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1、17. 1 一元二次方程
学习目标
知识与技能：
1 .了解一元二次方程及相关概念
2 .应用一元二次方程的概念解决一些简单题目
过程与方法：
在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一种模型，体会方程与实际生活的 联系。
情感态度与价值观：
通过丰富的实例，让学生合作探讨，培养学生合作交流的能力，建立数学模型并通过数学 模型自己总结一元二次方程的定义，培养学生的归纳总结和数学建模的能力。
教学过程
一、情境导入
问题：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m,苗圃的长和宽各是多少?
设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m.
根据题意，得x（x+2）
2、= 120.
所列方程是否为一元一次方程？（回忆：一元一次方程的定义）
（给出定义：这个方程便是即将学习的一元二次方程. ）
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
［类型一元二次方程的识别
国 下列方程中，是一元二次方程的是 （填入序号即可）.
①y"-y=0;②2x2-x- 3=0;③4=3;
4 x
④ x2=2+3x;⑤ x3 —x+ 4=0;⑥ t2=2;
⑦x2+3x —3=0;⑧迎一x =2.
解析：由一元二次方程的定义知 ③⑤⑦⑧不是.答案为 ①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它
进行整理，若能
3、整理为 ax2+bx+c= 0（a, b, c为常数，aw0）的形式，则这个方程就是一元 二次方程.
变式训练：课本21页第1题
［类型二］根据一元二次方程的概念求字母的值
112
(1)ax2 — x= 2x2 — ax— 3;
(2)(a — 1)xa| 1+ 2x— 7= 0.
解析：(1)将方程转化为一般形式，得 (a—2)x2+(a—1)x+ 3=0,当a-2^0,即a^2
时，原方程是一■兀—■次方程； (2)由|a|+1=2,且a—1W0知，当a=— 1时，原方程是一■兀
二次方程.
解：(1)将方程整理得(a—2)x2+(a—1)x+3=0,=a —2W0,
4、，aw2.当 aw2 时，原方程 为一元二次方程；
(2),「|a|+1 = 2,，a= .当 a= 1 时，a— 1 = 0,不合题意，舍去.，当 a = — 1 时，原 方程为一元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2,
列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0的字母的值.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2题
［类型三］一元二次方程的一般形式
把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和
常数项.
(1)x(x— 2) = 4x2—3x;
x+ 1 -x- 1
(
5、3)关于 x 的方程 mx2-nx+ mx+ nx2= q — p(m+nw 0).
解析：首先对上述三个方程进行整理， 通过“去分母” “去括号” “移项” “合并同类 项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.
解：(1)去括号，得x2- 2x= 4x2—3x.移项、合并同类项，得 3x2-x= 0.二次项系数为3, 一次项系数为一1,常数项为0;
(2)去分母，得 2x2—3(x+ 1)=3(-x-1).去括号、移项、合并同类项，得 2x2=0.二次
项系数为2, 一次项系数为0,常数项为0;
(3)移项、合并同类项，得 (m + n)x2+(m—
6、n)x+p —q= 0.二次项系数为 m+n, 一次项系 数为m-n,常数项为p-q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，
如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘- 1,使二次项系数变为
正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项 bx,则b=0;若没有出现常数
项c,则c= 0.
变式训练：课本21页第2题
探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型
[1
如图，现有一张长为 19cm,宽为
长是多少的小正方形，才能将其做成底面
7、积为
15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边
81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方
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程.
解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数， 禾1J用
长方形面积公式可列出方程.
解：设需要剪去的小正方形边长为
xcm ,则纸盒底面的长方形的长为 (19- 2x)cm,宽为
(15 — 2x)cm.
根据题意，得(19 —2x)(15—2x) = 81.整理得 x2-17x+51 = 0(0
8、量之间的等量关系，正确地列出方程.在列出方程后，还应根据实际需求， 注明自变量的取值范围.
变式训练：课本21页第3题
探究点三：一元二次方程的根
已知关于x的一元二次方程
x2+mx+3= 0的一个解是 x= 1,求m的值.
解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等.本题将 x=1代入原方程，
可得关于m的一元一次方程，解得 m的值即可.
解：根据方程的解的定义，将 x= 1代入原方程，得12 + mX 1 + 3=0,解得m = -4, 即m的值为一4.
方法总结：方程的根（解）一定满足原方程，将根（解）的值代入原方程，即可得到关于未 知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法.
变式训练：课本21页第4题 三.课堂小结
本节课你学到了什么？（学生回答，教师总结补充）
四.家庭作业
完成同步练习对应练习
一元二次方程的概念.1一元二次方程的概念
