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1、第八节函数的连续性与间断点,二 函数的间断点类型,一 函数的连续性,三 小结与思考判断题,1.函数的增量,一、函数的连续性,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,定义3,定义4,例2,解,右连续但不左连续 ,,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的,连续函数,,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,,例3,证,二、函数的间断点及其类型,定义5,间断点分为第一类间断点与第二类间断点.,,第一类间断点 如果 在间断点 处左右极限存在,则称点 为 的第一类间断点.,,第二类间
2、断点 如果 在间断点 处左右极限,,中至少有一个不存在,则称点 为 的第二类间断点.特别地有:,,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意,,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,,特点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,例6,解,3.无穷间断点：,如果 在点 处左、右极限,至少有一个为无穷大，则称点 为函数 的无,穷间断点.,4、振荡间断点：如果 在点 处无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称 为函数 的振荡间断点.,例7,在
3、定义域,R,内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,函数,例8,解,例9,,函数 在点,,是否间断?属于那种类型?能否补充或改变函数在该点定义使之连续?,,解,函数 在点,,没有定义,所以 是函数的间断点.对于,,,,.,因为 ,所以 是第一类间断点 .,,令 ,即可使函数在 处连续.,,对于 ,,,因为 ,所以 是第二类间断点且为无穷间断点 .,,,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:,可去型,跳跃型.,第二类间断点:,无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),小结,三、小结与思考判断题,可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,判断思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,
微积分课件1-8函数的连续性与间断点
