微积分09 空间直角坐标系与向量的概念

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第一节 空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系,二、向量的概念及其线性运算,三、向量的坐标表示,,1.,空间直角坐标系,坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为,坐标平面,,简称,坐标面,.,面,面,面,一、空间直角坐标系,,在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.,,各卦限中点的坐标情况:,,2.两点间的距离,,例1,已知两点 与 ,在 轴上求一点 ,,,使,解,因为 在 轴上,所以设 点的坐标为,由题设

2、 ,得,解得,所求点 为,,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向线段的长度),,,记作 , ,,,单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,记为,0,或,向量的表示: 或,,或,二、向量的概念及其线性运算,,2.向量的线性运算,(1),向量的加法,b,a,a+b,a,b,a+b,d,a,b,c,a,+,b,+,c,+,d,,向量的加法满足下列运算规律:,（,1,）,,（,2,）,（,3,）,（,4,）,,(2)数与向量的乘积(数乘向量),定义2,设 是一个非零向量, 是一个非零实数,则,,与 的乘积

3、仍是一个向量,记作 ,且,,①,②,,数与向量的乘积满足下列运算规律:,（,1,）,,（,2,）,,（,3,）,,（,4,）,,,1.向径及其坐标表示,,向径,:在空间直角坐标系中,起点在原点 ,终点为 的向量 称为点 的向径.记为 或,基本单位向量:,称上式为向量 的坐标表达式,记作,三、向量的坐标表示,,2.向量 的坐标表示式,,3.向量的模与方向余弦的坐标表示式,,,4.向量线性运算的坐标表示,,例2,设 ,求 的方向余弦.,解,,,例3,设向量 的两个方向余弦为,,,又 ,求向量 的坐标.,解,由

4、 得,,所以,即,或,,第二节 向量的数量积与向量积,,一、向量的数量积,,二、向量的向量积,,一、向量的数量积,,1.数量积的概念,,,定义1,两向量 的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为,,,即,,说明:,(1)向量的数量积是一个数量而不是向量；,(3),(2)两非零向量,,夹角的余弦,(4)设,,为两个非零向量,由定义1,有,,,数量积满足如下运算规律：,(1)交换律：,,(2)结合律：,,(其中 为常数),,(3)分配律：,,另外,由(2)(3)可得,,2.数量积的坐标表示式,,,３.两非零向量夹角余弦的

5、坐标表示式,,设 均为非零向量,由两向量的数量积定义可知,,解,,例1,已知,,求,,例2,设力,,作用在一质点上,质点由 沿直线移动到,,.求,:(1)力 所作的功;,,(2)力,,与位移 的夹角(力的单位为 ,位移的单位为,,).,,解,因为,,又因为,,所以,,所以,力,,所作的功,(,J,),,例3,求在 坐标面上与向量,,垂直的单位向量,,解,设所求向量为 ,因为它在 坐标面上,所以 ,又因为,,是单位向量且与,,垂直,所以,即

6、,,解之得,,故所求向量,或,,,二、向量的向量积,1.向量积的概念,,,定义2 两向量 的向量积定义为,记作,;,其中,,是同时垂直于,,和 的单位向量,其方向按从,,到 的右手规则确定.,,说明:,(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;,(4),(2),,的模等于以,,为邻边的平行四边形的面积,(3)设,,为两个非零向量,则,a,∥,b,,向量积满足下列运算规律:,,(1) 反交换律：,,(2) 结合律:,,(其中 为常数),,(3) 分配律:,,,2.向量积的坐标表示式,,,a,∥,对于两个非零向量,,解,,例4 设 求,,,例5,求垂直于

7、 和 的单位向量.,,解,因为 同时垂直 和 ,所以,,,=,=,例6,已知三角形 的顶点是,,,求三角形的面积.,解,根据向量积的定义,可知三角形 的面积,,第三节 平面与直线,一、平面的方程,二、直线的方程,三、平面、直线的位置关系,,,,,1．平面的点法式方程,法向量,,因为,,所以有,,该方程称为平面 的,点法式方程,,,一、平面的方程,,解,由平面方程的点法式得所求平面方程为,例1,求过点,,且垂直于向量,的平面方程,即,,且和平面,,例2,求过点,,垂直的平面方程．,,解,因为 在该平面上,已知平面的法向

