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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,,*,2024/11/27,1,,作业,P88,习题,4.1,,5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3).,,P122,综合题,:,,4. 5.,复习,：,P80——88,,预习,：,P89——95,,2024/11/27,2,应用导数研究函数性态,局部性态,—,未定型极限,,函数的局部近似,整体性态,—,在某个区间上,,函数的单调性、函数的极值,,函数的凸性、渐近性、图形,,,2024/11/27,3,微分中值定理，包括：,,罗尔定理、拉格朗中值定理、,,柯西中值定
2、理、泰勒中值定理,,微分中值定理是微分学的理论基础。是,,利用导数研究函数性质的理论依据。,,微分中值定理的共同特点是：,,在一定的条件下，可以断定在所给区间,,内至少有一点，使所研究的函数在该点具有,,某种微分性质。,,,2024/11/27,4,第八讲 微分中值定理,一、费尔马,,( Fermat ),定理,二、罗尔,,( Rolle ),定理,三、拉格朗日,(Lagrange ),定理,四、柯西,,(Cauchy ),定理,,,2024/11/27,5,一、费尔马,,( Fermat ),定理,（一）极值的定义：,,,2024/11/27,6,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,,,
3、2024/11/27,7,（二）费尔马定理,(,极值必要条件,),,,2024/11/27,8,,,2024/11/27,9,[,证,],,,2024/11/27,10,,,2024/11/27,11,微分中值定理的引入,(,(,(,,,2024/11/27,12,,,,2024/11/27,13,,,,2024/11/27,14,,,,,2024/11/27,15,二、罗尔,,( Rolle ),定理,,,2024/11/27,16,怎样证明罗尔定理 ？,先利用形象思维,,去找出一个,C,点来！,想到利用闭区间上连续函数,,的最大最小值定理！,,,2024/11/27,17,罗尔定理的证明
4、：,,,2024/11/27,18,,,2024/11/27,19,三、拉格朗日,(Lagrange ),定理,,,2024/11/27,20,怎样证明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加条件,:,则收缩为罗尔定理；,罗尔定理若放弃条件,:,则推广为拉格朗日定理。,,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探,,索的,新问题,转化为已掌握的,老问题,。,因此想到利用罗尔定理！,,,2024/11/27,21,满足罗尔定理条件,,,弦线与,f(x),在端点处相等,设,函数,2024/11/27,22,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,,,2024/11/27,23,拉格朗日公式各种形
5、式,,,有限增量公式,2024/11/27,24,,,2024/11/27,25,推论,1,：,[,证,],,,2024/11/27,26,推论,2,：,推论,3,：,推论,4,：,,,2024/11/27,27,四、柯西,,(Cauchy ),定理,,,2024/11/27,28,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,,,2024/11/27,29,,,,,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,,,2024/11/27,30,零点问题,,,,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数,,就是两条曲线,,,2024/11/27,31,首先证明至少有三个根,计算表明,根据介值定理,因此方程至少有
6、三个根,然后证明方程最多有三个根,用反证法,,,2024/11/27,32,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个实根,,,35,2024/11/27,33,直观观察可以启发思路,在第一种情形,,,都不是最小值,所以最小值一定在区间内部达到,,,2024/11/27,34,[,证,],,,2024/11/27,35,证明思路直观分析,[,例,3],,,2024/11/27,36,[,证,],根据连续函数的最大最小值定理,,,2024/11/27,37,,,[,证,],2024/11/27,38,,,44,2024/11/27,39,,,[,证,],2024/11/27,40,,,2024/11/27,41,,,[,证,],2024/11/27,42,,,2024/11/27,43,,,2024/11/27,44,[,证,],,,2024/11/27,45,,,2024/11/27,46,,,[,证,],2024/11/27,47,,,2024/11/27,48,,,2024/11/27,49,,,[,证,],2024/11/27,50,,,2024/11/27,51,,,
清华大学微积分高等数学课件第8讲微分中值定理
