微积分04 微分中值定理

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第一节 微分中值定理,一、罗尔定理,,二、拉格朗日中值定理,,,定理1,设函数,f,(,x,)满足,(1) 在闭区间[,a,b,]上连续,,(2) 在开区间(,a,b,)内可导,,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),,注意,：罗尔,中值,定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.,一、,罗尔中值定理,,罗尔中值定理几何意义：,若曲线弧在[,a,,,b,]上为连续弧段，在(,a,,,b,)内曲线弧上每点都有不平行于,y,轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同

2、，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于,x,轴.,,定理2,设函数,f,(,x,)满足,(1) 在闭区间[,a,b,]上连续；,(2) 在开区间(,a,b,)内可导；,则至少存在一点,分析,与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是,f,(,a,)=,f,(,b,).如果能由,f,(,x,)构造一个新函数 使 在[,a,b,]上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.,二、,拉格朗日中值定理,,拉格朗日中值定理的几何意义：,如果在[,a,,,

3、b,]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于,x,轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.,弦线的方程为,作辅助函数,即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.,,推论1,若 在(,a,b,)内恒等于零，则,f,(,x,)在(,a,b,)内必为某常数.,事实上，对于(,a,b,)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得,由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：,位于,x,1，,x,2,之间，故有,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,).由,x

4、,1，,x,2,的任意性可知,f,(,x,)在(,a,b,)内恒为某常数.,,推论2,若在(,a,b,)内恒有　 　，则有,其中,C,为某常数.,由推论1可知,f,(,x,)－,g,(,x,)=,C,，即,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,.,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,,,事实上，由已知条件及导数运算性质可得,,例１,试证,对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设,f,(,x,)=arctan,x,.,证,设,f,(,x,)=arctan,x,,不妨设,a

5、a,b,)内可导.,可知必定存在一点 ,,使得 由于,因此arctan,x,在[,a,b,]上满足拉格朗日中值定理条件.,,由于 ，因此,从而有,,例２,当,x,>0时,试证不等式,分析,取,f,(,t,)=ln(1+,t,) ，,a,=0，,b,=,x.,则,f,(,t,)=ln(1+,t,) 在区间[0,,x,]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得,.,,说明 本例中，若令,y=,ln,t，a,=1，

6、,b,=1+,x,，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，,f,(,x,)与[,a,b,]的选取不是惟一的.,即,进而知,,第二节 洛必达法则,,如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大.,那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.,并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法——,洛必达 法则,.,,,一、,定理,１ 如果,f,(,x,)

7、和,g,(,x,)满足下列条件：,那么,,定理２,如果,f,(,x,)和,g,(,x,)满足下列条件：,那么,,例1,为 型，由洛必达法则有,解,,例2,为 型，由洛必达法则有,解,,例3,为 型，由洛必达法则有,解,,例4,为 型，由洛必达法则有,解,,,二,、,定理３,如果函数,f,(,x,)，,g,(,x,)满足下列条件：,那么,,定理4,如果函数,f,(,x,)，,g,(,x,)满足下列条件：,那么,,例5,为 型，由洛必达法则有,解,,例6,为 型，由洛必达法则有,解,,,三、,可化为 　 型或 　型极限,,1.如果

8、 ， 则称,对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如,,或,,2.如果,,例7,解,,例8,解,,应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.,例9,为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到,解,说明 如果 型或 型极限中含有非零因子，,,如果引入等价无穷小代换，则,例10,解,所给极限为 型，可以由洛必达法则求之.,注意极限过程为,,但是注意到所求极限的函数中含有因子 ，且

9、 ，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.,例11,又当 时， ，故,所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则.,解,,,第三节 函数的单调性，极值和最值,一、函数的单调性,,二、函数的极值,,三、函数的最大值和最小值,,,,,如果函数,f,(,x,)在某区间上单调增加，则它的图形是随,x,的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负，即 .,如果函数,f,(,x,)在某区间上单调减少，则它的图形是随,x,的增大

10、而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正，即 .,一、,函数的单调性,,定理１,设函数,f,(,x,)在[,a,b,]上连续，在(,a,b,)内可导.则有,(1) 如果在(,a,b,)内 ，那么，函数,f,(,x,)在[,a,b,]上单调增加.,(2) 如果在(,a,b,)内 ，那么，函数,f,(,x,)在[,a,b,]上单调减少.,,例1,解,,,在(－2,1)内所给的函数严格单调减少.,由此可知，在 及 内，所给函

