高中数学知识梳理与解题指要

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,高中数学知识梳理,,,与,解题指要,,二○○五年四月九日,,尤善培,,一、数学高考介绍,二、数学知识梳理,三、数学试题简析,四、数学解题指要,,,(’,99,全国,),向高为,H,的水瓶中注水，,,注满为止，如果注水量,V,与水深,h,的,,函数关系的图象如右图所示，那么,,水瓶的形状是（,,）,,一、高考数学命题的特点与要求,高考数学命题的特点,B,位置,↔,数值,,h,,H,V,V,0,,O,,f,(,,),= =,f,,(,,x,,)+,f,,( )=

2、1.,（2002,全国）已知函数,f,(,x,)=,,,则,,f,(,,1,,)+,f,(,,2,,)+,f,( )+,f,(,,3,,)+,f,( )+,f,(,,4,,)+,,,f,( )= .,结构特征,,高考数学是考查数学基础的考试,①基础知识,,②基本技能,,③基本数学思想方法,,ａ、数形结合（转换策略）,,ｂ、函数与方程（分析策略）,,ｃ、分类讨论（分解策略）,,ｄ、等价转换（分析策略）,,,①在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。,,②以能力立意命题，保障了高考突

3、出能力与学习 潜能考查的要求。,,③以能力立意命题拓展了命题思路。,,④以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自 然、新颖脱俗的试题。,,⑤以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。。,,⑥以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。,高考数学注重能力考查,,,（,’,2001,全国）,如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点,A,向结点,B,传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为,（ ）,°,°,°,°,°,°,°,°,

4、A,B,12,12,6,6,6,8,3,4,5,7,A. 26 B. 24 C. 20 D. 19,3+4+6+6=19,D,高考数学对难度和速度均有要求,,木 桶 原 理,,知识要求,,①了解,,②理解和掌握,,③灵活和综合运用,,能力要求,,①思维能力,,②运算能力,,③空间想像能力,,④实践能力,,⑤创新意识,,个性品质要求,,高考数学的要求,,二、高考数学知识梳理与复习,高考数学知识梳理,,平面向量,①理解向量的概念，掌握向量的几何表， 了解共线向量的概念。,②掌握向量的加法与减法。,③掌握实数与向量的积，理解两个向量 共线的充要条件。,,

5、,④了解平面向量的基本定理，理解平面向量 的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。,,⑤掌握平面向量的数量积及其几何意义，了 解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。,,⑥掌握平面两点间的距离公式，以及线段的 定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运 用、掌握平移公式。,,①理解集合、子集、补集、交集、并集的 概念。了解空集和全集的意义。了解属 于、包含、相等关系的意义。掌握有关 的术语和符号，并会用它们正确表示一 些简单的集合。,,②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的含义。理解四种命题及其相互关系，掌 握充分条件

6、、必要条件及充要条件的意 义。,,集合、简易逻辑,,函数,①了解映射的概念，理解函数的概念。,,②了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判,,断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。,,③了解反函数的概念及互为反函数的函数图 像间的关系，会求一些简单函数的反函数。,,④理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂 的运算性质。掌握指数函数的概念、图象 和性质。,,⑤理解对数的概念，掌握对数的运算性质， 掌握对数函数的概念、图像和性质。,,⑥能够运用函数的性质、指数函数和对数函 数的性质解决某些简单的实际问题。,,,①理解不等式的性质及其证明。,,②掌握两个（不扩展到三个）正数

7、的算术 平均数不小于它们的几何平均数的定 理，并会简单的应用。,,③掌握分析法、综合法、比较法证明简单 的不等式。,,④掌握简单不等式的解法。,,⑤理解不等式,,∣,a∣- ∣ b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣,不等式,,①理解任意角的概念、弧度的意义，能正 确地进行弧度与角度的换算。,,②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义。了解余切、正割、余割的定义 ，掌 握同角三角函数的基本关系式：,sin,2,α+cos,2,α=1,， ，,tanαcotα=1,。,,,掌握正弦、余弦的诱导

