桥涵水文-水文计算中的数理统计法

《桥涵水文-水文计算中的数理统计法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《桥涵水文-水文计算中的数理统计法（80页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,桥涵水文,工程学院,,第三章 水文计算中的数理统计法,水文统计法系利用水文现象的,不重复性,和各种水文要素具体数值的出现属于,偶然性,的特点，运用概率论的原理，对实测水文资料进行统计分析，从而推求出它的规律性,并进一步预估今后发生变化的一种方法．,,在实用中,不能单纯依靠统计规律来解决复杂的水文问题。为了使水文计算结果更趋于符合客现实际，还应辅以,物理成因,的分析。,,§3-1 机率和频率,一、随机事件,,,必然事件：,当多次观察自然现象时,就会发现有许多事情在一定条件下必然会发生 的。例如

2、河流中的洪水流量，每年汛期必然会出现一次最大的洪峰流量。,,,不可能事件：,在一定条件下必然不会发生的事件称之为不可能事件。例如在流域内下了一场暴雨后，要使所属河流水位不变化是不可能的。,,随机事件：,在自然现象中，除了必然事件和不可能事件外，还存在另一种事化即在一定条件下它,可能发生也可能不发生,，这种事件称之为随机事件。例如黄河每年都要发洪水，但洪降流量出现的,具体时间和数值,，,年年变化,，每年都不相同，称之为,随机事件,。,,,,随机变量:,统计学中把这种随机现象的,各个,不同值,称之为,随机变量。,,,随机现象好象是无规律的，但观察了大量的同类随机现象之后，就会发现它还是存在着,一定

3、的规律性,。例如观察河流的年径流总量便可以发现多年平均年径流总量是一个稳定的数值，这种规律性需要从大量同类随机变量中统计出来。,,对水文现象来说，就需要从大量水文实测资料中来推求，实测资料愈多，规律性就愈明显，预估的精确度也就会愈高。系列可以是有限的，也可以是无限的，,水文资料一般都是无限系列,。例如某河流年最大洪峰流量值所组成的,随机变量系列,，应包括河流过去的和未来的,无限长久年代,中所有的每年最大洪峰流量值，所以是一个,无限系列,。,,二、频率的含义,机率(概率),是一个具体数值，它表示某随机事件在客观上出现的可能程度即,可能性,的大小，该数值称之为某随机事件的,机率,（或称为,概率、或

4、然率,）。,,若试验的可能结果是有限的，而且所有结果出现的可能性都相等，则称之为,简单随机事件,，其机率可按下式计算：,,(3.1),,式中P(A)为一定条件下的随机事件A的机率；n为全部试验结果的总次数；m为随机事件A出现的总次数。,,例如抛掷一枚硬币的试验是简单随机事件，其可能的结果只有两个，即出现“正面向上”和“反面向上”，对均质硬币而言，其出现任何一种结果的可能性是相等的，因此根据公式(3.1)算得出现“正面向上”这一事件的机率为,1/2(50%),。,,当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在这一系列试验中出现的,频率,。设以n代

5、表试验的总次数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的,频率,为,,与机率计算公式(3.1) 完全相同，意义上有所不同。,,区别:,,机率,是随机事件在客观上实际出现的,可能程度,，是事件固有的客观性质，不随人们试验的情况和次数而变动，是一个常数,是理论值；,,频率,是利用有限的试验结果推求出的一个,经验值,，将随试验次数的多少而变动，,当试验次数达到无限多时，才能稳定到一个常数即等于理论值—机率,。,,三、重现期,,指,等于和大于,(或,等于和小于,)某水文特征值,平均多少年可能出现一次,，所以又称呼它为多少年一遇。频率与重现期的关系相当于,频率与周期,的关系。,,由于水文特征值并不具备严格

6、的周期循环，重现期仅是在很长年代里的,平均情况,，也就是说平均多少年出现一次，绝不能说，正好多少年一定出现一次。重现期并非周期，对于洪水和枯水重现期有不同的表示方法 。,,,洪水,:它们的频率P<50%，重现期T就是频率P的倒数，即,,,,,枯水,: 它们的频率＞50％，重现期为,,例如频率为2％的洪水流量,其重现期 为,,,这就是说,等于和大于,该值流量的重现期是平均50年一遇;又例如枯水流量P＝90％，则,,,这就是说,等于和小于,该值流量的重现期是平均10年一遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能正确。也就是在,很长的年代,里，出现时间上间隔的平均年数，不是固定周期。百年一遇的洪

