6.结点电压法和弥尔曼定律

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1、,*,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二层,,第三层,,第四层,,第五层,,11/26/2024,,20,,电子信息科学与技术专业,《,电路分析,》,阮许平主讲,,电子信息科学与技术专业,阮许平主讲,《电路分析》,结点电压法和弥尔曼定律,§06,,一、结点电压法,选结点电压为未知量，则,KVL,自动满足，就无需列写,KVL,,方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想：,以结点电压为未知量列写电路方程分析,,电路的方法。适用于结点较少的电路。,1.,结点电压法,列写的方程,结点电压法列写的是结点上的,K

2、CL,方程，独立方程数为：,与支路电流法相比，方程数减少,b-(,n,-1),个,。,下 页,返 回,,任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压,(,位,),，方向为从独立结点指向参考结点。,(,u,A,-,u,B,)+,u,B,-,u,A,=0,KVL,自动满足,说明,u,A,-,u,B,u,A,u,B,2.,方程的列写,i,S1,u,S,i,S3,R,1,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,R,2,R,5,R,3,R,4,+,_,(1),选定参考结点，标明其余,n,-1,个独立结点的电压,1,,3,,2,,下 页,上 页,返 回,,i,S1,u,S,i,S2,R,1,i,1

3、,i,2,i,3,i,4,i,5,R,2,R,5,R,3,R,4,+,_,1,,3,,2,,,(2),列,KCL,方程：,,i,R,出,=,i,S,入,i,1,+,i,2,=,i,S1,+i,S2,-,i,2,+,i,4,+i,3,=0,把支路电流用结点电压表示：,,-i,3,+,i,5,=,－,i,S2,下 页,上 页,返 回,,整理，得,：,令,,G,k,=1/,R,k,，,k,=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为,：,G,11,u,n1,+,G,12,u,n2,,＋,G,13,u,n3,,=,i,Sn1,G,21,u,n1,+,G,22,u,n2,,＋,G,23,u,n3,,=,

4、i,Sn2,G,31,u,n1,+,G,32,u,n2,,＋,G,33,u,n3,,=,i,Sn3,标准形式的结点电压方程,等效电流源,下 页,上 页,返 回,,其中,G,11,=,G,1,+,G,2,结,点1的自电导，,等于接在结,点1上所,有,,,支路的电导之和。,,G,22,=,G,2,+,G,3,+,G,4,结,点2的自电导，等于接在,结,点2上所有,,,支路的电导之和。,G,12,=,G,21,=-,G,2,,结,点1与,结,点2之间的互电导，等于接在,,结,点1与,结,点2之间的所有支路的电导之,,,和，,为负值,。,自电导总为正，互电导总为负。,G,33,=,G,3,+,G,5,

5、,结,点,3,的自电导，等于接在,结,点,3,上所有支路的电导之和。,G,23,=,G,32,=-,G,3,,结,点,2,与,结,点,3,之间的互电导，等于接在,结,,,点1与,结,点2之间的所有支路的电导之和，,,为负值,。,下 页,上 页,返 回,,i,Sn2,=-,i,S2,＋,u,S,/,R,5,,流入,结,点2的电流源电流的代数和,。,i,Sn1,=,i,S1,+,i,S2,,,流入结点,1,的电流源电流的代数和,。,流入结点取正号，流出取负号。,由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：,下 页,上 页,返 回,,一般情况,G,11,u,n1,+

6、,G,12,u,n2,+…+,G,1,n,-,1,u,n,,n,-,1,=,i,Sn1,G,21,u,n1,+,G,22,u,n2,+…+,G,2,,n,-1,u,n,,n,-1,=,i,Sn2,   ,G,n,-,1,1,u,n1,+,G,n,-,1,2,u,n2,+…+,G,n,-1,n,u,n,,n,-,1,=,i,Sn,,n,-,1,其中,G,ii,,—,自电导，,等于接在,结,点,i,上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。,总为正。,,,当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。,i,Sn,i,,—,流入结点,i,的所有电流源电流的代数和,(,包括由,电压源与电阻串联