8、公式。了解周期 函数与最小正周期的意义。,,③掌握两角和与两角差的正弦,、,余弦,、,正切,公式,。,掌握二倍角的正弦,、,余弦,、,正切公式,。,三角函数,,④能正确运用三角公式，进行简单的三角函 数式的化简、求值和恒等式证明。,,⑤了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图 像和性质，会用“五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数,y=,Asin,（ωx+ψ）,的简图， 理解,A、ω、ψ,的物理意义。,,⑥会由已知三角函数值求角，并会用符号,arcsinx,、,arccosx,、,arctanx,表示。,,⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用

9、它们解斜三角形。,,①理解数列的概念，了解数列通项公式的 意义，了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项。,,②理解等差数列的概念，掌握等差数列的 通项公式与前,n,项和公式，并能解决简单 的实际问题。,,③理解等比数列的概念，掌握等比数列的 通项公式与前,n,项和公式，并能解决简单 的实际问题。,,数列,,①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的 点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练

10、地求出直线方程。,,②掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直 线所成的角和点到直线的距离公式。能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关 系。,,③了解二元一次不等式表示平面区域。,,直线和圆的方程,,④了解线性规划的意义，并会简单的应用。,,⑤了解解析几何的基本思想，了解坐标法。,,⑥掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的 参数方程。,,①掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简 单几何性质。理解椭圆的参数方程。,,②掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线,,的简单几何性质。,,③掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线 的简单几何性质

11、。,,④了解圆锥曲线的初步应用。,,圆锥曲线方程,,①掌握平面的基本性质，会作斜二测的画 法画水平放置的平面图形的直观图；能 够画出空间两条直线、直线和平面的各 种益关系的图形，能够根据图形想像它 们的位置关系。,,②掌握直线和平面平行的判定定理和性质 定理；掌握直线和平面垂直的判定定 理；掌握三垂线定理及其逆定理。,,③理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法、减法和数乘。,,,,直线、平面、简单几何体,,④了解空间向量的基本定理；理解空间向量 坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。,,⑤

12、掌握空间向量的数量积的定义及其性质； 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的,,公式；掌握空间两点间距离公式。,,⑥理解直线的方向向量、平面的法向量、向 量在平面内的射影等概念。,,⑦掌握直线和直线、直线和平面、平面和平 面所成的角、距离的概念。,,,⑧了解多面体、凸多面体的概念，了解正多 面体的概念。,,⑨了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画 直棱柱的直观图。,,⑩了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会 画正棱锥的直观图。,,,11,了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的 表面积、体积公式,○,,,,①掌握分类计数原理与分步计数原理，并

13、 能用它们分析和解决一些简单的应用问 题。,,②理解排列的意义，掌握排列数计算公 式，并能用它解决一些简单的应用问题。,,③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。,,④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并 能用它们计算和证明一些简单的问题。,,排列、组合、二项式定理,,①了解随机事件的发生存在着规律性的随 机事件概率的意义。,,②了解等可能性事件的概率的意义，会用 排列组合的基本公式计算一些等可能性 事件的概率。,,③了解互斥事件

14、与相互独立事件的意义， 会用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的 概率。,,④会计算事件在,n,次独立重复试验中恰好发 生,k,次概率。,概率,,①了解随机抽样，了解分层抽样的意义， 会用它们对简单实际问题进行抽样。,,②会用样本频率分布估计总体分布。,,③会用样本估计总体期望值和方差。,,统计,,①了解导数概念的实际背景。,,②理解导数的几何意义。,,③掌握函数,y=c,（,C,为常数）,、,y=,x,n,（n∈N,+,）,,的导数公式，会求多项式函数的导数。,,④理解极大值,、,极小值,、,

15、最大值,、,最小值的 概念,，,并会用导数求多项式函数的单调区 间,、,极大值,、,极小值及闭区间上的最大值 和最小值。,,⑤会利用导数求某些简单实际问题的最大 值和最小值。,,导数,,设函数,f,(,x,),的导数为,f,(,x,),,,且,f,(,x,)=,x,3,+2,x,f,,(1),,则,f,(0)= ( ) A. 0 B. -3 C. -6 D. 6,关键,,理解,f,(1