7、水流量并不意味着每一百年正好出现一次，实际上，也许会出现几次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还可从表3-1所列的关系加以说明．,,,,四、总体和样本,,研究对象的,全体,，即整个情况的全部系列，称之为,总体,．,,总体中随机变量的项数，称之为总体的,容量,。,,由观测所得总体的一部分称之为,样本,。,,同一个总体可以划分为许多个样本。如果样本是随意抽取的，不带任何主观成分，这种样本称之为,随机样本,。,,样本中所包含随机变量的,项数,，称之为,样本的容量,,,水文计算中，由于水文现象的总体是,无限,的，根本无法取得，所以只能利用实测水文

8、资料这一部分组成的,随机样本,来推断总体的规律．如果水文资料具有足够的,代表性,，则在一定程度上是可以反映总体的特征的，所以水文资料的,代表性,这一点很重要。不过利用样本来推断总体的规律性，由于存在误差，所以反映的并不是总体的客观实际情况，这种误差在数理统计中称之为,抽样误差,。,,水文统计推算具有规定频率的设计流量所常用的方法是,年最大值法,(或年最小法-枯水流量和水位),。即从水文站每年实测流量资料中，选取一个洪水成因相同的最大洪峰流量值，则n年的实测资料，可以选取n个流量值，组成有,n,项容量的,随机样本,，从而推断总体的规律，解决水文计算中一系列的复杂问题．,,,水文现象都是复杂的随机

9、事件，只能用实测资料计算其,频率,，,近似地估计其机率,．同样，也只能用水文系列的频率分布近似地估计其,机率分布(概率分布),。,,频率分布能近似地显示随机变量的统计规律，可据此推断复杂随机事件的客观规律性。,,例如某站,57,年实测,年最大流量值,将其由,大到小排列,，以每200m,3,/s流量为一级差分组，先统计每一组出现的次数。根据各组出现次数，计算其相应的组频率也即,区间频率,、,频率密度,和,累积频率,。如表3－2所示．,§3-2,,随机变量的频率分布,,,按表中所列数值点可绘成流量与频率密度的直方图（见下页）,,频率密度,是频率在区间内的平均值。,画图,画图,,,曲线如图3－1中虚

10、线所示，称之为,频率密度曲线,，简称密度曲线，它系一条中间高两侧低的倾斜,铃形曲线,，显示出年最大流量的统计规律。即特别大和特别小的流量出现次数都很少，频率密度小；接近平均值的流量出现次数较多，频率密度大，表示了水文资料的统计规律。,,,某水文站一年的日平均水位,方框图,累计频率曲线,,概率分布,概率密度函数,同理:,,§3-3 经验频率曲线,在工程设计中．往往需要知道某一指定频率,P,的水文特征值是多少，一般就采用,频率分布,曲线。,,利用,实测资料点绘,的频率分布曲线称之为,经验频率曲线,。,,当实测资料足够多时，经验频率曲线可近似地作为总体的频率分布曲线，,用内插或外延推求相应的水文特

11、征值。,,一、连序系列经验频率计算,,根据选取的各年最大洪峰流量值(包括插补延长资料)，按其,大小顺序排位,．这种系列称之为连序系列．在数理统计中又称之为简单样本．设系列共n项，按由大到小的次序排列为： ，.等于和大于数值出现的次数为1．其频率为 ，等于和大于的数值出现的次数为2，其频率为 ，；等于和大于,,的数值出现的次数为m．其频率为 ，所以各随机变量的经验频率可按下列简单公式计算：,,公式(3-5)只有在掌握的n项资料就是总体的情况下，计算的结果才属合理．对于实测水文资料，都是有限的年数，以此作为样本资料推求总体，此公式就显然不

