空间解析几何基本知识《微积分》

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1、,*,,,,,,,,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,7-1,空间解析几何基本知识,,第一节,一、空间直角坐标系,二、曲面及其方程的概念,三、几种常见的曲面及其方程,空间解析几何基本知识,第,七,章,,,Ⅶ,面,面,面,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅷ,x,轴,(,横轴,),y,轴,(,纵轴,),z,,轴,(,竖轴,),复习,1.,空间直角坐标系,,,2.,平面基本方程,:,一般式,复习,平面,A x,+,B y,+,C z,= 0,通过坐标原点；,3.,平面一般方程,的几种特殊情况：,截距式,,,平面过,x,,轴；,平面,//,x

2、,,轴；,平面,Cz,+,D,= 0,平行于,xoy,,坐标面；,平面过,y,,轴；,平面,//,y,,轴；,平面,By,+,D,=0,平行于,xoz,,坐标面；,平面,Ax,+,D,=0,平行于,yoz,,坐标面,.,平面过,z,,轴；,平面,//,z,,轴,.,,,4.,柱面方程的,特征：,只含两个坐标的方程,一定是,柱面方程,，,缺少哪个变量字母，,母线,就,平行于哪个坐标轴,.,二元方程,都是柱面方程,25,,,引例,.,,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解,:,在,xoy,面上，,表示圆,C,,,沿曲线,C,平行于,,z,轴的一切直线,故在空间,过此点作,所形成的曲面

3、称为,圆柱面,.,对任意,z,,,平行,,z,,轴的直线,l ,,表示,圆柱面,,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,,,三、柱面,,,观察柱面的形成过程,:,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,这条,定曲线,C,,叫,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,C,一般的,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,

4、沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的

5、,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,

6、,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,C,平行于定直线,并,沿定曲线,C,移动的,直线,L,所,(1),定义,形成的曲面,称为,柱面,.,三、柱面,

7、观察柱面的形成过程,:,这条,定曲线,C,,叫,柱面的,准线，,直线,L,,叫柱面的,母线,.,动,,,（,2,）求柱面方程,设,母线,//,z,轴，,准线是,xoy,面,上的曲线,C,:,F,(,x,y,)=0.,设,M,(,x,y,z,),是柱面上的任一点，,作,面于,N,，,则,N,(,x, y,),是曲线,F,(,x,y,)=0,上的点，,则得,M,(,x,y,z,),点满足的方程为,F,(,x,y,)=0.,所以柱面方程为：,x,z,y,o,N,M,(,x,,,y,,,z,),F,(,x,y,)=0,只含,x,y,而缺,z,的方程,F,(,x,y,)=0,，,在空间直角坐标系,中表示

8、母线平行于,z,轴的柱面，,而准线为,xoy,面上的曲线,C,.,,,g,(,y,,,z,)=0,是,母线,//,x,轴,,,g,(,y,,,z,)=0,所构成的,柱面,.,类似地：,准线为,yoz,面,内的曲线,h,(,x,,,z,)=0,是,母线,//,y,轴,,,h,(,x,,,z,)=0,所构成的,柱面,.,准线为,xoz,面,内的曲线,注意：,柱面方程,一定是,二元方程,，,缺少哪个变量字母，,母线,就,平行于哪个坐标轴,.,,,柱面方程的,特征：,只含两个坐标的方程,一定是,柱面方程,，,缺少哪个变量字母，,母线,就,平行于哪个坐标轴,.,二元方程,都是柱面方程,,,抛物柱面,平面

9、,例,问方程,表示什么曲面？,z,x,y,o,抛物柱面,,,椭圆柱面,x,y,z,o,抛物柱面,双曲柱面,例如：,母线,//,x,轴,母线,//,z,轴,母线,//,y,轴,,,例,1,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,解,斜率为,1,的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方程,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直

10、线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为

11、,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,

12、曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转

13、,,,(1),定义,以一条,平面,这条,定直线,叫旋转曲,3,、旋转曲面,曲线,绕该平面上的,一条直线,旋转一周,所生成的曲面称为,旋转曲面,.,面的,轴,．,曲面的,母线,.,曲线,叫旋转,,,例如,:,,,(2),建立,yoz,面上曲线,C,,绕,z,,轴旋转所成曲面,的,方程,:,给定,yoz,,面上曲线,C,:,设所求曲面上的动点为,则点,M,一定是曲线上的某点转过来的,.,故旋转曲面方程为：,当绕,z,轴旋转时,,,设,则有,则有,该点转到,,,思考,：当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,总之：旋转曲面的方程方程：,yoz,面上的曲线,f,(,y,z,)=0,绕,z,轴旋转一周

14、所成的,旋转,曲面的方程：,yoz,坐标面上的已知曲线,f,(,y,z,)=0,绕,y,轴旋转一周的,旋转曲面的方程,为,,,例,3.,,求坐标面,xoz,,上的双曲线,分别绕,,x,轴和,z,,轴旋转一周所生成的旋转曲面方程,.,解,:,绕,x,,轴旋转,绕,z,,轴旋转,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,,,旋转抛物面,o,y,z,x,x,y,z,o,,,例,4.,,试建立顶点在原点,,,旋转轴为,z,轴,,,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,:,,在,yoz,面上直线,L,的方程为,绕,z,,轴旋转时,,,圆锥面的方程为,两边平方,,,该曲面叫,圆锥面,.,