11、数严格单调增加，,例2,解,,例3,解,为了研究函数的单调性，我们只关心　在上述四个子区间内的符号，,这三个点,x,=－1，0，1将,y,的定义域　　　　分为　　　　　　　　 四个子区间.,,表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.,第二栏标出　在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表：,x,,－１,,0,,1,,,－,0,+,不存在,－,0,+,y,,,,,,,,可知所给函数严格单调增加区间为　　　　 　.,严格单调减少区间为 .,,如果,F,(,x,)满足下面的条件：,F,(,x,)

12、=,f,(,x,)－,g,(,x,),往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是：,,例4,解,,在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.,,二、,函数的极值,,定义１,设函数,f,(,x,)在,x,0,的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于,x,0,的,x,都有,,(1) 成立，则称 为,f,(,x,)的,极大值,，称 为,f,(,x,)的,极大值点,；,(2

13、) 成立，则称 为,f,(,x,)的,极小值,，称 为,f,(,x,)的,极小值点,.,极大值、极小值统称为,极值,.极大值点、极小值点统称为,极值点,.,,定理２(极值的必要条件),设函数,f,(,x,)在点,x,0,处可导，且,x,0,为,f,(,x,)的极值点，则,注意,：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.,例如 为其驻点，但是,x,=0不是 的极值点.,还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极值点.,,由上述可知，欲求

14、函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:,定理３(判定极值的第一充分条件),设函数,y=f,(,x,)在点,x,0,连续，且在,x,0,的某邻域内可导(点,x,0,可除外).如果在该邻域内,如果,f,(,x,)在,x,0,的两侧保持相同符号，则,x,0,不是,f,(,x,)的极值点.,,因此可知,x,0,为,f,(,x,)的极大值点.,对于情形(2)也可以进行类似分析.,分析,对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知，,当 时，,f,(,x,)单调增加；,当 时，,f,(,x,)单调减少，,,(3)判定每个驻点和导数不存在

15、的点 两侧(在,x,i,较小的邻域内) 的符号，依定理３判定,x,i,是否为,f,(,x,)的极值点.,由定理判定函数极值一般步骤为：,,令 ，得函数的两个驻点：,x,1,= –1，,x,2,=2.,内存在，函数的两个驻点,x,1,= –1，,x,2,=2把 分成 三个子区间.,例1,所给函数的定义域为 .,解,x,,–1,(–1,2),2,,,+,0,–,0,+,y,,极大值,

16、,极小值,,–10,,,可知,x,=0为,y,的极小值点，极小值为0.,例2,所给的函数定义域为 .,解,,非极值,,极小,0,,y,+,0,+,0,–,,,1,(0,1),0,,x,,例3,所给的函数定义域为 .,解,x,,–1,(–1,0),0,(0,1),1,,,–,0,+,不存在,–,0,+,y,,极小值,,,极大值,,０,,极小值,,,定理4　(判定极值的第二充分条件),设函数,f,(,x,)在点,x,0,处具有二阶导数，且 则,当二阶导数易求，且驻点,

17、x,0处的二阶导数 　 时，利用判定极值的第二充分条件判定驻点 　 是否为极值点比较方便.,,,例4,所给的函数定义域为 .,解,,,上述求函数极值与极值点的方法可总结为:,欲求连续函数,f,(,x,)的极值点，需,(1) 求出,f,(,x,)的定义域.,(4) 如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.,(2) 求出 .在,f,(,x,)的定义域内求出,f,(,x,)的全部驻点及导数不存在的点.,(3) 判定在上述点两侧 的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点

18、.,,由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果,f,(,x,)在[,a,b,]上连续，则,f,(,x,)在[,a,b,]上必定能取得最大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、最小值是本段的基本问题.,三、,函数的,最大值和最小值,,求[,a,b,]上连续函数的最大值、最小值的步骤：,(1)求出,f,(,x,)的所有位于(,a,b,)内的驻点,(2)求出,f,(,x,)在(,a,b,)内导数不存在的点,(3)比较导数为零的点和导数不存在的点的,y,值及,f,(,a,)和,f,(,b,).其中最大的值即为最大值，最小的值即为最小值，相应的点为最大值点和最小值点.,,由上述分析可以看

19、出，最大值与最小值是函数,f,(,x,)在区间[,a,b,]上的整体性质，而极大值与极小值是函数,f,(,x,)在某点邻域内的局部性质.,,例5,由于所给函数为[–1,2]上的连续函数.,解,,可知,f,(,x,)在[0,3]上的最大值点为,x,=2，最大值为,f,(2)=1.,例6,所给函数为[0,3]上的连续函数.,解,最小 值 点为,x,=0，最小值为,,由隐函数求导法则可以得出过,M,点的切线斜率,例7,任取 上的点,M,(,x,y,)，且,x,>0，,y,>0.,解,因而过,M,(,x,y,)的切线方程为,,可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为