12、合理。例如有10年资科(n＝10)．其最末一项m＝10的经验频率,,这就意味着再也不会出现比这个实测最小值更小的数值了。这显然不合理．因为随着观测年数的增多，总会有更小的数值出现．因此，(3—5)公式需要修正，,修正,后的公式如下：,,,,上式称之为,数学期望公式,。,,二、不连序系列经验频率计算,若系列中，包含有历史洪水考证的资料，则实测或调查到的特大洪水可在较长时间内进行排位，这种系列称之为不连序系列(即特大洪水与一般洪水之间有,空缺项,)，是—个不完全样本．由于对历史洪水的调查考证是一项必须进行的工作．因之．常见的多为不连序系列．不连序系列的频率可按下列方法之一进行估算：,,第一法,：,

13、将实测系列和特大值看作是各自从总体中独立抽取的几个随机连序系列，分别,在各自系列中进行排位,，其中实测系列的各项经验频率仍按式(3－3)估算。而调查期N年中的前a项特大洪水(无遗漏时)，序位为M的经验频率,,为：,,,式中：M为历史特大洪水按递减次序排位的序位；,N系调查考证期。,,第二法：,将实测系列和特大值共同,组成一个不连序系列,作为代表总体的样本，实测系列为其中的组成部分．从最远的调查考证年份迄今的时期内进行统一排位．从而估算其经验频率。设在调查期N年中，调查到为首的有a个特大洪水．,其中,l,个发生在年实测与插补系列之内,则N年中的a项特大洪水的经验频率仍用公式(3-9)估算。实测系

14、列中其余的项，因为,抽样是在总体内小于末位特大洪水的条件下进行的，其经验频率估算公式为,,,式中：为实测系列第(,m,l,),项的经验频率；a是在N年中连续顺位的特大洪水项数(包括发生在实测系列内的项)；,n,l,为实测洪水系列项数；,l,是实测洪水系列中抽出作特大值处理的洪水项数；,m,l,为实测洪水的序位；其余符号意义同前．,,[算例3—1],,某站自1935年至1972年的38年中，有,5,年因战争缺测，其中，以1949年洪水为最大，1954年次之．通过历史洪水调查得知，自1903年以来70年中为首的三个大水年是1921、1949、1903年，并断定不会遗漏比1903年更大的洪水．在19

15、03年以前，从文献考证比1921年更大的洪水有两次，其大小次序为,1867、1832、1921,，其中不会遗漏比1921年更大的洪水，小于1921年的洪水则无法查清．按第一法求经验频率．,,解：,根据上述资料情况．可按三个连序系列来计算。,,甲,、1935—1972年(,32,)中．由于与洪水大小天关的原因而缺测的除外，余下的33年资料可看作一个随机样本，系列各项按大小排位后，各项经验频率按公式(3－6)估算。n＝32，m＝1、2、……33。,,乙,、1903～1972年(,70,)系列．只有为首的1921，1949，1903年三次洪水，按公式（3－9）估算．N＝70,,,M=1、2、3。,,

16、丙,、,1832～1972,年(,141,)系列，只计算为首的1867、1932、1921年三次洪水，按公式(3－9)估算．N=141,,,,,,。,,上述计算中，1949年洪水，在“甲”系列中同时也在“乙”系列之中，应按“乙”系列计算(时期较长)．1921年洪水，在“乙”系列中同时也在“丙”系列中，应按“丙”系列计算．求得的各年份经验频率如表3－3所示.,,,小结：,,关于上述两种估算方法的适用条件，一般说来，如实测资料代表性较好时．可采用第一法．如果调查和考证历史洪水资料较为可靠对为首的几项大洪水水无遗漏时，可采用第二法．此外，也可参考经验频率点据的适线情况加以选用．,,,[算例3—2,]

17、用(算例3—1)的资料按第二法进行估算。,,1．1832年以来的首三次洪水．按大小次序为1867、1832、1921，各年洪水的经验频率按公式(3—9)估算，式中N＝141(即1972－1832十1＝141)，,M=1、2、3,,P=0.7、1.41、2.11％。,,2．上项中末位特大洪水的经验频率为2．11％，故1903年以来首三次洪水，即1921、1949、19031年的经验频率估算可如下进行．第一位1921年已列入上项中估算．第二、三位洪水的经验频率按公式(3—10)进行估算。式中,,l,＝1,．故第二位洪水的经验频率,,,,第三位洪水的经验频率 为：,,,,3.以上第2项中末

