11.1.2三角形的高、中线与角平分线

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,,*,24.1,圆的有关性质,第二十四章 圆,,导入新课,,,讲授新课,,,,当堂练习,,,,课堂小结,,,,,,,,24.1.2,垂直于弦的直径,1.,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形,.,,2.,理解,垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一,,,些简单的计算、证明和作图问题,.,（重点）,,3.,灵活运用垂径定理解决有关圆的问题,.,（难点）,学习目标,折一折：,你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？,,,,,在折的过程中你有何发现？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的

2、对称轴．,导入新课,问题,1,：,如图,,,AB,是,⊙,O,的一条弦,,,直径,CD,⊥,AB,,垂足为,E.,你能发现图中有那些相等的线段和劣弧,?,线段,:,AE,=,BE,弧,:,AC=BC, AD=BD,⌒,⌒,⌒,⌒,理由如下：连接,AO,,,BO,.,,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,AC,和,BC,,,AD,与,BD,重合．,⌒,⌒,⌒,⌒,·,O,A,B,C,D,E,,垂径定理及其推论,一,垂径定理,·,O,A,B,C,D,E,垂直于弦的直径,平分弦,,,并且平分弦所对的两条弧,.,∵,,CD,是直径

3、，,CD,⊥,AB,，,,∴,,AE,=,BE,,,⌒,⌒,AC,,=,BC,,,⌒,⌒,AD,=,BD,.,,归纳总结,推导格式：,温馨提示：,垂径定理是圆中一个重要的定理,,,三种语言要相互转化,,,形成整体,,,才能运用自如,.,想一想：,下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为,CD,没有过圆心,,,A,,,B,,O,C,D,E,,,O,A,B,C,,,,A,B,O,E,,,,A,B,D,C,O,E,,垂径定理的几个基本图形：,,,A,,,B,,O,C,D,E,,,A,,,B,,O,E,D,,,A,,,B,,O,,D,C,,,A,

4、,,B,,O,C,,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？,,①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；,,④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。,,,上述五个条件中的,任何两个条件,都可以推出其他三个结论吗？,,,思考探索：,,D,,,O,A,B,E,C,举例证明其中一种组合方法,,已知,:,,,,求证：,,① CD,是直径,② CD⊥AB,，垂足为,E,③ AE=BE,④ AC=BC ⑤ AD=BD,⌒,⌒,⌒,⌒,证明猜想：,如图，,AB,是⊙,O,的一条弦，作直径,CD,，使,AE=BE.,,（,1,）,CD,⊥,AB,吗

5、？为什么？,,（,2,）,·,O,A,B,C,D,E,,⌒,AC,与,BC,相等吗？,AD,与,BD,相等吗？为什么？,⌒,⌒,⌒,（,2,）由垂径定理可得,AC =BC,，,AD =BD.,⌒,⌒,⌒,⌒,证明举例：,（,1,）连接,AO,,,BO,,,则,AO,=,BO,,,又,AE,=,BE,，∴△,AOE,≌△,BOE,（,SSS,）,，,∴∠,AEO,=,∠,BEO,=90,°,，,∴,CD,⊥,AB,.,,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,,,并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理,的推论,,归纳总结,CD,⊥,AB,,,,CD,是直径,,AM=BM,⌒,⌒,AC,=,BC,,,

6、⌒,⌒,AD,=,BD,.,可推得,,,,,推导格式：,Ｄ,,Ｃ,Ａ,Ｂ,Ｅ,Ｏ,,思考：,“,不是直径,”,这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例,.,·,O,A,B,C,D,特别说明：,,圆的两条直径是互相平分的,.,,典例精析,例,1,,,如图，,OE,⊥,AB,于,E,，若,⊙,O,的半径为,10,cm,,,OE,=6,cm,,,则,AB,=,,cm,.,·,O,A,B,E,解析：连接,OA,，,∵,OE,⊥,AB,，,∴,AB,=2,AE,=16,cm,.,16,一,∴,cm.,,例,2,,,如图，,,⊙,,O,的弦,AB,＝,8,cm,,，,直径,CE,⊥,AB,于,D,，,DC,

