多元函数的微积分

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.2 多元函数的微积分,主要内容：,一,.,多元函数的概念,二.二元函数的极限和连续,三.偏导数的概念及简单计算,四.全微分,五.空间曲线的切线与法平面,六.曲面的切平面与法线,七.多元函数的极值,设,D,是平面上的一个点集如果对于每个点,P,(,x,，,y,),D,，,变量,z,按照一定法则总有确定的值和它对应，则称,z,是变量,x、y,的二元函数(或点,P,的函数)，记为,z,=,f,(,x,，,y,)(,或,z,=,f,(,P,),二元函数的定义：,其中,D,称为定义域，,x,，,y,称为自变量，,

2、z,称为因变量,类似地可定义三元及三元以上函数,当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函数,一.多元函数的概念,二元函数的图形：,二元函数的图形是一张曲面,例,z,=,a x,+,b,y,+c,是一张平面，,x,y,z,O,x,0,y,0,M,0,点集(,x,，,y,，,z,)|,z,=,f,(,x,，,y,)，(,x,，,y,),D,称为二元函数,z,f,(,x,，,y,),的图形,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,确定的函数,z,=,f,(,x,，,y,),有两个：,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,确定的函数,z,=,f,(,x,，,y,),是中心在原点，,它的定义域为,D,

3、=(,x,，,y,)|,x,2,y,2,a,2,O,x,y,半径为,a,的球面,二.二元函数的极限和连续,1.二元函数的极限,设函数,f,(,x,，,y,),在开区域(或闭区域),D,内有定义，,P,0,(,x,0,，,y,0,),是,D,的内点或边界点如果对于任意给定的正数,e,总存在正数,d,，,使得对于适合不等式,都有|,f,(,x,，,y,),A,|,e,成立，,则称常数,A,为函数,f,(,x,，,y,),当,x,x,0,，,y,y,0,时的极限，,记为,这里,r,|,P,P,0,|,我们把上述二元函数的极限叫做,二重极限,定义,的一切点,P,(,x,，,y,),D,，,(1),二重

4、极限存在，是指,P,以任何方式趋于,P,0,时，函数都无限接近于,A,.,例,当点,P,(,x,，,y,),沿,x,轴、,y,轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，,当点,P,(,x,，,y,),沿直线,y,=,k,x,趋于点(0，0)时,注意：,(2),如果当,P,以两种不同方式趋于,P,0,时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在,则称函数,f,(,x,，,y,),在点,P,0,(,x,0,，,y,0,),连续,定义：,设函数,f,(,x,y,),在开区域(或闭区域),D,内有定义,P,0,(,x,0,y,0,),D,函数,f,(,x,，,y,),在区域(开区域或闭区域),D,内连续：是指函

5、数,f,(,x,，,y,),在,D,内每一点连续此时称,f,(,x,，,y,),是,D,内的连续函数,二元函数的连续性概念可相应地推广到,n,元函数,f,(,P,),上去,2.,二元函数的连续性,如果,所以函数在原点不连续,.,例,函数在单位圆,上各点是否连续？,解：,如果,函数在单位圆上任何点都连续,若在单位圆上任何点都不连续,设函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),的某一邻域内有定义，,当,y,固定,在,y,0,而,x,在,x,0,处有增量,x,时，,相应地函数有增量,f,(,x,0,x,，,y,0,),f,(,x,0,，,y,0,)，,（）如果极限,存在，,则

6、称此极限为函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),处对,x,的偏导数，记作,定义,偏导数的概念及简单计算,1.偏导数的概念：,记作,（）如果极限,则称此极限为函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),处对,y,的偏导数，,存在，,对自变量的偏导函数，记作,偏导函数：,如果函数,z,f,(,x,，,y,),在区域,D,内每一点(,x,，,y,),处对,x,的偏导数都,存在，,那么这个偏导数就是,x,、,y,的函数，,它就称为函数,z,f,(,x,，,y,),类似地，可定义函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),处对,y,

7、的偏导,函数，,记为,偏导数与偏导函数的关系：,2.一阶偏导数的计算,注意：,看成二者之商,.,例,3,求,z,x,2,3,x,y,y,2,在点(1，2)处的偏导数,解,3.二阶偏导数的计算,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数,二阶偏导数：,设函数,z,f,(,x,，,y,),在区域,D,内具有偏导数,那么在,D,内,f,x,(,x,，,y,)、,f,y,(,x,，,y,),都是,x,，,y,的函数如果这两个函数,的偏导数也存在,则称它们是函数,z,f,(,x,，,y,),的二偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,其中,称为,混合偏导数,同样可得三阶、四阶以及,n,阶偏导数

8、,高阶偏导数:,解,在对,x,求导就有,得证.,设,z,f,(,u,，,v,)，,而,u,j,(,x,，,y,)，,v,y,(,x,，,y,)，,则复合函数,4.复合函数的微分法(链式法则),z,f,j,(,x,，,y,)，,y,(,x,，,y,),的偏导数为：,四.全微分,全增量：,z,f,(,x,x,，,y,y,),f,(,x,，,y,),称为函数在点,P(x，y),对,自变量增量,x,、,y,的全增量,全微分的定义：,如果函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,，,y,),的全增量,记作,dz,或,df,(,x,y,),即,或,可微:,当函数,z,=,f,(,x,y,),在,(,x

