ，推广1：有,21,对于任意多个事件 ，,推广,2,：,有,全加,减二,加三,减四,挖补规律：加奇减偶,21对于任意多个事件 ，推广2：有全加减,22,解：,因,设,练习题：,求在下列三种情况下,的值？,设,与,互斥；,22解：因设练习题：求在下列三种情况下的值？设与互斥；,23,练习题：,设,为三事件，且,生的概率。,求,至少有一个发,解：,由题知所求为,因,故,23练习题：设 为三事件，且 生的概,24,练习题：,设 为随机事件，且 ，则对任意随机,事件 ，必有（）,分析：,因,故,从而,进而,24练习题：设 为随机事件，且 ，则对任意,25,小 结,1.,概率的定义,2.,概率的性质,三条公理,7,条性质,统计学定义,公理化定义,25小 结1.概率的定义2.概率的性质三条公理,26,课本,作 业,作业题：,设 ，若,与 互不相容，则,26课本作 业作业题：设,
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