大学数学高数微积分25Laplace变换应用课堂讲义

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1、单击此处编辑母版标题样式,,,,*,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四

2、级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,

3、第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第,*,页,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第,*,页,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第,*,页,1,s,s,s,s,2.5,Laplace,变换的应用,2,本节内容,四、小结,,,,,,,,,一、微分、积分方程的,Laplace,变换解法,三、线性系统的传递函数,二、偏微分方程的,Laplace,变换解法,第,3,页,一、

4、微分、积分方程的,Laplace,变换解法,象原函数,,(,微分方程的解,),象函数的,,代数方程,微分方程,象函数,取,Laplace,逆变换,取,Laplace,变换,解代数,,方程,,首先取,Laplace,变换将微分方程化为象函数的代数方程,,,解代数方程求出象函数,,,再取,Laplace,逆变换得最后的解,.,第,4,页,,例,1,,解,求方程 满足初始条件,的解,.,设方程的解,且设,对方程的两边取,Laplace,变换,,,得,第,5,页,整理得,变形得,,例,1,取逆变换得,第,6,页,,例,2,,解,求方程

5、满足初始条件,的解，,其中 为已知常数,.,设方程的解,且设,对方程的两边取,Laplace,变换,,,得,第,7,页,整理得,取逆变换得,下面确定,令,得,,例,2,得,故得,第,8,页,,例,3,,解,求方程 满足初始条件,的解,.,对方程的两边取,设,Laplace,变换,,,得,第,9,页,整理得,即,变形得,(,分离变量法,),,例,3,第,10,页,得,下面确定,令,得,积分得,取逆变换得,得,,例,3,第,11,页,,例,4,,解,求积分方程,的解,.,其中 为定义在 的已知函数,.,设,对方程的两边取,Lap

6、lace,变换,,,得,∗,第,12,页,整理得,如果令,由反演积分公式,,例,4,第,13,页,,例,5,,解,,质量为,m,的物体挂在弹性系数为,k,的弹簧一端,,,作用在物体上的外力为,.,若物体从静止平衡位置 处开始运动,,,求该物体的运动规律,.,,,,,（,Newton,定律）,物体运动的微分方程为：,且,第,14,页,设,得,记,,例,5,则,第,15,页,,,得,,例,5,∗,第,16,页,,如图所示的 串联电路,,,若外加电动势为正弦交流电压,,,求开关闭合后,,,回路中电流 及电容器两端电压,.,,例,6,,解,根据Ｋ,irchhoff,定律

7、，有,其中,,,第,17,页,,,,得,对方程的两边取,Laplace,变换,,,得,设,且,,例,6,第,18,页,得,,例,6,的一阶极点,即,第,19,页,,,.,,,,,,.,得,,例,6,化简得,第,20,页,,,,,,,例,6,第,21,页,,.,,,,,,,,例,6,令,则,第,22,页,因为过渡电流,,,,例,6,，所以,第,23,页,,例,7,,在 电路中串接直流电源,,,求开关闭合后,,,回路中电流,.,,,,请同学们仿例,6,解答,!,,第,24,页,,例,8,求方程组,的解,.,满足初始条件,,解,设,得,第,25,页,,,例,8,化简得,第,26,页,解得,,例

8、,8,由,得,有两个二级极点：,由,第,27,页,,,,因此,,例,8,第,28,页,故,,例,8,第,29,页,小结：,,用,Laplace,变换求线性微分、积分方程及其方,,程组的解时，有如下的优点：,,１）在求解的过程中，初始条件能同时用上，求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分方程的复杂运算,.,,,２）零初始条件在工程技术中是十分常见的，由上一个优点可知，用,Laplace,变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何变化,.,第,30,页,小结：,3,）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当齐次项不是连续函数，而是包含 函数或有第一类间断点的函数时，用,La