18、位洪水的经验频率为0.0491，(1935—1972)年的各项实测洪水的经验频率是小于这末位洪水的条件下进行估其的。实测各项按大小排位．除1949年已列入第2项估算外，其余1954年等各项(＝2、3、…33)的经验频率按下式估算：,,,,求得各年经验频率结果如表3－4,,,,三、经验频率曲线绘制,,,(一)点绘曲线,,经验频率曲线点绘步骤如下：,,1．将河流实测到的多年(有限年代)年最大流量(即样本)．按从大到小顺序排列，编上序号,,(包含历史洪水资科)．,,2．按经验频率计算公式估算出各项流量相应的经验频率．,,3．以流量为纵坐标，以经验额率(一般用累积经验频率为横坐标．点绘出各经验频率点据

19、。,,4．根据经验频率点据的分布趋势，目估绘出一条平滑曲线，这条曲线就是经验频率曲线．,,(二)机率格纸,,在普通直角坐标方格纸上，点绘经验频率曲线所示曲线呈,S,形(累计),．曲线上部急剧上升和下部急趋下降，使曲线外延找稀疏频率流量时,任意性很大;而曲线外延值正是设计需要的重要数据,。,为了改善曲线外延的条件减少误差，应使用海森机率格纸．,,海森机率格纸的主要特点是使,正态分布系列在这种图纸上接近于一条直线,，其横坐标表示频率．坐标系,中间密集两侧渐疏的不均匀分格,，可按表3－5所列资科绘制；其纵坐标表示随机变量，一般可采用等分格见图3－3．必要时也可采用普通对数分格见图3－4。,,如曲线两

20、端很陡．则可用普通对数分格的一种，使曲线上端平缓些便于外延；否则可用等分格的一种．,,,,鳌山湾历时潮位累积频率曲线,,高潮位频率分析,,,§3-4 统计参数,水文现象虽有共同的统计规律，但由于随机变量取值的不同，其频率的密度曲线和分布曲线具有各种不同的形态,有对称的,、有不对称的、有分布比较集的、有分布比较分散的。,,在水文统计法中,这种形态特征可用几个具体数值来反映。这些具体数值称之为统计参数，有,均值,、,变异系数(离差系数),和,偏差系数,，现说明如下。,,一、统计参数的特性,,(一)均值,,系列中随机变量的算术平均值，称之为均值，以x表示。它说明系列的,平均,情况，表示系列总水平

21、的高低，作为系列间数值大小的比较标准，数理统计法中称之为,数学期望值,。,,设一系列为 ，其均值计算公式为,,,,,例如南京的年降水量多年平均值为970mm，北京为650mm，说明南京降水多于北京。这就是用均值反映比较出来的，所以均值是水文现象的一个重要特征值。,,当年变量的出现次数不相同，X,1,出现P,1,次，X,2,出现P,2,次，X,n,出现P,n,次，其中,,则各变量对平均数的影响不同，均值为系列中随机变量的加权平均数，即,,,,(二)变异系数(离差系数),,变异系数又名离差系数，以表示．它说明系列中各随机变量分布在均值两侧的离散程度。即以均值为中心来进行比

22、较。系列中某与均值之差．称为离均差，简称离差．系列中各项离差的总和由于正负号互相抵消必然等于零，,,,即因此采用离差的平方的平均数即,,来说明系列的离散程度．,,为了保持原有单位，取其开方根作为鉴定系列离散程度的参数。称之为均方差,,用下式表示:,,,上式仅能用于,总体,或用在n甚大时，当系列项数短少(样本)．就应用下列修正公式来计算.,,,,均方差能反映均值相同的各个系列的离散程度，但不能比较均值不同的系列的离散程度．一般都采用均方差与均值的比值(即相对量)来作比较．这个比值即为变异系数，为一无因次的系数，算式为,,式中 -一模比系数。,,由于根号内是平方值．因此,,因,,故,,因