8、量,故,,所求平面的法向量 与向量 和 都垂直,,即,,由公式得该平面的方程为,,,例3,求过点 和 三点的平面方程,,故,,解,所求平面的法向量 与向量 和 都垂直，而,,由公式 得该平面方程为,,即,,从平面的点法式方程得,令,该方程称为平面的,一般式方程.,则,———,①,2．平面的一般式方程,,①,—,②,得,它表示过点 且以 为法向量的平面,可见，任一三元一次方程①（ 不全为零）都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标,设

9、 是其任一组解，即,———,②,,,平面通过原点(图9.16),,图,9.16,(2)当 时，,,图9.17,,方程 的特殊情况:,(,1)当 时，,,该平面平行于 轴（图9.17）,,,图,9.18,(3)当 时,,,表示的平面通过 轴(图9.18),,同理,方程,,分别表示平行于 轴和 轴的平面;,,分别表示通过,,轴和,,轴的平面.,,(4)当,,时,，,图,9.19,当 时,,该平面平行于 坐标面(图9.19),,它表示 坐标面,

10、,同理，方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.,方程为,,,,代入原方程并化简,得所求平面方程为,例4,求通过 轴和点 的平面方程.,解,因平面通过,,轴,由以上讨论,可设其方程为,,又点 在平面上,因此,即,,解,设所求平面方程为,,例5,一平面经过 三点，求此平面的方程.,,又因,,三点都在平面上,所以有,,后两个方程分别减去第

11、一个方程,得,,所以,,代入第一个方程得,即,因为,,不能同时为零,所以,,,于是有,即得所求平面方程为,,,3．平面的截距式方程,,解此方程组得,,,,,设一平面过三点 (图9.20),求此平面方程．,,图9.20,,设平面方程为 ，,因为,,三点在该平面上,所以有,,,即得所求平面方程为,,,此方程称为平面的,截距式方程,,其中,,分别称为平面在,,轴、,,轴、,,轴上的截距.,,代入所设方程(因平面不过原点,,),得,,解,方程两边同除以5,得平面的截距式方程为,,其中,,例6,将平面

12、化为截距式方程．,,得,,由,,1．直线的点向式方程与参数方程,方向向量:,向向量为,,,它的一个方,,,已知直线,L,上任意一点,求直线,L,的方程（图9.21）．,,图9.21,二、直线的方程,,所以由两向量平行的充要条件可知,,,此方程组称为直线的,点向式方程,（或称,标准方程,）,,,设点,,为直线,L,上任意一点则点 在直线 上的充要条件是,∥,因为,注：,当 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零．,,记其比值为,t,,则有,,此式称为直线,L,的,参数方程,，,t,为参数．,,例7,求过点,的直线方程．,方向向量,,故所求直线的方程为,,上式也称为直线的,

13、两点式方程,．,,解,,解,因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量,s,垂直于两平面的法向量 及,例8,求过点 且平行于两平面 及,,的直线方程.,所以取,,因此,所求直线方程为,即,,,2．直线的一般方程,,设平面 的方程分别为：,,,则两个平面 的交线,L,的方程为,,,,此方程称直线的,一般方程,．,,,例10,将直线方程,,化为点向式方程及参数方程．,,解,先求直线上的一点,不妨令 ,代入原方程组得,,解得,，即点 在直线上,,再求该直线的一个方向向量,,因为 分别垂直于,平面,及,

14、的法向量,,所以可取,,所以直线的点向式方程为,,,令上式为,,,可得已知直线的参数方程为,,,1．平面与平面的位置关系,,两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).,法向量,,三、平面、直线的位置关系,,因此 与 的夹角的余弦为：,,特别地,,∥,∥,,例11,求两平面,,的夹角．,两平面的法向量分别为,,所以两平面的夹角的余弦为,,所以两平面夹角,,解,,2．直线与直线的位置关系,,两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).,方向向量,,因此 与 的夹角的余弦为,,∥,∥,,例12,求直线,,和直线,,的夹角．,的方向向量分别为,解,则两直线 与 的夹角的余弦为,,所

15、以两直线的夹角,,,3．直线与平面的位置关系,,直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角,,设直线 与平面 的垂直线的夹角为 ，与 的夹角为 ,则 .求直线与平面夹角．,,设直线 的方向向量为,,,平面,的法向量为,,由两向量夹角的余弦公式,有,,∥,,∥,,例13,已知直线,和平面,,求 与 的夹角．,,的方向向量为,,解,,与 的垂线的夹角 的余弦为,因此， 与 的夹角,,,第四节 曲面与空间曲线,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、几种常见的二次曲面,四、空间曲线,,定义:如果曲面 上每一点的坐标都满足方程