9、place,变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困难得多,.,,4,）用,Laplace,变换求解线性微分、积分方程组，比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组的一般解法中通常是不可能的,.,第,31,页,,例,9,利用,Laplace,变换求解定解问题,:,二、偏微分的,Laplace,变换解法,第,32,页,对方程的两边关于,t,取,Laplace,变换,,,设,,解,得,,例,9,第,33,页,问题转化为求解常微分方程的边值问题,:,,例,9,第,34,页,得方程的通解为,:,代入边界条件得,得,,例,9,第

10、,35,页,,对上式取,Laplace,逆变换,,,得,,例,9,第,36,页,,例,10,利用,Laplace,变换求解定解问题,:,其中 均为常数,.,第,37,页,对方程的两边关于,t,取,Laplace,变换,,,,解,得,,例,10,第,38,页,问题转化为求解常微分方程的边值问题,:,,例,10,得方程的通解为,:,第,39,页,由边界条件得,得,,例,10,对上式取,Laplace,逆变换,,,得,,余误差函数,第,40,页,,例,11,利用,Laplace,变换求解定解问题,:,第,41,页,,解,取,Laplace,变换,,,设二元函数,由微分性质得,,例,11,对定

11、解问题关于,x,第,42,页,,例,11,问题转化为求解常微分方程的初值问题,:,第,43,页,得方程满足初始条件的解为,:,得定解问题的解为,:,,例,11,第,44,页,,例,12,利用,Laplace,变换求解定解问题,:,第,45,页,对定解问题关于,t,取,Laplace,变换,,,记,,解,,例,12,第,46,页,定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微分方程的边值问题,:,,例,12,第,47,页,得通解为,:,代入边界条件得,得,,例,12,第,48,页,,,对上式取,Laplace,逆变换,,,得,,例,12,第,49,页,,例,13,利用,Laplace,变换求解定解问题,

12、:,课堂练习,:,请同学们仿例,12,解答,!,第,50,页,三、线性系统的传递函数,1.,线性系统的激励和响应,这是一个一阶常系数线性微分方程,.,,一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述,.,例如例,6,中的,RC,串联电路,,,电容器两端的电压,u,C,(,t,),所满足的关系式为,第,51,页,2.,激励和响应的概念,三、线性系统的传递函数,,在上述一阶常系数线性微分方程中,,,通常将外加电动势,e,(,t,),看成是这个系统的随时间,t,变化的输入函数,,,称为激励,,,而把电容两端的电压,u,C,(,t,),看成是这个系统的随时间,t,变化的输出函数,,,称为,响应,.,第

13、,52,页,三、线性系统的传递函数,,这样的,RC,串联的闭合,回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统,,,如下图所示,.,而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式,.,这样一个线性系统,,,在电路理论中又称为线性网络,(,简称网络,).,一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定,.,第,53,页,三、线性系统的传递函数,第,54,页,3.,传递函数的概念的引入,三、线性系统的传递函数,,对于不同的线性系统,,,即使在同一激励下,,,其响应也是不同的,.,在分析线性系统时,,,我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况,,,而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系

14、,,,可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系,,,为了描述这种联系需要引进传递函数的概念,.,第,55,页,三、线性系统的传递函数,第,56,页,4.,传递函数的概念,其中,,均为常数,,,m,,,n,为正整数,,,n,,m,.,,假设有一个线性系统,,,在一般情况下,,,它的激励,x,(,t,),与响应,y,(,t,),可用下列微分方程表示,:,三、线性系统的传递函数,第,57,页,L,[,a,k,y,(,k,),]=,a,k,s,k,Y,(,s,)-,a,k,[,s,k,-1,y,(0)+,...,+,y,(,k,-1)(0)],设,L,[,y,(,t,)]=,Y,(,s,),,L,[

15、,x,(,t,)]=,X,(,s,),,,则,三、线性系统的传递函数,L,[,b,k,x,(,k,),]=,b,k,s,k,X,(,s,)-,b,k,[,s,k,-1,x,(0)+,...,+,x,(,k,-1),(0)],(,k,=0,1,,...,,,n,),(,k,=0,1,,...,,,m,),第,58,页,两边取,Laplace,变换并通过整理,,,可得,D,(,s,),Y,(,s,) –,M,h y,(,s,)=,M,(,s,),X,(,s,) –,M,h x,(,s,),三、线性系统的传递函数,其中,,,D,(,s,)=,a,n,s,n,+,a,n,-1,s,n,-1,+,...

