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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北京大学博士学位论文Weyl变换,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北京大学博士学位论文Weyl变换,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 积分变换法,4.1,傅立叶变换的概念和性质,4.2,傅立叶变换的应用,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,4.4,拉普拉斯变换的应用,定义
2、,：假设,I,是数集,(,实数或者复数,),，,K,(,s,x,),为,上的函数,这里,a,b,为任意区间。如果,f,(,x,),在区间,a,b,有定义,且,K,(,s,x,),f,(,x,),为,a,b,上可积函数,则含参变量积分,定义了一个从,f,(,x,),到,F,(,s,),的变换,称为,积分变换,K,(,s,x,),为变换的,核,。,常见的积分变换有,傅立叶变换,和,拉普拉斯变换。,4.1,傅立叶变换的概念和性质,傅立叶变换,记作：,假设,f,(,x,),在 上有定义，在 上绝对可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小值，且至多有有限个,第一类不连续点,，则函数,称为,f(t),的
3、傅立叶变换。,即是区间,上，核为,的积分变换,4.1,傅立叶变换的概念和性质,傅立叶逆变换,定义为：,记作：,当,f,(,x,),满足上述条件时，有,傅立叶积分定理：,t,是连续点,t,是第一类间断点,特别的，当,f,(,x,),连续时,4.1,傅立叶变换的概念和性质,傅立叶变换具有如下性质,:,1),线性性质：,设,f,g,是绝对可积的函数，为数,2),微分运算性质,4.1,傅立叶变换的概念和性质,3),对傅立叶变换后的函数求导数,4),卷积性质,设,f,(,x,),，,g(x),在 上绝对可积,定义卷积：,4.1,傅立叶变换的概念和性质,5),乘积运算,傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建
4、立了一个对偶关系。,6),平移性质,4.1,傅立叶变换的概念和性质,思考：,对于,u,(,x,y,),若以,y,为参数,对,x,作傅立叶变换,由傅立叶变换的,线性性质,同理,是参数,4.1,傅立叶变换的概念和性质,4.2,傅立叶变换的应用,例,用积分变换法解方程：,解：,由自变量的取值范围，对,x,进行傅立叶变换，设,那么方程转变为,4.2,傅立叶变换的应用,解得,为了求出原方程的解,下面对,关于 进行,傅立叶逆变换,.,t,是参数,！,4.2,傅立叶变换的应用,例,用积分变换法解方程：,解：作关于 的傅立叶变换。设,方程变为,4.2,傅立叶变换的应用,可解得,而,则,上式两边关于,x,作逆傅
5、立叶变换，得,4.2,傅立叶变换的应用,4.2,傅立叶变换的应用,例 用积分变换法求解初值问题：,解：作关于,x,的傅立叶变换。设,t,是参数,4.2,傅立叶变换的应用,于是原方程变为,满足初始条件,4.2,傅立叶变换的应用,的通解为,由初始条件,是参数,解常微分方程：,4.2,傅立叶变换的应用,取傅立叶逆变换，得,其中：,注意到,而,4.2,傅立叶变换的应用,所以 取傅立叶逆变换，得,t,是参数,4.2,傅立叶变换的应用,所以 取傅立叶逆变换，得,t,是参数,4.2,傅立叶变换的应用,4.3,拉普拉斯变换的 概念和性质,拉普拉斯变换,傅立叶变换要求函数,f,在 有定义并且绝对,可积。很多常见
6、函数，如常函数，多项式，三角,函数等都不满足条件。以时间,t,为自变量的函数,在区间 也无意义。这些都限制了傅立叶变,换的应用。为此引入,拉普拉斯,(Laplace),变换,。,拉普拉斯变换的积分核为,（单边）拉普拉斯变换：,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,在,复参数,p,的某个区域内收敛。,（单边）拉普拉斯变换对函数,f(t),的要求：,定理,：若函数,f(t),满足下列条件：,在任意有限区间上分段连续,的增长速度不超过一个指数函数，即,则：的,Laplace,变换在半平面 存在。,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,基本性质：,1),基本变换,:,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,2),线
7、性性质,3),微分性质,若 则,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,4),积分性质,6),位移性质,7),延迟性质,5),对拉普拉斯变换求导,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,8),卷积性质,应用,：拉普拉斯变换既适用于常微分方程,(,如,P38,),也适用于偏微分方程。,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,例,解常微分方程的初值问题,:,解,：对,t,进行拉普拉斯变换,设,则原方程变为,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,对,p,进行拉普拉斯逆变换,考虑到,有,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,例 设 ，求解常微分方程的初值问题,:,解 对 进行拉普拉斯变换,设,则,4.3,拉普拉斯变换的概念和性
8、质,于是原方程变为,由上式得,:,对 进行拉普拉斯逆变换,得,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,拉普拉斯变换的反演公式：,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,利用留数基本定理，可得,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,4.3,拉普拉斯变换的概念和性质,4.4,拉普拉斯变换的应用,例,：设,x,0,y,0,求解定解问题,解,：对,y,进行拉普拉斯变换。设,则方程变为：,4.4,拉普拉斯变换的应用,而,变为,解,ODE:,对,p,取拉普拉斯逆变换，得,4.4,拉普拉斯变换的应用,解 问题归结为求解下列定解问题,:,例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为
9、,0,，求杆上温度分布规律。,对,t,进行拉普拉斯变换,怎么变换？,为什么？,知道 的值了,4.4,拉普拉斯变换的应用,分析,由于 ，故不能用傅立叶变换，而要用拉普拉斯变换。如果对 进行拉普拉斯变换，由于方程中出现了,在变换中需要知道 以及 的值；如果对,进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出现了 ，在变换中需要知道 。因此，我们对 进行拉普拉斯变换,。,4.4,拉普拉斯变换的应用,对,t,进行拉普拉斯变换，设,于是方程变为,这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为,二阶方程，但是仅有一个边界条件！需要引入自然边界条件,.,4.1,傅立叶变换的概念和性质,4.4,拉普拉斯变换的应用,考虑到具体问题
10、的物理意义：,u,(,x,t,),表示温度，,从而,D=0,.,再由边值条件 可知，,C,=,F,(,p,),.,为求出,u,(,x,t,),在上式中对,p,进行拉普拉斯逆变换,4.4,拉普拉斯变换的应用,由拉普拉斯变换表知，,4.4,拉普拉斯变换的应用,4.4,拉普拉斯变换的应用,积分变换法求解定解问题的原则和步骤：,1),选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是 ，拉普拉斯变换要求取值范围是,3),注意定解条件的形式。假如对,x,进行拉普拉斯,变换，而原方程是关于为,x,的,k,阶方程，则定解,条件中必须出现,2,）傅立叶变换要求原象函数在,R,上绝对可积,许多函数不能作傅立叶变换,数学物理方程,+,定解条件,解,常微分方程,+,定解条件,解,积分变换,逆变换,选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数含参变量的常微分方程；,2,）对部分定解条件取相应的积分变换,导出象函数方程的定解条件；,3,）解关于象函数的定解问题,求出象函数；,4,）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解。,
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