16、,,而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程,,为曲面 的方程,而称曲面,,为此方程的图形.,图9.23,一、曲面方程的概念,,图9.24,例1,建立球心在点 ,半径为 的球面方程.,解,设 是球面上的任一点,则,而,所以,这就是球心在点 ,,,半径为 的球面方程.,当 时,得球心在原点,半径为 的球面方程为,,柱面:直线 沿定曲线 平行移动所形成的曲面称为,柱面,.定曲线 称为柱面的,准线,,动直线 称为柱面的,母线,.,,例2,建立母线平行于 轴的柱面方程

17、.,图9.26,解,设准线 是 面上的一条曲线,,,是柱面上的任意一点.过点 的母线与 面的交点 一定在准线 上,点 的坐标为 ,不论点 的竖坐标 取何值,它的横,,坐标 和纵坐标 都满足方程,,,因此所求柱面方程为,,在空间直角坐标系中,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.,类似地,方程 表示以 面上的曲线,,为准线,母线平行于 轴的

18、柱面.,方程 表示以 面上的曲线,,为准线,母线平行于 轴的柱面.,,用 面和 面去截曲面,其截痕为,,它们都是双曲线.,,也表示单叶双曲面,中心轴分别是 轴、 轴.,,旋转曲面:平面曲线 绕同一平面上定直线 旋转一周所形成的曲面称为,旋转曲面,.定直线 称为,旋转轴,.,图9.31,二、旋转曲面,,例3,建立 面上一条曲线 绕 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.,因为,所以,又因为 在曲线 上,所以,解,设 为旋转曲面上任一点,过点 作平面垂直于 轴,交 轴于点

19、 交曲线 于点 则,所以旋转曲面方程为,,同理,曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,,例4,将 坐标面上的直线 绕 轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.,解,将 保持不变, 换成

20、 得,即所求旋转曲面方程为,图9.32,由上时表示的曲面称为圆锥面.点 称为圆锥的顶点.,,二次曲面:在空间直角坐标系中,若 是二次方程,则它的图形称为,二次曲面,.,截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为,截痕法,.,,三、几种常见的曲面,,1.椭球面,,用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:,图9.33,这些交线都是椭圆.,,用平行于 面的平面 截椭球面,交线为,是平面 上的椭圆.,用平行其它两个坐

21、标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.,,,2.单叶双曲面,,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,,图9.34,,3.双叶双曲面,,图9.35,用 和 面截曲面,所得截线分别为,它们都是以 轴为实轴,虚轴分别为 轴和 轴的双曲线.,,,用平行于 面的平面 截曲面,得,当 时,其截痕是一椭圆;,,当 时,其截痕缩为一点 和 ;,当 时,没有图形.,也表示双叶双曲面.,,4.椭圆抛物面,图9.36,用 和 面截曲面,所得截线分别为,它们都是开口向上的抛物线.,,,用平面 截曲面,得,当 时,没有图形;,当

22、 时,相交于一点 ;,当 时,所得截线为,,,5.双曲抛物面,,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,,它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.,图9.37,,用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截线分别为,用平行于 面的平面 截曲面,所得截线为,,1.空间曲线的一般方程,四、空间曲线,,例5,下列方程组表示什么曲线？,(1),,(2),,解,(1) 是球心在原点,半径为5的球面. 是平行于 面的平面,它们的交线是在平面 上的

23、圆,,(2)方程 表示球心在坐标原点 ,半径为 的上半球面;方程 表示母线平行于 轴的圆柱面,方程组表示上半球面与圆柱面的交线.,,图9.39,,2.空间曲线的参数方程,,( 为参数),例6,设空间一动点 在圆柱面 上以角速度 绕 轴旋转,同时又以线速度 沿平行于 轴的正方向上升(其中 都是常数),则动点 的轨迹叫做螺旋线,试求其参数方程.,,则动点的运动方程即螺旋线的参数方程为:,图9.40,如果令 ,以 为参数, 则螺旋线的参数方程为,其中 ．,,解,取时间 为参数,设 时,动点在 处,经过时间 ,动点由 运动到,,3.空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 的一般方程为,消去 ,得,,称为曲线 关于 面的,投影柱面,.,,它与 面的交线就是空间曲线在 面上的,投影曲线,,简称,投影,,其方程为,,同理,分别消去 和 ,得到 和 ,则曲线 在 和 面上的投影曲线方程分别为,,图9.41,,,例7,求曲线,在 面上的投影曲线方程.,解,从曲线 的方程中消去 得,曲线 在 面上的投影曲线,,方程为,,