23、而公式(3—14)又可写为,,,值大时，离散程度大．在水文现象中如对洪峰流量来说， 值大说明河流中洪水在年际间变化大．我国暴雨径流的 值分布，大致是山区河流大于平原河流；北方河流大于南方河流；流域面积小的河流大于流域面积大的河流；同一条河流上游大于下游．我国河流洪峰流量 值大多在0.2～1.5之间。,,,(三)偏差系数,,变异系数 只能反映系列的离散程度，但不能反映系列中大于均值的变量出现的次数多，还是小于均值的变量出现的次数多。偏差系数正是可以表明这种对比情况的一个特征值，它又名偏态系数，以 展示．也就是说它是衡量一个系列在均值两侧是否对称或不对称（

24、偏态）程度的一个参数。,,测量偏度：是用离差的三次方的总和即,,离差三次方以后，大的更大，符号不会变．离差三次方以后，大的更大，符号不会变．即,,不对称分布时有两种情况．一种是,,正值立方占优势．称为正偏分布；另一种为,,,负值立方占优势，称为负偏分布,。,,偏差系数的计算公式为,,,因为， ，并引入模比系数 ，上式可化为,,,,由样本估算总体偏差系数时．需将上式乘以修正系数 ： ，,,,算式为 ，,,,,说明：,利用上式由样本估算总体的,C,S,,值时。必须有百年以

25、上的资料，才能获得较满意的结果。实际上资料往往没有这么多，因此，在实际工作中并不用上式计算 ，而是采用 为 某一倍比的数值．例如 ， ，再通过配线加以确定。,,水文现象中，一般出现大于均值的次数少但离差值大．出现小于均值的次数多离差值小，故都属于正偏。例如大洪水出现的机会总比中小洪水出现的机会少，故 。,,【算例3—3】设有一系列，300 200 185 165 150,,解 ： 均值,,,,均方差,,,,,,偏差系数,,,,大于均值200出现的变量只有一个，所以次数少，但离差值大；

26、小于均值出现的变量有三个，所以次数多，但离差值都较小，是属于正偏．计算结果与上述相符。,,均值 所对应的频率为,,均值所对应的频率小于50％是 ，频率曲率的一个重要特征。,,,,二．统计参数与频率密度曲线的关系,,均值的影响,,若 及 值不变，则密度曲线的形状不变，密度曲线的位置将随的变化沿轴移动，平移的距离就等于两个均值之差．如下图所示．,,变异系数的影响,：,,若 及 值不变， 值愈大表示分布愈离散，曲线就愈显得矮而胖； 值愈小表示分布愈集中．曲线就显得高而瘦； 值等于零时．将成为一条垂直于轴的垂线．如图3－6所示。,,无负值．,,

27、偏差系数的影响：,,若 及 值不变， >0时为正偏，曲线的偏左，,,值愈大，峰愈向左偏 . 时为负偏．曲线的峰偏右， 值愈小，峰愈向右偏； 两侧对称，曲线的峰居中间．,,例如年最大流量系列的 越是大于零，属正偏．,,,,,,,,,,三、统计参数与频率分布曲线的关系,,均值的影响,,均值影响曲线位置的高低．若 及 值不变，则 值愈大．分布曲线位置愈高，反之愈低。纵坐标与 的大小成正比 。如下页图所示．,,,,,,,,变异系数的影响,,值影响曲线的陡坦程度。 愈大，分布曲线愈陡；由于 无负值，曲线总是左高右低

28、；,当 ，曲线将成为一条水平横线,，即纵坐标 ，,如图3－9所示．,,,,,,偏差系数的影响：,,值影响曲线曲率的大小．若 及 值不变，在 时， 值愈大，曲线上端愈陡．下端愈平缓; 时 ,,曲线下端趋向水平；,=0时，为正态分布,，分布曲线在海森机率格纸上将成为一条直线；,,,<0时，随 值的减小，曲线上端趋平，下端变陡，年最大流量系列 无负值，曲线总是上端较陡下端较平缓。如图3－10所示,,,偏差系数的影响：,,,值影响曲线曲率的大小．,,若 及 值不变，,,在 时，