16、),是常量,,∵,f,(,x,),=3,x,2,+2,f,(1),,,∴,f,(0),=2,f,(1).,,①,,又,,f,(1),=3+2,f,(1),,∴,f,(1)=-3.,代入,,①,式,,得,f,(0)=-6.,,高考复习“四字诀”,实：小处不可随便,,活：海阔凭鱼跃,,①解题后的再思考,,例 求证,：,,sin（nπ+θ）,cos,（nπ-θ）= sin2θ,（n∈z）,,,它的通常解法是：,,证明：,,,（,1,）当,n,为偶数时，设,n=2k（k∈z）,,sin（nπ+θ）,cos,（nπ-θ）,,= sinθ,cos,θ = sin2θ,,

17、,1,2,1,2,,（2）当,n,为奇数时，设,n=2k+1（n∈z）,,sin（nπ+θ）,cos,（nπ-θ =sin（2kπ+π+θ）·,cos,（2kπ+π-θ）,,=,（-sinθ）（-,cos,θ）= sin2θ,,,综上得：,sin（nπ+θ）,cos,（nπ-θ）= sin2θ,,,无论是,n,为偶数，还是,n,为奇数，都有：,sin（nπ+θ）,cos,（nπ-θ）= sin2θ,，,,,这就引起了我们的再思考。,,思考：上面的讨论是雷同的，是否可以回避,?,1,2,1,2,1,2,,②深层次挖掘教材,,如：,{,a,n,},为等差数列，,a

18、,1,、a,2,、a,9,成等比数列,,则,,,题目的来源：选择特殊数列为背景，最常 见、最先想到的是自然数列，易知它满足条 件，所以选,a,n,=n。,,再如函数这一部分，复习时可对,y=,和,y=,log,a,x,的图象和性质进行研究。,,,广：天高任鸟飞,,①全面复习，知识和能力并重,,②学会学习,,新：万变不离其宗,,①“旧题”新解，追求优美,,,例如：过抛物线,y,2,=x,上一点（,4，2,），作倾,,角互补的两条直线,AB、AC,交抛物线,B、C，,求证：直线,BC,的斜率为定值。,,思考： 按照与作图步骤相吻合的思路来求解。,,,解：设,K,AB,=K，,则，,K,A

19、C,=-K，AB,的方程为,y=k（x-4）+2,,,因此,，,A（4，2），B（X,B,，Y,B,）,是方程组,,的解。,,y,2,=x,,y=k,（x-4）+2,解之得,X,B,=,·,（4,k,2,-4k+1），Y,B,=,同样的方法可得,X,C,=,,,，,Y,C,=,可求得,K,BC,=,,再思考：在解题过程中，求,B,点坐标的计算量比较 大，应该想办法改进。,我们还再回顾一下原来的解题程序。,,设,K,AB,→,写直线,AB、AC,的方程→解出,B、C→,表示,K,BC,改进：先设,B、C,坐标。,,改进后的程序为：,,设,B、C,坐标→求出,K,AB,、K,AC,

20、→,表示,K,BC,,设,B（ ，t,2,），C（ ，t,2,）（∣t,1,∣≠∣t,2,∣）,,这时,K,AB,= ， K,AC,=,,∵K,AB,=-K,AC,，,即,x,0,A,B,C,y,,化简得：,t,1,+2= -（t,2,+2）,,下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是 应该明确一下本题的目标。要证明,K,BC,是 一个定值，于是不妨先求出,K,BC,,K,BC,=,这就好了，原来是要证明,t,1,+t,2,是定值。,,这样，就自然想到将,t,1,+2=-（t,2,+2）,变形为,t,1,+t,2,= - 4,,本题圆满获得解决。,再改进

21、,：,设,B、C,坐标→表示,K,BC,→,求出,K,AB,、K,AC,②看透本质，新题通法。,,,“知识与技能”突出思想和智慧,,程序性,,主干性,,这里的技能特性也有两点：,,独立操作性：由重复再现过渡到独立 完成；,,,迁移性：通过联系的思想与转换的手 段达到灵活运用、举一反三和触类旁 通的目的。,,三、去年高考数学试题的亮点,,例,1,（高考第一题第,6,小题）某校为了了解学生的课外 阅读情况，随机调查了,50,名学生，得到他们在某 一天各自课外阅读所用时间