20、,但是,S,最小当且仅当其分母 最大.,令,X,=0，得切线在,y,轴上的截距 .,令,Y,=0，得切线在,x,轴上的截距 .,,而且所求的驻点唯一，因此点 为所求最小值点，最小面积为,ab,.,由问题实际意义知，所围三角形面积存在最小值，,,如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.,有必要指出，对于在实际的问题中求其最大(小)值，首先应该建立目标函数.,然后求

21、出目标函数在定义区间内的驻点.,如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.,,例8,欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽为多少米时，才能使所用材料费最少？,设所围矩形场地正面长为,x,m，另一边长为,y,m，则矩形场地面积为,xy,=150， .,解,设四面围墙的高相同，都为,h,，则四面围墙所使用材料的费用,f,(,x,)为,,由于驻点唯一，由实际意义可知，问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为1

22、5米时，所用材料费最少.,,第四节 曲线的凹凸性与拐点,一、曲线的凹凸性,,二、曲线的拐点,,对于任意的 ，曲线弧,y,=,f,(,x,),过点 的切线总位于曲线弧,y=f,(,x,),的下方，则称曲线弧,y=f,(,x,),在,[,a,b,],上为,凹,的,.,定义１,设函数,f,(,x,)在[,a,b,]上连续，在(,a,b,)内可导.,,(2) 若对于任意的 ，曲线弧,y,=,f,(,x,)过点 的切线总位于曲线弧,y=f,(,x,)的上方，则称曲线弧,y=f,(,x,)在

23、[,a,b,]上为,凸,的.,一、,曲线的凹凸性,,如果,y=f,(,x,)在(,a,b,)内二阶可导，则可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.,定理(曲线凹凸的判定法),设函数,y=f,(,x,)在[,a,b,]上连续，在(,a,b,)内二阶可导.,(1) 若在(,a,b,)内 ，则曲线弧,y=f,(,x,)在[,a,b,]上为凹的.,(2) 若在(,a,b,)内 ，则曲线弧,y=f,(,x,)在[,a,b,]上为凸的.,,判定曲线弧,y=x,arctan,x,的凹凸性.,故,y=x,arctan,x,在

24、 内为凹的.,例1,所给曲线在 内为连续曲线弧.由于,解,,判定曲线弧 的凹凸性.,因此当,x,<0时， ，可知曲线弧 为凸的.,当,x,>0时， ，可知曲线弧 为凹的.,例2,所给曲线在 内为连续曲线弧.由于,解,,定义,连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点，称为该曲线弧的,拐点,.,二、曲线的拐点,,试判定点,M,(0,0)是否为下列曲线弧的拐点.,例3,分析,,从而知点(0,0)为曲线弧 的拐点.,,(1) 在,f,

25、(,x,)所定义的区间内，求出二阶导数 等于零的点.,(2) 求出二阶导数 不存在的点.,判断连续曲线弧拐点的步骤：,(3) 判定上述点两侧， 是否异号.如果 在 的两侧异号，则 为曲线弧的,y=f,(,x,)的拐点.如果 在 的两侧同号，则 不为曲线弧,y=f,(,x,)的拐点.,,讨论曲线弧 的凹凸性，并求其拐点.,x,,1,( 1,2),2,,,+,

26、0,－,0,+,y,凹,拐点,,(1,－3),凸,拐点,,(2,6),凹,例4,所给函数,内连续.,解,,可知所给曲线弧在 内为凹的.在(1,2)为凸的.,拐点为点 (1,－3)与点 (2,6).,,讨论曲线 的凹凸性，并求其拐点.,例5,所给函数,内为连续函数.,解,,,,,,,,,－,0,+,不存在,+,,y,,凸,拐点,,凹,,非拐点,,凹,可知所给曲线在 为凸的.,在 内为凹的.,,第五节 函数图形的描绘,一、渐近线,,二、函数的作图,