29、 值愈大，曲线上,,端愈陡．下端愈平缓； 时，,,曲线下端趋向水平；,,时，为正态分布，分布曲线在海森机率格纸上将成为一条直线；,,时， 随值的减小，曲线上端趋平，下端变陡，,年最大流量系列 无负值，曲线总是上端较陡下端较平缓。 见,下图。,,统计参数的误差计算：,,统计参数的误差来源有二，,,一是水文资料的观测、记录,,和计算所造成的误差；,,二是样本代替总体所产生的,,误差。,,,水文现象是无限系列．所以,,从总体中随机抽样取得的是有限,,的样本，不能完全代表总体，误差必然会产生．这样由总体中抽样引起的误差称之为,抽样误差,。,,当总体为P—III型曲线分

30、布时，从误差理论得出各种样本统计参数的均方误的计算公式如下：,,,频率计算是用有限样本估算总体的参数，必然存在误差。,,统计参数的误差与所选的频率曲线线型有关。当总体分布为PⅢ型，对于n年连序序列，用矩法估计参数时，样本的均方误的计算公式为,：,,在实际工作中，均方差是在选配频率曲线时作为修正统计参数的参考数值，一般是将均方差记在计算统计参数值之后．例如将样本均值写作 ，其所以取正负号，因误差可正可负不能确定．不能说某一具体样本的均值，抽样误差就是 ，更不能说总体的真均值可以由此加减而得．,,§3-5 “理论”频率曲线,按实测资料点绘经验频率曲线，并用经验频率,曲线

31、外延,推求稀遇频率的流量值，存在着,任意性,和,精确度差,的缺点,因此在水文计算工作中，常用数理统计中符合水文现象发生规律的,某些曲线作为模型,．使外延有了凭借。这些曲线并不具备水文上的理论。但在水文计算中广泛加以应用，称之为“理论”频率曲线。,,一、频率曲线线型,,我国长期采用皮尔逊III型曲线(简称,P—III,型曲线)作为洪水特征的频率曲线，它是一种概括性较强，适应性较大的频率分布线型。由于我国幅员辽阔．水文条件复杂，流域特征各异．洪峰流量多变且呈随机变化规律．所以如采用单一统一频率分布线型来描述各地资料出现的各种情况，还不够完善。因此在特殊情况的也可以来用与经验频率点据相配合较好的其他

32、线型．如,克里茨基与闵凯里,曲线(简称,K—M曲线,)和,耿贝尔曲线,等。,,,(一)P—III型曲线,,,P—III型曲线是皮尔逊13种类型曲线中的一种，皮尔逊根据很多的经验资料经过统计整理后都有一些共同的特性，即中间某组出现次数最多，两边出现次数逐渐减少．其中第III型曲线是一条一瑞有限一端无限的侗态曲线；正偏态时，一般为左端有限．右瑞无限的偏斜铃形曲线．基本上符合水文现象的变化规律．曲线公式为,,,,（3.23）,,式中：,,—众值处的纵坐标．众值是系列,,中出现次数最多的一个随机变量；,,d­—偏距，众值与均值之间的距离；,,a—曲线起点与众值间的距离；,,e—自然对数之底。,,,(3

33、－23)式中 、a、d等参数经过适当演算后．都可用统计学中常用的变异系数和偏差系数等参数来表示．即,,,,,,,,,,,根据以上各式可以说明．水文资料系列中只需要求得均值 、 、和 三个参数值。P—III型曲线的形式就可以完全肯定了．,,,,,如将图3－11中,纵坐标轴移至资科系列数值为零,的位置．如图3－12所示．设曲线始点与原点的距离为 由于一般的水文资料中(如流量等)，不可能出现负值，因此， 必是一个大于或等于零的数值．由公式(3—25)及(3—26)得知,,,所以,,,当 时，则 ，这个关系称为 的下限；如