22、的数据，结果用图形 表示，根据条形图可得这,50,名学生这一天平均每 人的课外阅读时间为,,,A、0.6,小时,,,B、0.9,小时,,,C、1.0,小时,,,D、1.5,小时,,,,解析 一天平均每人课外阅读时间为,,,=,0.9,（小时）,,故选,B。,,时间（小时）,,0 0.5 1.0 1.5 2.0 x,,y,,20,,15,,10,,5,,人数（人）,,,例2,（,高考第一题第,8,小题）设,k>1，f（x）=k（x-1）,（x∈R）。,在平面直角坐标系,xOy,中，函数,y=f(x),的图象与,x,轴

23、变于,A,点，它的反函数,,,y=f,-1,(x),的图象与,y,轴交于,B,点，并且这两个函,,数的图象交于,P,点，已知四边形,OAPB,的面积是,,3，则,k,等于（ ）,,,A、,3,,,B、,,C、,,D、,0,1,,A,x,y,,,,,,1,,B,p,,解析,:,依题意,A（1，0），B（0，1），  y=f（x）,与,y=f,-1,（x）,的交点必在 直线,y=x,上。,,由,y=k（x-1），,,y=x,,,解得：,x=,,,因为,S,四边形,OAPB,=2S,△OPA,=2,·,,∣,OA,∣,·,∣,x,p,∣,= =3，,,,

24、所以,k= 。,,,故此选,B,,“过程与方法”重视价值和策略,,例,3 (,高考第二题第,16,小题,),平面向量,a,、,b,,,中，已知,a,=(4，-3)，∣,b,∣=1,且,a,·,b,=5,,则向量,b,=,,。,[方法,1] 设,a,与,b,夹角为,θ。,,,则由,a,·,b,=5→∣,a,∣∣,b,∣cosθ=5,,→5·1·cosθ=5,,→,cos,θ=1,,→θ=0,º,,,所以,b,与,a,共线且方向相同，,,,b,=（ ，-,),。,解析 解决本题至少可从这样两个角度思考,,[,方法,2] 设,b,=（x，y）,,x,2,+y,2,=1

25、 x=,,4x-3y=5 y= -,,或利用直线,4,x-3y=5,与圆,x,2,+y,2,=1,相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（ ，,-,）,,b,=（ ，- ）,则,→,,“情感、态度与价值观”体现感悟和动力,,例4（高考第六大题）制订投资计划时， 不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考  虑可能出现的亏损。,,某投资人打算投资甲、乙两个项目，根  据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别 为,100%为50%,，可能的最大亏损率分别为 30,%和10%,，投资人计划

26、投资金额超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过,1.,8 万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元，才能使可能的盈利最大？,,,解析 设投资人分别用,x,万元，,y,万元投资甲、乙两个项目，由题意知,,x+y≤10，,,0.3X+0.1y≤1.8,,,x≤0,,,y≥0.,,目标函数,z=x+0.5y.,,上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。,,作直线,L：x+0.5y=0，,并作平行于直线,L,的一组直线。,,X+0.5y=z，z∈R，,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的,M,点，且与直线,x+0.5y=0,的距

27、离最大，,这里,M,点是直线,x+y=10,和0.3,x+0.1y=1.8,的交点。,Y,,,18,,,10,,0 6 10 x,,0.3x+0.1y=1.8,,x+0.5y=0,M(4,6),,,x+y=10,L,,解方程组,,,x+y=10,,0.3x+0.1y=1.8,,得,x=4，y=6,,此时,z=1×4+0.5×6=7（,万元）,,因为,7>0,，,,所以,x=4，y=6,时,z,取最大值。,,答：投资人用,4,万元投资甲项目、,6,万元投 资乙项目，才能在确保亏损不超过,1.,8

28、 万元的前提下，使可能的盈利最大。,,多思善想,,思联系，网络知识，夯实基础,,例,1,α、β,是两个不同的平面，,m、n,是 平面,α,及,β,之外的两条不同直线，给 出四个论断：①,m⊥n，②α⊥β， ③n⊥β，④m⊥α，,以其中三个论 断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题,,。,,四、高考数学复习解题,指,要,,思路,1,：题目结构中,a、b、c,具有轮换对称性， 可将右式分为三个部分，用综合法易证：

29、  （,a+b）， （b+c）， （a+c），,三式相加即得。,例,2,已知,a>0，b>0，c>0，,求证：,,（,a+b+c）,,思多解，多方出击，培养思维的发