15、方程的,特点：,叫,标准圆锥面,.,三元二次齐次方程,.,同理：,中心轴是,y,,轴,中心轴是,,x,,轴,.,也是,标准圆锥面,.,也是,标准圆锥面,.,是上半圆,锥面,.,,,旋转抛物面,.,旋转双叶双曲面,.,如,,,5,、其它的二次曲面,三元二次方程,这类曲面通常都可以先经过旋转,,,然后伸缩变形得到,称为,旋转,+,伸缩型二次曲面,,.,其基本类型有,:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,(,二次项系数不全为,0 ),特征：,,,1.,定义：,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,,,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍,.,研究二次曲面特性的

16、基本方法,:,截痕法,,,伸缩法,,.,其基本类型有,:,,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,(,二次项系数不全为,0 ),相应地,平面,被称为,一次曲面．,用,坐标面,和,平行于坐标面的平面,与曲面相截,,,了解曲面的全貌，,即为,截痕法,.,考察其交线,（即截痕）,的形状，,然后加以综合，从而,截痕法：,5,、其它的二次曲面,,,伸缩法：,,,o,z,y,x,将旋转椭球面 沿 轴方向伸缩 倍得：,2.,椭球面,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,球面,,,,,（,2,）双叶双曲面,o,z,y,x,x,y,o

17、,z,旋转双曲面,,,沿轴 方向伸缩 倍,,,x,y,z,o,o,y,z,x,,,设,a,,,b,均大于,0,,以平行于,xOy,面的平面,z,=,z,0,(,z,0,＞,0),截椭圆抛物面,,,所得截线方程为,它表示平面,z,=,z,0,上一椭圆,.,以,z,=,0,截曲面,,,截得一点为原点,.,,,,以平行于,xOz,面的平面,y,=,y,0,截曲面,,,截线方程为,,这是平面,y,=,y,0,上一条抛物线,.,以平行于,yOz,面的平面,x,=,x,0,截曲面所得截线是平面,x,=,x,0,上的一条抛物线,.,,,,,x,y,z,o,,,,1.,空间曲面,三元方程,球

18、面,旋转曲面,,柱面,----,二元方程,如,,,曲面,表示母线平行,z,,轴的柱面,.,又如,,,椭圆柱面,,,双曲柱面,,,抛物柱面等,.,,圆锥面的方程,时 叫标准圆锥面,.,yoz,面上的曲线,f,(,y,,z,)=0,绕,z,轴旋转一周所成的,旋转,曲面的方程：,内容小结,,,2.,二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面,:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,,,,B,B,,,空间曲线可视为两曲面的交线,,,其一般方程为方程组,例如,,,方程组,表示圆柱面与平面的交线,C,，是空间一个椭圆,.,C,一、空间

19、曲线的一般方程,补,,,又如,,,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线,C,.,,由于,是上半球面,,,是圆柱面,,,交线如图,,,叫维维尼曲线,,,例如,:,下列方程组各表示怎样的曲线？,所以，空间曲线的方程是不唯一的,.,,,三、空间曲线在坐标面上的投影,C,C,C,关于 的投影柱面,C,在 上的投影曲线,O,x,z,y,设曲线,则,C,关于,xoy,面的投影柱面方程应为消,z,后的方程：,所以,C,在,xoy,面上的投影曲线的方程为：,,,例,3.,解：,代入消元,求交线,C,的投影曲线的方程,.,由所给的方程相减得：,消去,z,得关于,xoy,面的,投影柱面,的方程

20、为,则交线,C,在,xoy,面上的,投影曲线,的方程为：,在,xoy,面上,,,总之,:,设空间曲线,C,消去,,z,得投影柱面,xoy,面上的投影曲线方程,与,xoy,面方程联立得,C,在,消去,x,得,C,在,yoz,,面上的投影曲线方程,消去,y,得,C,在,zox,面上的投影曲线方程,,,o,y,z,x,例,4.,求曲线,绕,z,,轴旋转的曲面与平面,的交线在,,xoy,平面的投影曲线方程,.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向,xoy,,面的投影柱面方程为,所以,此曲线在,xoy,面上的投影曲线方程为,,,它与所给平面的,,,例,5,,求曲线 在坐标面上的投影,.,解,（,1,）消去变量,z,后得,在 面上的投影为,,,所以在 面上的投影为线段,.,（,3,）同理在 面上的投影也为线段,.,（,2,）因为曲线在平面 上，,,,例如,,,所围的立体在,xOy,,面上的投影区域为,:,上半球面,和锥面,在,xOy,面上的投影曲线,二者交线,所围圆域,:,二者交线在,xOy,面上的投影曲线所围之域,.,,,补充,:,空间立体或曲面在坐标面上的投影,.,空间立体,曲面,,,