16、,+,a,1,s,+,a,0,,,M,(,s,)=,b,m,s,m,+,b,m,-1,s,m,-1,+,...,+,b,1,s,+,b,0,第,59,页,三、线性系统的传递函数,M,h y,,(,s,)=,a,n,y,(0),s,n,-1,+[,a,n,y,'(0)+,a,n,-1,y,(0)],s,n,-2,+,...,+,,[,a,n,y,(,n,-1),(0)+,...,+,a,2,y,'(0)+,a,1,y,(0)],M,h x,(,s,)=,b,m,x,(0),s,m,-1,+[,b,m,x,'(0)+,b,m,-1,x,(0)],s,m,-2,+,,,...,+[,b,m,x,(,

17、m,-1),(0)+,...,+,b,2,x,'(0)+,b,1,x,(0)].,则,第,60,页,三、线性系统的传递函数,称,G,(,s,),为,系统的传递函数,.,如,G,h,(,s,)=0,,,则,其中,第,61,页,,在零初始条件下,,,系统的传递函数等于其响应的,Laplace,变换与其激励的,Laplace,变换之比,.,当我们知道了系统的传递函数以后,,,就可以由系统的激励求出其响应的,Laplace,变换,,,再求逆变换可得其响应,y,(,t,).,三、线性系统的传递函数,第,62,页,,传递函数不表明系统的物理性质,,,许多性质不同的物理系统,,,可以有相同的传递函数,.,三

18、、线性系统的传递函数,第,63,页,假设某个线性系统的传递函数为,或,,Y,(,s,)=,G,(,s,),X,(,s,),5.,脉冲响应函数,设,g,(,t,)=,L,,-1,[,G,(,s,)],，,则由卷积定理可得,三、线性系统的传递函数,∗,第,64,页,,即系统的响应等于其激励与,,的卷积,.,,一个线性系统除用传递函数来表征外,,,也可以用传递函数的逆变换,,来表征,.,称,,为,系统的脉冲响应函数,.,即,三、线性系统的传递函数,,时,,,则在零初始条件下,,,有,,所以,,即,第,65,页,在系统的传递函数中,,,令,,,则得,6.,频率响应,三、线性系统的传递函数,称它为系统的

19、频率特性函数,,,简称频率响应,,,可以证明,,,当激励是角频率为,w,的虚指数函数,x,(,t,)=e,j,w,t,时,,,系统的稳态响应是,y,(,t,)=,G,( j,w,,)e,j,w,t,.,,因此频率响应在工程技术中又称为正弦传递函数,.,第,66,页,如图所示,,电路,,,当把电源电势,e,,(,t,),看成激励,,,则响应,u,C,(,t,),与,e,(,t,),满足的微分方程为,,例,14,第,67,页,两边取,Laplace,变换,,,并设,L,,[,u,C,(,t,)]=,U,C,(,s,),,L,[,e (,t,)]=,E,(,s,),,,有,RC,[s,U,C,(,s,)-,u,c,(0)]+,U,C,(,s,)=,E,(,s,),,例,14,电路的传递函数为,:,第,68,页,而电路的脉冲响应函数为,,例,14,令,得频率响应为,第,69,页,四、 小结,总结,Laplace,变换解数理方程的优缺点．,总结,Laplace,变换求解定解问题时,,,定解条件取变换的原则是什么．,深入阅读,:,《,数学物理方程与特殊函数,(,第三版,),》,，,东南大学， 高等教育出版社,,