9、,y,),全微分存在时,称,z,=,f,(,x,y,),在,(,x,y,),可微.,当函数,z,=,f,(,x,y,),在区域,D,的每一点都可微时,称,z,=,f,(,x,y,),在,区域,D,可微.,定理1,函数,z,=,f,(,x,y,),在其一阶偏导数连续时一定可微.,定理2,函数,z,=,f,(,x,y,),在可微点连续.,定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数,连续，则它可微,且其全微分为,解,由定义知,所以,得,解,因为,所以,五空间曲线的切线与法平面,定义:,设在空间曲线 上有一个定点,，,在其邻近处取 上另一点,，,并作割线,令 沿 趋近 ，,那么割线的极限位置,的,

10、切线,就是曲线 在点,M,M,x,y,z,O,T,设空间曲线,的参数方程为,得曲线在点,M,处的切线方程为,过曲线,上,t,t,0,和,t,t,0,t,对应的,考虑,当,M,M,，,即,t,0,时,x,(,t,)，,y,y,(,t,)，,z,w,(,t,),这里假定,(,t,)，,y,(,t,)，,w,(,t,),都可导,点,M,和,M,，,作曲线的割线,M,M,，,x,y,z,O,M,通过点,M,而与切线垂直的平面,法平面：,x,y,z,O,M,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,称为曲线,在点,M,处的法平面

11、.,法平面方程为:,例,9,求曲线,x,t,，,y,t,2,，,z,t,3,在点(1，1，1)处的切线及法平面,于是，切线方程为,法平面方程为,(,x,1),2(,y,1),3(,z,1),0，,即,x,2,y,3,z,6,方程.,数,t,1，,所以,曲面,上通过点,M,的一切曲线在点,M,的切线都在,同一个平面上这个平面称为曲面,在点,M,的切平面,通过点,M,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),而垂直于切平面的直线称为曲面在该,曲面的切平面：,曲面的法线：,六曲面的切平面与法线,曲面的法向量：,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,点的法线,其中函数,z=f(x,y),具有连续的一

12、阶偏导数,法线的方程,为,切平面方程为：,解,f,(,x,，,y,),3x,2,2,y,2,，,例,10,求抛物面,z,3,x,2,2,y,2,在点,P(1,，,-1,，,5),处的切平面方程及,所以在点(2，1，4)处的切平面方程为,6(,x,1),-4,(,y,+,1),(,z,5),0，,即,6,x,-4,y,z,5,0,法线方程为,法线方程,七多元函数的极值,设函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),的某个邻域内有定义，对于该,邻域内异开(,x,0,，,y,0,),的点(,x,，,y,)：,如果都适合不等式,f,(,x,，,y,),f,(,x,0,，,y,0,

13、)，,则称函数在点(,x,0,，,y,0,),有极小值,f,(,x,0,，,y,0,),极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点,极值的定义：,定理,有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值,例,11,函数,z,(,x-2),2,(,y-3),2-1,在点,(,2,，,3),处有极小值,-1,也有使函数值为负的点,因为在点(0，0)处的函数值为零，,而在点(0，0)的任一邻域,内，,总有使函数值为正的点，,取得极小值,处既不取得极大值也不,在点,函数,例,),0,0,(,4,xy,z,=,定理,设函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),具有偏导数，且在点

14、,取得极值的必要条件：,(,x,0,，,y,0,),处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：,驻点：,函数,z,f,(,x,，,y,),的驻点,注意,：,函数的驻点不一定是极值点,极值点一定是驻点,如：函数,（，）点,是其驻点，但不是其极值点,定理,设函数,z,f,(,x,，,y,),在点(,x,0,，,y,0,),的某邻域内连续且有一,取得极值的充分条件：,(3),AC,B,2,0,时可能有极值，也可能没有极值,(2),AC,B,2,0,时具有极值，且当,A,0,时有,极小值,；,则,f,(,x,，,y,),在(,x,0,，,y,0,),处是否取得极值的条件如下：,阶及二阶连续偏导数，又,f,

15、x,(,x,0,，,y,0,),0，,f,y,(,x,0,，,y,0,),0，,令,求二元函数极值的步骤：,f,x,(,x,，,y,),0，,f,y,(,x,，,y,),0，,第一步 解方程组,求得一切实数解，即可得一切驻点,第二步 对于每一个驻点(,x,0,，,y,0,)，,求出二阶,偏导数的,值,A,、,B,和,C,第三步 定出,AC,B,2,的符号，按定理的结论判,f,(,x,0,，,y,0,),是否是极值、是极大值 还是极小值,例,12,求函数,f,(,x,，,y,),x,3,y,3,3,x,2,3,y,2,9,x,的极值,求得驻点为(1，0)、(1，2)、(,3，0)、(,3，2),

16、在点(1，0)处，,AC,B,2,1260，,又,A,0，,所以函数的(1，0),处有极小值,f,(1，0),5,；,在点(1，2)处，,AC,B,2,12(,6)0，,所以,f,(1，2),不是极值；,在点(,3，0)处，,AC,B,2,1260，,又,A,0，,所以函数的,(,3，2)处有极大值,f,(,3，2),31,f,xx,(,x,，,y,),6,x,6，,f,xy,(,x,，,y,),0，,f,yy,(,x,，,y,),6,y,6,再求出二阶偏导数,八,.,小结,1 多元函数的概念,2 二元函数的极限,3 二元函数的连续性,(1)偏导数的概念,(2)一阶偏导数的计算,(3)二阶偏导数的计算,(4)复合函数的微分法,5 全微分,4 偏导数的概念及简单计算,6空间曲线的切线与法平面,7曲面的切平面与法线,8.多元函数的极值,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,函数极值的求法,九.作业,习题6.2,2,4,6,8,10,