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1、单击此处编辑母版文本样式,,第一章 导数及其应用,第一章 导数及其应用,本 章 概 览,,导数是高等数学的基础，是微积分的核心概念之一．它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、增长率以及用料最省、利润最大等实际问题的最有力的工具．定积分也是微积分的核心概念之一，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变力做功等都可以归结为定积分的问题．,本章中，利用丰富的背景和大量实例，学习导数和定积分的基本概念与思想方法；,,通过导数研究了函数的性质(单调性、极值和最值)，解决了生活中的最优化问题等实践活动，并通过应用定积分解
2、决一些简单的几何和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会了导数与定积分之间的内在联系．,本章的重点有三个：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能运用导数公式、运算法则求导数；二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大(小)值和最大(小)值；三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点有两个：一是对导数概念的理解、导数方法的应用；二是对定积分的定义、思想方法的认识.,～ 变化率问题 导数的概念,1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．,,2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．,,3.体会导数的思想及其内
3、涵，并能运用.,1.平均变化率,3．函数,f,(,x,)在,x,＝,x,0,处的导数,自我校对：,,,,,,,,,,1.函数,y,＝,f,(,x,)的自变量,x,由,x,0,改变到,x,0,＋,Δx,时，函数值的改变量,Δy,为 ( ),,A．,f,(,x,0,＋,Δx,) B．,f,(,x,0,)＋,Δx,,C．,f,(,x,0,)·,Δx,D．,f,(,x,0,＋,Δx,)－,f,(,x,0,),,解析：,分别写出,x,＝,x,0,和,x,＝,x,0,＋,Δx,对应的函数值,f,(,x,0,)和,f,(,x,0,＋,Δx,)，两式相减，就得到了函数值的改变量,Δy,＝,f,
4、(,x,0,＋,Δx,)－,f,(,x,0,)，故应选D.,,答案：,D,2．若一质点按规律,s,＝8＋,t,2,运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( ),,A．4 B．4.1,,C．0.41 D．－1.1,,,,,答案：,B,3．函数,f,(,x,)在,x,＝,x,0,处的导数可表示为 ( ),答案：,A,答案：,3－,Δx,5．求函数,y,＝,x,2,在点,x,＝1处的导数．,(1)函数,f,(,x,)在,x,1,，,x,2,处有定义；,,(2),x,2,是,x,1,附近的任意一点，即,Δx,＝,x,2,－,x,1,≠,0，但,Δx,可正可负；,,(3)
5、注意变量的对应，若,Δx,＝,x,2,－,x,1,，则,Δy,＝,f,(,x,2,)－,f,(,x,1,)，而不是,Δy,＝,f,(,x,1,)－,f,(,x,2,)；,,(4)平均变化率可正可负，也可为零．,2．根据导数的定义，求函数,y,＝,f,(,x,)在,x,0,处的导数的步骤,,(1)求函数的增量,Δy,＝,f,(,x,0,＋,Δx,)－,f,(,x,0,)；,3．对导数概念的理解,,某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义：,(3)若设,x,2,＝,x,1,＋,Δx,.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．,,[解],f,(,x,)＝2,x,2,＋3,x,－5，,,∴
6、,Δy,＝,f,(,x,1,＋,Δx,)－,f,(,x,1,),,＝2(,x,1,＋,Δx,),2,＋3(,x,1,＋,Δx,)－5－(2,×,x,＋3,×,x,1,－5),,＝2[(,Δx,),2,＋2,x,1,Δx,]＋3,Δx,,＝2(,Δx,),2,＋(4,x,1,＋3),Δx,.,(2)当,x,1,＝4，,Δx,＝0.1时，,Δy,＝2,×,0.1,2,＋(4,×,4＋3),×,0.1＝0.02＋1.9＝1.92，,[点拨],求函数,f,(,x,)的平均变化率的步骤是：,,(1)根据,x,1,和,x,2,值写出自变量的增量,Δx,；,,(2)由,Δy,＝,f,(,x,2,)－,f,(
7、,x,1,)＝,f,(,x,1,＋,Δx,)－,f,(,x,1,)计算函数增量；,例2,一质点的运动方程为,s,＝8－3,t,2,，其中,s,表示位移，,t,表示时间．,,(1)求质点在[1,1＋,Δt,]这段时间内的平均速度；,,(2)求质点在,t,＝1时的瞬时速度．,,,[分析],通常以某一具体函数为载体，利用求导的,“,三步曲,”,，进行计算．,[解],解法一：(导数定义法),,∴,f,′,(2)＝,y,′,|,x,＝2,＝－1.,,[点拨],根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法．,,,[解],解法一：(导数定义法),,,例4,设函数,f,(,x,)在点,x,0,处可导，试求下列
8、各极限的值．,[分析],给出某抽象函数在某点,x,0,处可导的条件，求另一抽象函数在某点,x,0,处的导数，或求另一抽象函数在某点,x,0,处的极限．,,,[点拨] 在导数的定义中，增量,Δx,的形式是多种多样的，但不论,Δx,选择哪种形式，,Δy,也必须选择与之相对应的形式．利用函数,f,(,x,)在,x,＝,x,0,处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．,[,答案],,2 －2,只有当函数在某点的左导数、右导数同时存在并且相等时，才能说函数在该点处的导数存在，即函数在该点可导．,[点拨],判断,f,(,x,)在,x,＝1处的左导数、右导数是否同时存在且相等．,
变化率问题导数的概念