34、果 ,则 为负值，,就不符一般水文现象的规律．,但当水位标高零点位置取得较高时，则会出现负的水位． 就要,小于零.,就要小于 但这仅是水位标高位置取位问题．不涉及到水文自然现象。,,在,实测资料中的最小值．一定是大于长期资料内的最小值.,>= 即,,,,,所以，在水文物理性质上．符合P—III型曲线的,,值必须在下列范围之内，即,,当 时，从公式(3-25)中得知, 从图3-12可看出，当 时，曲线就不会呈铃形而为“乙”字形，众值趋于无穷大，这也不符合水文现象的一般规律。因此，只

35、有 才能应用P—III型曲线．但在实际工作中，由于 很难确定．一般都借助于经验频率曲线位置来估定．故都没有深究上述这些情况．,,在水文统计法中，所需求的就是计算指定为某一频率P所对应的变量 ,或其一变量x的频率这就需要借用P—III型曲线. P—III型曲经公式经过一定的演算后用统计参数来表达，就可应用这个公式推求频率曲线纵坐标 的值．公式为:,,,水文计算中，一般需要求出随机变量取值大于等于x,p,的频率P （x>xp)，也就是通过对密度曲线进行积分，即:,,,,直接由公式计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :,,,皮尔逊Ⅲ型

36、频率曲线的离均系数,,值表（摘录）,,P（%）Cs,0.1,1,5,20,50,80,95,99,99.9,0.0,3.09,2.33,1.64,0.84,0.00,-0.84,-1.64,-2.33,-3.09,0.1,3.23,1.67,2.0,0.84,-0.02,-0.85,-1.62,-2.25,-2.95,0.2,3.38,2.47,1.70,0.83,-0.03,-0.85,-1.59,-2.18,-2.81,0.3,3.52,2.54,1.73,0.82,-0.05,-0.85,-1.55,-2.10,-2.67,0.4,3.67,2.62,1.75,0.82,-0.07,-0

37、.85,-1.52,-2.03,-2.54,0.5,3.81,2.68,1.77,0.81,-0.08,-0.85,-1.40,-1.96,-2.40,0.6,3.96,2.75,1.80,0.80,-0.10,-0.85,-1.45,-1.88,-2.27,0.7,4.10,2.82,1.82,0.79,-0.12,-0.85,-1.42,-1.81,-2.14,0.8,4.24,2.89,1.84,0.78,-0.13,-0.85,-1.38,-1.74,-2.02,0.9,4.39,2.96,1.86,0.77,-0.15,-0.85,-1.35,-1.66,-1.90,,4.53,3.

38、02,1.88,0.76,-0.16,-0.85,-1.32,-1.59,-1.79,,式中：,,——频率为P的随机变量；,,——离均系数，是频率P和偏差系数 的 函数， 可由附录一附表1－2查取；,,——模比系数，,,,（二）K－M曲线,,当 时，P－III型曲线下端出现负值；当 时，曲线就不会呈铃形而为“乙”字形都不符合水文现象的规律，已如前述．克里茨基与闵凯里为了要修正这两个缺点．,,即要防止负值的出现和适应于 值较大的情况，提出了用 的P—III型曲线为转换基础，修改制定成K—

39、M曲线．上述p—III型曲线可用另一形式写成。,,,式中： 函数,,令新旧变数服从下列关系：,,,,式中 ： a﹑b----常数,,K—M频率曲线方程为,,或写成,,,,(3.28),,x的变化范围为0～,∞,,用数理统计中的方法可求得,,,,因此，从实测资料中求得,﹑,,后则可按第2式和第三式,,用试算法求a、b，,,随之用第一式可决定a 值，,,式(3－28)K—M曲线形式也随之可确定下来．,,,,注：试算法较烦，已制成表格，使用时根据 的比值、 和规定的P值，查得模比系数 ,并根据式,,,求出,,值,

40、,,(三)耿贝尔曲线,,,耿贝尔曲线是根据极值定理导出的．当有n年年最大流量值就有n个最大项，组成一个分布，因最大项是极值．因此其分布称为,极值分布,．理论上极值分布有三种，耿贝尔应用第I型极值分布来分析洪水频率。按第I型极值分布律对于年最大流量值而言，大于或等于某一给定变量x值的频率为 (3.32),,式中变量及参数：,,,（3.33）,,（3.34）,,,（3.35） （3.36）,,,,（3.37）

