数学建模之初等模型

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,,一,雨中行走问题,一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。,,1 建模准备,,建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋

2、湿的程度最小。,,主要因素：,,淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度,,2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位,,时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。,3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。,2 模型假设及符号说明,,1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。,,淋雨总量用 升来记。,,3 模型建立与计算,,1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。,淋雨的面积,雨中行走的时间,降雨强度,模型中,结论，,淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能,,减少淋雨量。,,从

3、而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。,,经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了,,2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。,,表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。,原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。,,2）考虑降雨方向。,,,人前进的方向,若记雨滴下落速度为 （米/秒）,雨滴的密度为,雨滴下落的反方向,表示在一定的时刻,,在单位体积的空间,,内，由雨滴所占的,,空间的比例数，也,,称为降雨强度系数。,所以，,因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。,,顶部的淋雨量,前表面淋雨量,总淋雨量（基本模型）,,

4、可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。,,问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。,情形1,结果表明：,淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时,,淋雨量达到最小。,,假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,,情形2,结果表明：,淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时,,淋雨量达到最小。,,假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形3,此时，雨滴将从后面向你身上落下。,,出现这个矛盾的原因：,我们给出的基本模型是针对雨从,,你的前面落到身上情形,。,,因此，对于这种情况要另行讨论。,当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即,这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是

5、,淋雨总量为,,,再次代如数据，得,结果表明：,当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋,,雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。,若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角,,从背后落下，你应该以,此时，淋雨总量为,这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。,,当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即,你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是,淋雨总量为,,4 结论,若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，,,应以最大的速度向前跑；,,若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，,,让它刚好等于落雨速度的水平分量。,,5 注意,,关于模型的检验

6、，请大家观察、体会并验证。,,雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重,,要性，模型的阶段适应性。,,二 席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，,,丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各,,有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,,20个席位的分配结果,系别,人数,所占比例,分配方案,席位数,甲,100,100/200,(50/100),•20=10,,乙,60,60/200,(30/100),•20=6,,丙,40,40/200,(20/100),•2

7、0=4,,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,系别,人数,所占比例,分配方案,席位数,甲,103,103/200=51.5%,51.5 %,•,20,=10.3,,乙,63,63/200=31.5%,31.5%,•20=6.3,,丙,34,34/200=17.0%,17.0%,•20=3.4,,10,6,4,10,6,4,现象1,,丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,,为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,系别,人数,所占比例,分配方案,席位数,甲,103,103/200=51.5%,51.5 %,•,21,=10.815,,乙,63,

8、63/200=31.5%,31.5%,•21=6.615,,丙,34,34/200=17.0%,17.0%,•21=3.,570,,11,7,3,现象2,,总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法,：,按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额,,按惯例分给小数部分较大者。,,存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。,,反映公平分配的数量指标可用,每席位代表的人数,来衡量。,系别,人数,席位数,每席位代表的人数,公平程度,甲,103,10,103/10=10.3,中,乙,63,6,63/6=10.5,差,丙,34,4,34/4

9、=8.5,好,系别,人数,席位数,每席位代表的人数,甲,100,10,100/10=10,乙,60,6,60/6=10,丙,40,4,40/4=10,,系别,人数,席位数,每席位代表的人数,公平程度,甲,103,11,103/11=9.36,中,乙,63,7,63/7=9,好,丙,34,3,34/3=11.33,差,一般地，,单位,人数,席位数,每席位代表的人数,A,,,,B,,,,当,席位分配公平,,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,单位,人数p,席位数n,每席位代表的人数,绝对不公平标准,A,120,10,12,

10、12-10=2,B,100,10,10,,C,1020,10,102,102-100,,=2,D,1000,10,100,,C,D,的不公平程度大为改善！,,2） 相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值,,越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A 的相对不公,,平值；,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,,对B 的相对不公,,平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建模,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不

11、失一般性，,有下面三种情形。,,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A,,不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单,,位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单,,位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论,：,当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，,,反之，应分配给 B 单位。,,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为,Q值方法,。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广,有m 方分配席位的情况,设,方人数

12、为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,,甲,1,,,,,,,,,,,乙,1,,,,,,,,,,,丙,1,,,,,,,,,,,,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住,,在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人,,委员会，试用惯例分配方法，,d’Hondt方法,和,,Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。,,d’Hondt方法,有k个单位，每单位的人数为 p,i ，,总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,,