7、支路等效的电流源,),。,G,ij,,=,G,ji,—,互电导，,等于接在,结,点,i,与,结,点,j,之间的所支路的电导之和，,总为,负。,下 页,上 页,返 回,,结点法的一般步骤,：,(1),选定参考结点，标定,n,-,1,个独立结点；,(2),对,n,-1,个独立结点，以结点电压为未知量，列写其,KCL,方程；,(3),求解上述方程，得到,n,-1,个结点电压；,(5),其它分析。,(4),求各支路电流,(,用,结点电压,表示,),；,下 页,上 页,返 回,,试列写电路的节点电压方程。,(,G,1,+,G,2,+G,S,),U,1,-,G,1,U,2,－,G,s,U,3,=,U,S,

8、G,S,-,G,1,U,1,+(,G,1,+,G,3,+,G,4,),U,2,-,G,4,U,3,,=0,－,G,S,U,1,-,G,4,U,2,+(,G,4,+,G,5,+,G,S,),U,3,,=,－,U,S,G,S,例,3.,无伴电压源支路的处理,（,1,）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系,Us,G,3,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,G,S,3,1,2,Us,G,3,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,3,1,2,下 页,上 页,返 回,,I,(,G,1,+,G,2,),U,1,-,G,1,U,2,,=,I,-,G,1,U,1,+(,G,1,+,G,3,+,

9、G,4,),U,2,-,G,4,U,3,,=0,-,G,4,U,2,+(,G,4,+,G,5,),U,3,,=,－,I,U,1,-,U,3,=,U,S,看成电流源,增补方程,（,2,） 选择合适的参考点,U,1,=,U,S,-,G,1,U,1,+(,G,1,+,G,3,+,G,4,),U,2,-,,G,3,U,3,,=0,-,G,2,U,1,-,G,3,U,2,+(,G,2,+,G,3,+,G,5,),U,3,=0,Us,G,3,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,3,1,2,Us,G,3,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,3,1,2,下 页,上 页,返 回,,4.,受控电源支路的处

10、理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。,先,把受控源当作独立,,,源列方程；,(2),用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,,例,i,S1,R,1,R,3,R,2,g,m,u,R,2,+,u,R,2,_,2,1,下 页,上 页,返 回,,设参考点，,把受控源当作独立源列方程；,(2),用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,,例,2,1,3,i,S1,R,1,R,4,R,3,gu,3,+,u,3,_,R,2,+,－,r i,i,R,5,+,u,S,_,解,下 页,上 页,返 回,,例,列写电路的结点电压方程。,1

11、V,＋,＋,＋,＋,－,－,－,－,2,3,,2,,1,,5,,3,,4V,U,4,U,3,A,3,1,2,注：,与电流源串接的,,电阻不参与列方程,增补方程：,U,,=,U,n3,下 页,上 页,返 回,,例,求,U,和,I,,。,90V,＋,＋,＋,－,－,－,2,,1,,2,,1,,100V,20,A,110V,＋,－,U,I,解,1,应用结点法。,3,1,2,解得：,下 页,上 页,返 回,,90V,＋,＋,＋,－,－,－,2,,1,,2,,1,,100V,20,A,110V,＋,－,U,I,解,2,应用回路法。,1,2,3,解得：,下 页,上 页,返 回,

12、,二、弥尔曼定律,,在如图所示电路中，有多条支路，但只有,2,个节点，若以,B,点为电位参考点，则,A,点的,KCL,方程为：,化简后可得,：,----------------⑤,R,4,E,1,R,1,R,2,+,+,E,2,R,3,E,3,+,+,A,B,下 页,上 页,返 回,,如果电源电动势用端电压表示，如图所示，则,-----,-----,⑥,⑤,、,⑥,称为弥尔曼公式，它是节点电位法在只有两个节点时的特例，在三相交流电路中有广泛应用。,,N,+,–,+,–,+,–,L,1,L,2,L,3,N,+,–,+,–,+,–,N,',Z,3,Z,2,,Z,1,,,,下 页,上 页,返 回,,,B,I,2,R,1,I,1,U,1,R,2,A,U,2,I,3,R,3,+,_,+,_,在如图所示电路中,，,试用弥尔曼定律,,求各支路电流,I,1,、I,2,、,,I,3,已知,：,U,1,=12V,，,U,2,=3V,，,,,R,1,=4,,，,R,2,=4,,，,R,3,=4,,下 页,上 页,返 回,例,2,：,,由弥尔曼公式,：,∴,,B,I,2,R,1,I,1,U,1,R,2,A,U,2,I,3,R,3,+,_,+,_,上 页,返 回,解,：,,