函数微分学的应用

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第三章 一元函数微分学的应用,本章简介,:,,本章将在建立了导数概念和解决了导数计算的基础上学习微分中值定理,并由此引出计算未定型极限的方法—洛必塔法则,并以导数为工具,讨论函数及其图形的性态,解决一些实际问题.,,,,,本章重点,:,,微分中值定理;洛必塔法则;函数的极值、最值及其求法,,本章难点,:,,微分中值定理;函数的最值及其应用;函数的凹凸区间及拐点求法,,本节内容提要:,,,第一节 中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,,本节重点,,罗尔定理,、

2、拉格朗日中值定理的条件和结论 、几何意义及应用,,,本节难点,,罗尔定理,、拉格朗日中值定理的应用,,教学方法,,启发式,,教学手段,,多媒体课件和面授讲解相结合,,,教学课时,,2课时,,一、罗尔定理,,定理：如果函数f（x）满足：,,（1）在闭区间[a,b]上连续,,（2）在开区间（a,b）内可导。,,（3）f(a)=f(b)。,,则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得,,几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度相同，则在该曲线上存在一条水平切线.,,注:（1）ξ点不一定唯一。,,（2）定理的条件是充分的，但非必要的,,,例1：不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

3、(x-4)的导数，说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间。,,解：f(x)是一个边续可导函数，且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0,,f(x)在[1，2]，[2，3]，[3，4]上都满足罗尔定理的条件。,,存在 （1，2）， （2，3）， （3，4）， 使,,,即 至少有三个实根 （I=1,2,3）,,又 是三次方程，它至多有三个不同的实根，综上所述 有三个实根，分别位于 区间（1，2）（2，3）（3，4）内,,返回,,二、拉格朗日中值定理,,定理 如

4、果f(x)满足:,,（1）在闭区间[a,b]上连续。,,（2）在开区间（a,b）内可导。,,则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得,,,,注：若拉格朗日中值定理满足f(a)=f(b),即为罗尔定理,,几何意义：在每点都有切线的一段曲线上至少存在一点P（ξ，f(ξ)）,,使曲线在该点的切线平行于两端点的连线。,,,,推论1 设函数f(x)在（a,b）内可导，且 则f(x)在区间（a,b）内是一个常数,,推论2 设函数f(x)和g(x)在（a,b）内可导，且 则f(x)和g(x)相差一个常数c,即,,例3：证明（1）在[-1,1]上恒有,,（2）对任何实数恒有,,返回,,三﹑柯西中值定理,,定理 如果函数f(x)与 F(x)满足：,,在闭区间[a,b]上连续,,在开区间(a,b)内可导,,在(a,b）内的每一点处均不为零。,,则在（a,b）内至少存在一点 ,使得,,,,注：三个中值定理的关系：,,柯西中值定理 拉格朗日定理 罗尔定理。,,返回,,