27、,定义,点,M,沿曲线,y=f,(,x,)无限远离坐标原点时，若点,M,与某定直线,L,之间的距离趋于零，则称直线,L,为曲线,y=f,(,x,)的一条渐近线.,,,一、,渐近线,,,1.水平渐近线,当且仅当下列三各情形之一成立时，直线,y=c,为曲线,y=f,(,x,)的水平渐近线：,,2.铅直渐近线,当且仅当下列三各情形之一成立时，直线 为曲线,y=f,(,x,)的铅直渐近线：,,可知,y,=0所给曲线的水平渐近线.,例1,解,,可知,x=,–1为所给曲线的铅直渐近线(在,x,=,–,1的两侧,f,(,x,)的趋向不同！),可知,x,=3为所给曲线的铅直渐近线(在,x,

28、= 3的两侧,f,(,x,)的趋向不同！),,例2,所给的函数的定义域为,解,,二、,函数的作图,利用导数描绘图形的一般步骤如下：,,(1),确定函数 的定义域及函数所具有的某些特性,(,如奇偶性、周期性等)，并求出函数的一阶导数 和二阶导数 ；,(2)求出一阶导数 和二阶导数 在函数定义域内的全部零点，并求出函数 的间断点及 和 不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间;,,(4),确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；,(3),确定在这些部分区间内 和

29、 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点；,(5) 算出 和 的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点.为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合(3)、(4)中得到的结果，联结这些点画出函数 的图形.,(5) 算出 和 的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点.为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合(3)、(4)中得到的结果，联结这些点画出函数 的图形.,,是连续的非奇非偶函数，非周期函数.,例3,解,所给函数的定义域为 ，,

30、,x,,1,( 1,2),2,(2,3),3,,,+,0,–,,–,0,+,,–,,–,0,+,,+,y,凸,,极大,,2,凸,,拐点,,,(2,0),凹,极小,,–2,凹,所给函数图形无渐近线.,再补充点(0,–2).,,函数为奇函数，只需研究　 内函数的情形,可知,y,=0为该曲线的水平渐近线.,该曲线没有铅直渐近线.,例4,所给函数的定义域为 .,解,由于,,x,(0,1),1,,,,,+,0,–,,–,,–,–,–,0,+,y,凸,极大,凸,,拐点,,凹,列表分析：,故在,x,<0的邻域内，曲线是凹的.所以点(0,0)为拐点.,因为函数为连续的奇

31、函数，,在,x,>0的邻域内，曲线是凸的，,,可知,y,=0为该曲线的水平渐近线.,函数为偶函数，因此其图形关于,y,轴对称.,该曲线没有铅直渐近线.,例5,所给函数的定义域为 .,解,,x,,,,0,,,,,+,,+,0,–,–,–,,+,0,–,,–,+,+,y,凹,,拐点,,凹,极大值1,,凸,拐点,凹,,第六节 曲率,一、弧微分,,二、曲率,,,当自变量在点,x,取得增量 时，设 对应于曲线弧上点,N,，则在点,M,取得弧长增量为,一、,弧微分,,其中|,MN,|为弦,MN,的长 (弦长|,MN,|与弧长,MN,有相同的正负号)

32、 .,设函数,y=f,(,x,)具有一阶连续导数，注意到当 时，,N,沿曲线趋于,M,.可以证明 .于是,对(1)式两端取 时的极限，即得,从而,我们称d,s,为弧长,s,的微分，简称弧微分.,,例1,解,,1.曲线弯曲程度的二个要素,(1) 与转角有关,弧段 比较平直，当动点沿这段弧从,M,1,移动到,M,2,时，切线转过的角度 不大.弧段 弯曲得比较厉害，转角 就比较大.,(2) 与弧长有关,,两段曲线弧 及 ，

33、尽管切线转过的角度都是 ，但弯曲的程度并不一样，短弧段比长弧段弯曲得厉害.,二、曲率,,因此,而弧长的微分 ，因此，曲线,y=f,(,x,)在点,M,(,x,f,(,x,))处的曲率为,曲线,y=f,(,x,)在点,M,(,x,f,(,x,))处切线的倾角 满足,,求直线,L,上任意一点处的曲率.,由曲率公式可知，直线上任意一点处的曲率,K=,0.,例2,不妨认为直线,L,的方程为,y=ax+b,.,解,可得,,求圆周 上任意一点处的曲率.,因此,即圆周上各点处的曲率相同，皆等于该圆半径的倒数.,例3,设,M,(,x,y,)为圆周的任意一点，则由平面几何知识可知,解,,因此在点(,a,a,)处,例4,解,,试判定曲线(抛物线) 上哪一点处的曲率半径最小？,因此,分母为常数，知当2,ax+b,=0，即 时，,,R,最小.,此时 ，曲线上相应点为 .,例5,由,解,此乃抛物线的顶点，直观上也容易知顶点处的曲率最大.,,