30、散性,,是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。,,思路,2,：,（,a+b）=,asin,+,bcos,=,sin（,+φ）≤,（a+c）≤,三式相加即得。,（b+c）≤,,,B,,α,,,a,,,,,b,,A,,c,同理：,≥,（,a+c）,,三式相加即得。,思路,3,观察左边三个根式，联系立几知识，它们 是以,a、b、c,为三度的长方体的三个面的对 角线长度，可构造长方体来证明，如图,:,,∣,AB∣,= ，,,a+b=,∣AB∣sinα+∣AB∣,cos,α,,,= （sinα+,cos,α）,,=

31、 sin（α+ ）,,≤,,所以,≥ （,a+b）,,思规律，找变化，触类旁通,例3,试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必 和椭圆相应的准线相离。,,,例,4,已知异面直线,a,和,b,所成的角为,50º，,P,为　　空间任一定点，则,P,点且与,a、b,所成的　　角都是,30º,的直线有且仅有 （ ）,,,A、1,条,B、2,条,C、3,条,D、4,条,,在本题中,50º和30º,的设置对答案起着重　　要作用。因此，可通过改变,50º和30º,的　　大小来深化对这类题目的理解。,,,（1）若将50º改为25º，其余条件不变，则答

32、 案是,,。,,（2）若将50º改为65º，其余条件不变，则答 案,,。,,（3）若将30º改为70º，其余条件不变，则答 案是,,。,,（4）若将50º改为,xº，30º,改为,yº，,且答案为,A，,,则,x、y,的关系式为,,；若答案为,B，,则,x、y,的关系为,,；若答案为,C，,则,x、 y,的关系为,,；若答案为,D，,则,x、y,的 关系为,,。,,例5,求和,S=（x+ ）+（x,2,+ ）+…+（,x,n,+ ）,,错解：,,S=（x+x,2,+x,3,+…+,x,n,）+(

33、 + + …+ ),,= +,,这是应用等比数列求和公式时很容易出现的 问题,,,按照等比数列求和公式,,,当公式,q,是一个不确 定的数时,,,求其前,n,项和,,,则要考虑,q=1,q≠1,两种情 况,,,因此应分四种情形求解,:,（1）,x=1，y≠1；,,（2）x≠1，y=1；（3）x=1，y=1；（4）x≠1，,y≠1,,思错处，找错因，提高辨别解题错误的能力,,例6,过抛物线,y,2,=2px（p>0）,的焦点的一条直线和 这条抛物线相交于,P,1,、P,2,两点，两个交点的

34、 纵坐标分别为,y,1,、y,2,，,求证：,y,1,y,2,=-p,2,,①,已知条件不变时,,,a、,求证：,x,1,x,2,= ；,,b、,求焦点弦∣,P,1,P,2,∣,的长；,,,c、,求△,OP,1,P,2,的面积,；,,,d、,求焦点弦,P,1,P,2,中点的轨迹方程；,,,e、,求证 ：,,,f、,求证：以焦点弦为直径的圆必与准线 相切。,,思演变，层层深入，提高应变能力,,②改成逆命题：一条直线与抛物线,y,2,=2px（p>0）,,相交于,P,1,（x,1,，y,1,

35、）、,P,2,（x,2,，y,2,）,两点，如果 满足,y,1,y,2,=-p,2,（,或,x,1,x,2,= ），,那么这条直线过 抛物线的焦点。,,③已知条件不变，再附加条件“过,P,1,、P,2,分别作,x,,轴的垂线，垂足为,M,1,、M,2,”，,求证： ∣,OM,1,∣、∣OF∣、∣OM,2,∣,成等比数列。,,④已知条件不变，再附加条件“过焦点,F，,再作 一条与,P,1,P,2,垂直的弦,P,3,P,4,”，,求以此两弦为对,,角线的内接四边形的面积的最小值。,,,弄清问题（解题应从弄清问题开始）,,①化简策略：从最复杂的地方开刀,,②语言变换策略：用不同的语言重新叙述,,③分析策略：假设问题已经解决,,变换问题,,①联想策略：联想一个熟悉的问题,,②讨论策略：先解决问题的部分,解题策略,,方法,2,：语言变换 数形结合。,,,f（x）=∣x+2∣，g（x）=∣x∣。,方法,1,：讨论 分,x≤-2，-2