不等关系与不等式

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,3.1不等关系与不等式,,,现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：,1、,今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；,2、,三角形ABC的两边之和大于第三边；,3、,a,是一个非负实数。,7℃≤,t,≤13℃,AB,+,AC,>,BC,或……,a,≥0,,4、,右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度,v,不超过40km/h ，写成不等式是：_________,40,5、,某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的

2、含量,f,应不少于2.5%，蛋白质的含量,p,应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( ),v,≤40,A.,f,,≥,2.5%或,p,,≥,2.3%,B.,f,,≥,2.5%且,p,,≥,2.3%,C.,,我们用数学符号,“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”,连接两个数或代数式，以表示它们之间的,不等关系,。含有这些不等号的式子叫做,不等式,。,数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。,,练习1,：若需在长为,4000,mm圆钢上，截出长为,698,mm和,518,mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？,分析:,,设698mm与518mm分

3、别,x,与,y,个,,对于任意两个实数,a,和,b,，在,a,=,b,，,a,>,b,，,a,<,b,三种关系中,有且仅有,一种关系成立。,通常，“,如果,p,，则,q,”为正确命题，则简记为 ，读作“,p,推出,q,”.,,如果 都是正确的命题，记为,,读作“,p,等价于,q,或,q,等价于,p,”。,上述结论可以写成：,,,例1．比较,x,2,－,x,与,x,－2的大小。,解：(,x,2,－,x,)－(,x,－2)=,x,2,－2,x,+2,,=(,x,－1),2,+1，,因为(,x,－1),2,≥0，,,所以(

4、,x,2,－,x,)－(,x,－2)>0，,因此,x,2,－,x,>,x,－2.,,,,2. 比较,与,的大小.,解：,x,3,－(,x,2,－,x,+1)=,x,3,－,x,2,+,x,－1,,=,x,2,(,x,－1)+(,x,－1),,=(,x,－1)(,x,2,+1),,∵,x,2,+1>0，,,∴ 当,x,>1时，,x,3,>,x,2,－,x,+1；,当,x,=1时，,x,3,=,x,2,－,x,+1，,当,x,<1时，,x,3,<,x,2,－,x,+1.,,3.1.2《不等式的性质》,,,性质1：,如果,a,>,b,，那么,b,<,a,；如果,b,<,a,，那么,a,>,b,.,

5、性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的,对称性,。,性质2：,如果,a,>,b,，,b,>,c,，那么,a,>,c,.,这个性质也可以表示为,c,<,b,，,b,<,a,，则,c,<,a,.,,这个性质是不等式的,传递性,。,,,,,性质3：,如果,a,>,b,，则,a,+,c,>,b,+,c,.,,,性质3表明，不等式的,两边都加上同一个实数,，所得的不等式与原不等式同向.,推论1：,不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。 （,移项法则,）,,推论2：,如果,a,>,b,，,c,>,d,，则,

6、a,+,c,>,b,+,d,.,,根据不等式的传递性得,a,+,c,>,b,+,d,.,几个,同向不等式,的两边分别,相加,，所得的不等式与原不等式,同向,。,,推论1：,如果,a,>,b,>0，,c,>,d,>0，则,ac,>,bd,.,性质4：,如果,a,>,b,，,c,>0，则,ac,>,bc,；如果,a,>,b,，,c,<0，则,ac,<,bc,.,,根据不等式的传递性得,ac,>,bd,。,几个两边都是正数的,同向不等式,的两边分别,相乘,，所得的不等式与原不等式,同向,。,,推论2：,如果,a,>,b,>0，则,a,n,>,b,n,，(,n,∈,N,+,，,n,>1).,,,,推论

7、3：,如果,a,>,b,>0，则，,,(,n,∈,N,+,，,n,>1).,,例1：应用不等式的性质，思考下列不等式：,（1）已知,a,>,b,，,ab,>0，则： ；,（2）已知,a,>,b,，,c,<,d，,则：,a,－,c,>,b,－,d,；,（3）已知,a,>,b,>0，0<,c,<,d,，则：,,例2. 已知,a,>,b,，不等式:（1）,a,2,>,b,2,；（2） ；（3）,,成立的个数是（ ）,,（,A,）0 （,B,）1 （,C,）2 （,D,）3,A,,例3．设,A,=1+2,x,4,，,B,=

8、2,x,3,+,x,2,，,x,∈R，则,A,，,B,的大小关系是,,。,A,≥,B,,例4．（1）如果30<,x,<36，2<,y,<6，求,x,－2,y,及 的取值范围。,18<,x,－,2,y,<32,，,,（2）,若－3<,a,<,b,<1，－2<,c,<－1，,求(,a,－,b,),c,2,的取值范围。,因为－4<,a,－,b,<0，1<,c,2,<4，,,所以,－,16<(,a,－,b,),c,2,<0,,例,5,．若 ，求,,的取值范围。,,例6,求:,的取值范围.,已知:函数,解：因为,f,(,x,)=,ax,2,－,c,,

9、,所以,解之得,,所以,f,(3)=9,a,－,c,=,因为,所以,两式相加得－1≤,f,(3) ≤20.,,练习．已知－,4≤,a,－,b,≤,－,1,，－,1≤4,a,－,b,≤5,，求,9,a,－,b,的取值范围。,解：设,9,a,－,b,=,m,(,a,－,b,)+,n,(4,a,－,b,),,=(,m,+4,n,),a,－,(,m,+,n,),b,，,令,m,+4,n,=9,，－,(,m,+,n,)=,－,1,，解得，,所以,9,a,－,b,=,,(,a,－,b,)+,,(4,a,－,b,),,由－,4≤,a,－,b,≤,－,1,，得,由－,1≤4,a,－,b,≤5,，得,以上两式相加得－,1≤9,a,－,b,≤20.,,