41、 （3.38）,,,,,,（3.39）,,式(3.32)可改写成 (3.40),,从式(3.40)可见．y仅与频率P有关．因此 及,,也仅与P关，也就是项数n的函数．所以当n确定后，耿贝尔y由 公式列出了 及 关系值见附录－之8附表1－20．,,由式(3.33)和式(3.40)得 （3.41）,,将式(3.34)和式(3.35)代入式(3—41)得,,,,,则

42、 （3.42）,,,上式称为第I型极值分析样 。,,,二、“理论”频率曲线绘制,,“理论”频率曲线绘制是以实测水文资料的经验频率点据为依据，选配一条具有一定线型的‘理论”频率曲线．使该曲线能最佳地反映经验频率点群的趋势，也就是说必须与实测资料配合得最好．配线的具体方法有多种，目前在工程设计中常用的是适线法．适线法的要点是：,,1. 根据实测资料计算经验频率．在机率格纸上点出经验频率点据．绘出经验频率曲线．,,2．选定频率曲线线型，估算统计参数 ﹑ 和 ，在绘有经验频率曲线的同一机率格纸上绘出“理论”频率曲线．,,3．检查“理论”频率曲线与经验频率点群的符

43、合程度，如符合较差，应适当调整统计参数值．,,曲线上端偏左而下端偏低时．可适当增大 值。曲线上端偏左而下端偏高时，可适当增大 值；曲线普遍偏低时，可适当增大 值。调整时要注意照顾全部点据，不要机械地通过最大点据．,,在桥渡水文计算中．主要是利用曲线上端部分的外延来推求频率较小的变量，故更要注意曲线的上瑞部分，直至曲线与经验频率点群符合到最佳为止．,,案例,,推求设计洪峰、洪量,,（1）,在频率格纸上点绘经验点据；,,（2）,选定频率分布线型（一般选用PⅢ型）；,,（3）,参数估计,x,、,Cv、 Cs；,,（4）,根据,x,、,Cv、Cs，,查,附表1,或,附表2,，计

44、算,x,p,值，以,x,p,为纵坐标，,p,为横坐标，即可得到频率曲线；,,（5）,根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线；,,（6）,求指定频率的水文变量设计值。,,,,取,Cv,=0.7，令,Cs,=3,Cv,。,,查附表2，得不同频率,P,的,Kp,值。则,Qp,=,Kp,×,Q,,或查附表1，,得不同频率,P,的,Φ,值，用式（7-44）计算,Qp。,,,,,,,求200年一遇的洪峰流量？,,,∵ P=0.5%，Cv=0.8，Cs=3.5Cv=2.8,,查附表2，得Kp=4.87,,∴Q,0.5%,=4.87 ×587=2859m,3,/s,

45、,,或,,查附表1，得Φ=4.84，代入,,有 Q,0.5%,=587×（1+0.8×4.84）= 2859m,3,/s,,,思考题及习题,,1 什么叫做事件?必然事件、不可能事件有何不同?,,2何谓频率？何为概率？二者关系如何？,,3何谓频率分布?何为概率分布?水文分布是要求说明什么问题?,,4 什么叫做随机变量？试列举出水文现象中哪些是属于随机变量?,,5何谓总体?何谓样本？水文样本是什么性质的样本?用水文样本去估计水文总体的规律对样本有哪些要求?,,6 水文系列的分布可用哪几个参数表示其分布特征?试述其物理意义并写出常用的计算公式。,,7 若Q1%＝3800m3／s，Q90%＝500m3／s。试根据其频率P求出重现期？，并说明它们的含义。,,8 经验频率曲线的作用是什么?为什么要配以“理论”频率曲线?并分别说明用皮尔逊Ⅲ型曲线、克一门曲线、耿贝尔曲线绘制“理论”频率曲线的方法步骤。,,9 什么叫相关关系?试述相关系数的意义。,,10,我国某河，有甲、乙两相邻水文站，甲站有24年流量观测资料，乙站仅有14年的流量资料，试应用甲站资料延长乙站系列长度．并用延长后的乙站资料配合一条适合的“理论”频率曲线。,,,