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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样,微积分初步,函数的导数与微分,函数的不定积分与定积分,1,函数、导数与微分,一、变量、常量与函数,变量：,在某一过程中取值会,不断变化,的量。,常量：,在某一过程中取值,始终不变,的量。,函数：,变量,y,按某种确定的关系随变量,x,的变化而变化，则称,y,是,x,的函数,，,x,叫自变量，,y,叫因变量，写作：,y,=,f,(,x,),例：,y=,3,x,2,+,2,x,y=,5,sinx,y=a,x,y=e,2x,复合函数：,若,y,是,z,的函数,y=f,(z),，而,z,又是,x,的函数,z=,g,(,x,),，则称,y,是,x,的复合
2、函数，记作：,y=,(,x,)=,f,g,(,x,),例：,y=sin,(,ax,2,+bx+c,),y=,e,sin,(2,x,+3),二、函数的导数,x,y,x,y,y=f,(,x,),x,x+,x,设函数,y=f,(,x,),在,x,处有一增量,x,，相应地函数有增量,y,，则比值,叫函数,y=f,(,x,),在,x,到,x+,x,之间的,平均变化率,。,函数,y=f,(,x,),在,x,处的导数定义为：,例：求函数,y=x,2,在,x=,1,和,x=,3,时的导数值。,解：,由,有,所以当,x=,1,时，,y=,2,，当,x=,3,时，,y=,6,x,y,x,y,y=f,(,x,),x
3、,x+,x,P,Q,导数的几何意义：,从图中知道，,y/,x,是过,P,、,Q,两点的割线的斜率，而当,x,0,时，割线成为过,P,点的切线，因而导数,y=f,(,x,),表示曲线在,x,处,切线的斜率,。,函数,y=f(x),在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数,y=f(x),随,x,的变化率。,基本函数导数公式,导数的基本运算法则：,（设,u=u(x),v=v(x),）,例,1,：求,y=x,3,ln x,的导数,解,例,2,求,y=sin x/x,的导数,解,二阶导数与高阶导数,前述函数的导数是,y,对,x,的一阶导数，若将一阶导数,y,再次对,x,求导，则为二阶导
4、数：,同理，将二阶导再对,x,求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。,例求,y=x,3,+3x,2,的二阶导数,三、函数的极值,x,1,x,2,x,3,x,y,若函数,y=f,(,x,),在某一点,x,1,的函数值,f,(,x,1,),比邻近各点的函数值都大或都小，则称,x,1,为一个极值点，,f,(,x,1,),为函数的一个极值。图中,x,1,和,x,3,为极大值点，,x,2,为极小值点，,f,(,x,1,),和,f,(,x,3,),为极大值，,f,(,x,2,),为极小值。,极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：,f,(,x,)=0,极大值点的条件是：,f,(,x,)=0
5、,，,f,(,x,),0,极小值点的条件是：,f,(,x,)=0,，,f,(,x,),0,例求函数,y=4x,3,-3x,2,+5,的极值点和极值,解：因,y=12x,2,-6x,令,y=0,得,x,1,=0,x,2,=1/2,此为其两个极值点。,又,y=24x-6,，,有,y,(,x,1,)=,-,6,0,，,y,(,x,2,)=6,0,因而,x,1,=0,是极大值点，对应的极大值为,y,1,=5,x,2,=1/2,是极小值点，对应的极小值为,y,2,=19/4,四、函数的微分,例求函数,y=5x+sin x,的微分,函数,y,对自变量,x,的导数,可将,dx,看成是自变量,x,的一个趋于零
6、的微小增量，称为,自变量的微分,；而相应的将,dy,看成是函数,y,的微小增量，称为,函数的微分。,有：,2,不定积分,一、原函数,前一节学了求函数,y=f,(,x,),的导数,f,(,x,),，现若,已知,一函数,F,(,x,),的导数为,f,(,x,),，要求,原函数,F,(,x,),例因,(,x,3,)=3,x,2,，,所以,x,3,为,3,x,2,的原函数,（,sin x,)=,cos x,，,sin x,是,cos x,的原函数,F,(,x,)=,F,(,x,)+,c,，,c,为任意常数，,函数,f,(,x,),的原函数有任意多个：,F,(,x,)+,c,二、不定积分,定义：,函数,
7、f,(,x,),的所有原函数,F,(,x,)+,c,叫,f,(,x,),的,不定积分,，记为：,不定积分的性质：,这说明不定积分是求导数的逆运算。,不定积分公式：,不定积分运算法则：,3.,若能找到函数,u=u,(,x,),，使,且积分,较易求出，则：,例,1,求,解：令,u=1+x,微分得：,du=dx,，有：,例,2,求,解：令,u=ax+b,微分得：,du=adx,，有：,例,3,求,解：令,u=x,2,+1,微分得：,du=2xdx,，有：,例,4,求,解：令,u=e,3x,微分得：,du=3 e,3x,dx,，有：,3,定积分,设函数,y=f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续，将
8、区间,a,b,作,n,等分，各小区间的宽度为,x,，又在各小区间内选取一点,x,i,得出函数在这些点处的值,f,(,x,i,)(,i,=1,2,3,n,),a,b,x,y,x,i,y=f,(,x,),f,(,x,i,),x,定义：,为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的,定积分,。,f,(,x,),为被积函数，,a,b,分别为积分下限和上限。,定积分的几何意义：,a,b,x,y,y=f,(,x,),f,(,x,i,),x,由图可知,f,(,x,i,),x,为图中一个小区间的面积，因而定积分：,表示了区间,a,b,上，,曲线,y=f,(,x,),下方的面积。,注意：,定积分的值有正也有负，
9、因而这并非通常意义下的面积。,定积分的主要性质：,定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）,若不定积分,则定积分,由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数,F,(,x,),），再求,F,(,b,),-F,(,a,),例,1,求,解：令,u=x,2,+1,微分得：,du=2xdx,，有：,例,2,求,解：令,u=cos x,微分得：,du=-sin x dx,y,x,y=x,2,y,=4-,x,2,A,B,例,3,求由曲线,y=x,2,和曲线,y=4-x,2,所包围的面积。,解：先求出两曲线交点,A,B,的,x,坐标为,:,由定积分的几何意义知有：,29,以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！,
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