7、＝,2,cm,，,求半径,OC,的长,.,·,O,A,B,E,C,D,解：连接,OA,，,∵,,CE,⊥,AB,于,D,，,∴,设,OC,=,x,cm,，,则,OD,=,x,-2,,,根据勾股定理，得,解得,x,=5,，,即半径,OC,的长为,5cm.,x,2,=4,2,+(,x,-2),2,，,例,3,：,已知：⊙,O,中弦,AB∥CD,,,求证：,AC,＝,BD.,⌒,⌒,.,,M,C,D,A,B,O,N,证明：作直径,MN⊥AB.,,∵,AB∥CD,，∴,MN⊥CD.,,则,AM,＝,BM,，,CM,＝,DM,,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）,,,AM,－,CM,＝,BM,－,DM,

8、,∴AC,＝,BD,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,⌒,,总结：,,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,.,,归纳总结,,垂径定理的实际应用,二,,我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,,,我的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37m,,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.23m,，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？,,,A,B,O,C,D,解：如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,,,所在圆的圆心为,O,，,半径为,R.,经过圆心,O,作弦,

9、AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与弧,AB,交于点,C,，,则,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,∴,AB,=37m,，,CD,=7.23m.,解得,R,≈,27.3,（,m,）,.,即主桥拱半径约为,27.3m.,,=,18.5,2,+(,R,-7.23),2,,,,∴,AD,=,AB,=18.5m,，,OD,=,OC,-,CD,=,R,-7.23.,,练一练：,如图,a,、,b,,一弓形弦长为,cm,，弓形所在的圆的半径为,7cm,，,则弓形的高为＿＿＿,____,＿,.,C,,,D,C,,B,,O,,A,,D,O,A,B,,图,a,图,b,2cm,或

10、,12cm,,在圆中有关弦长,a,,,半径,r,,,弦心距,d,（,圆心到弦的距离,），弓形高,h,的计算题时，常常通过,连半径,或作,弦心距,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,.,,方法归纳,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦,a,，,弦心距,d,，,弓形高,h,，,半径,r,之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,A,B,C,D,O,h,r,d,,d+h=r,,O,A,B,C,·,1.,已知,⊙,O,中，弦,AB,=8cm,，,圆心到,AB,的距离为,3cm,，则此圆的半径为,,,.,5cm,2.,⊙,O,的直径,AB,=20cm, ∠,BAC,=30,°,则弦,AC,=,___,

11、.,,10 3 cm,3.,（分类讨论题,）,已知,⊙,O,的半径为,10cm,，弦,MN∥EF,,,且,MN,=12cm,,EF,=16cm,,,则弦,MN,和,EF,之间的距离为,,____,,,.,14cm,或,2cm,当堂练习,4.,如图，在⊙,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,⊥,AB,于,D,，,OE,⊥,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形．,D,·,O,,A,B,C,E,证明：,∴,四边形,ADOE,为矩形，,又　∵,AC=AB,∴,AE=AD,∴,四边形,ADOE,为正方形,.,,5.,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的

12、弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。你认为,AC,和,BD,有什么关系？为什么？,证明：过,O,作,OE⊥AB,，垂足为,E,，,,则,AE,＝,BE,，,CE,＝,DE,。,,∴,AE,－,CE,＝,BE,－,DE,,,即,AC,＝,BD.,,,.,A,C,D,B,O,E,,,注意：,解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．,6,.,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,,,点,O,是弧,CD,的圆心,),,其中,CD,=,600m,,,E,为弧,CD,上的一点,,,且,OE,⊥,CD,，,垂足为,F,,,EF,=,90m,.,

13、求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,,●,,O,C,D,E,F,┗,设这段弯路的半径为,R,m,,,则,OF,=(,R,-90)m.,根据勾股定理，得,解得,R,=545.,∴,这段弯路的半径约为,545m.,拓展提升：,,7.,如图，,⊙,O,的直径为,10,，弦,AB,=,8,,,P,为,AB,上的一个动点，那么,OP,长的,取值范围,,.,3cm≤,OP,≤5cm,B,,,A,,O,P,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线,满足,:,①,过圆心,;,②,垂直于弦,; ③,平分弦,（,不是直径,）,;,④,平分弦所对的优弧,;,⑤,平分弦所对的劣弧,.,满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（,“,知二推三,”,）,垂直于弦的直径,平分弦,,,,并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线：,,连半径，作弦心距,构造,Rt△,利用勾股定理计算或建立方程,.,基本图形及变式图形,,,,,,课堂小结,