5 线、面相对位置

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1、单击以编辑,母版标题样式,,单击以编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,第五章 点、直线与平面的相对位置,§5-1,平行问题,§5-2,相交问题,§5-3,垂直问题,§5-4,点、直线、平面的综合问题,,,一．直线与平面平行,,几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。,,有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；作平面与已知直线平行。,,,二．平面与平面平行,,几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的,相交,二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平

2、面平行的作图依据。,,两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点或直线作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。,§5-1,平行问题,,一、,直线与平面平行,,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,P,C,D,B,A,,试判断直线,AB,是否平行于定平面,,f,g,,f,,g,b,,a,,a,b,c,,e,,d,,e,d,c,结论：直线,AB,不平行于定平面,m,n,m′,n′,p′,p,TL,,试过点,K,作水平线,AB,平行于,Δ,CDE,平面,b,,a,,a,f,,f,b,c,,e,,d,,e,d,k,,k,c

3、,,二、两平面平行,,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行,P,S,E,F,D,A,C,B,,试判断两平面是否平行,f,,e,,d,,e,d,f,c,,a,,a,c,b,,b,m,,n,,m,n,r,,r,s,s,,结论：两平面平行,,,已知定平面由平行两直线,AB,和,CD,给定。试过点,K,作一平面平行于已知平面 。,e,m,,n,,m,n,f,,e,,f,s,r,,s,,r,d,,d,c,,a,,a,c,b,,b,k,,k,,试判断两平面是否平行,。,结论：两平面平行,e,f,,e,,f,s,r,,s,

4、,d,,d,c,,a,,a,c,b,,b,r,P,H,S,H,TL,,两平面的同名迹线相互平行，两平面相互平行,V,H,Q,V,Q,H,Q,X,P,V,P,H,P,X,P,P,V,,P,X,P,H,,Q,V,Q,H,Q,X,Q,,,平行问题小结,1,直线与特殊位置平面平行,平面的积聚投影与直线的同面投影平行。,,2,两特殊位置平面平行,平面的同面积聚投影平行。,,3,同面迹线相互平行 ，两平面平行,,4,一般位置直线与平面平行,一般位置直线与平面内一条直线平行 。,,5,两一般位置平面平行,两平面内有两条相交直线对应平行。,,,§5-2,相交问题,,直线与平面相交，有一个交点。二平面

5、相交有一条交线。下面讨论如何求交点和交线的作图问题。,交点或交线是参与,相交的几何元素所共有的点或直线，所以相交的实质就是共有,。,,一、,直线与平面相交,的,特殊情况,,二、平面与平面相交的特殊情况,,三、,直线与平面相交的一般,情况,,四、平面与平面相交的一般情况,,直线与平面相交,P,B,A,K,,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。,,,交点的特性：,交点总是可见，而且是可见与不可见的分界点。,,M,B,C,A,,平面与平面相交,F,K,N,L,,两平面的交线是相交二平面的共有线。欲求二平面的交线，只要求得属于交线的任意两点，然后将两点相连即可。。,,,交线的特性,：,

6、交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。,,一、直线与平面相交的特殊情况,,直,线与平面相交的特殊情况，系指参与相交的直线或平面，其中之一对投影面处于垂直的位置，它在该面上的投影有,积聚性，利用积聚投影确定,交点在该面上的投影。再根据属于,直线的点的投影，属于平面的点或直线的作图规律，即可确定,交点的其余二,投影。,,1,特殊位置平面与一般位置直线相交,,,2,投影面垂直线与一般位置平面相交,,,b,,b,a,,a,c,c,,m,,m,n,n,,1,直线与,特殊位置,平面相交,,利用,特殊位置,平面投影的,积聚性,，,在直线上定点，直接求出交点,。,V,H,A,B,C,N,M,a,c

7、,b,K,k,k,,k,,,,交点是唯一的点，其他投影重叠处都是,重影点。,可见性判别的基本方法依然是交叉二直线重影点的可见性判别。对于特殊情况可以直接判断。,b,,b,a,,a,c,c,,m,,m,n,n,,判别直线的可见性,V,H,A,B,C,N,M,a,c,b,K,k,k,k,,,2,投影面垂直线与,一般位置,平面相交,,a,,b,,c,,a,b,c,d,,e,,k′,(,k,),d,,(,,e,),,,,此时的特殊位置直线是指投影面垂直线，直线在某投影面上有积聚性。,二、平面与平面相交的特殊情况,,求两平面交线的问题可以看作是求属于交线的任意,两个共有点,的问题

8、。,,对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚投影，其交线的投影就在这个积聚投影上。,,,,V,H,一般位置平面与,特殊位置,平面相交,e,f,d,d,,f,,e,,b,a,c,c,,a,,b,,D,A,B,C,a,c,b,E,F,K,L,k,l,k,l,k,,l,,e,f,d,d,,f,,e,,b,a,c,c,,a,,b,,V,H,一般位置平面与,特殊位置,平面相交,D,A,B,C,a,c,b,E,F,K,L,k,l,k,l,k,,,交线是唯一的，其他投影重叠处都是,重影点。,可见性判别的基本方法依然是交叉二直线重影点的可见性判别。对于特殊情况可以直接判断。,,

9、l,,三、一般位置直线与一般,位置,平面相交,,一般位置线面相交由于直线和平面的投影都,没有积聚性,，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用,辅助平面法,求一般位置线面的交点。,,,一般位置线、面相交求交点的步骤：,,（,l,）,含已知直线作特殊位置的辅助平面；,,（,2,）求辅助平面与已知平面的交线；,,（,3,）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。,,（,4,）判别可见性。,,,A,B,C,S,F,E,辅助平面求线面交点,示意图,,M,N,K,用投影面垂直面作为辅助面求线面的交点,H,b,e,f,a,c,A,B,C,P,H,E,F,m,n,P,作垂直面的目的是把一般问题转化为特殊

10、问题,M,N,K,k,,m,n,以铅垂面为辅助平面求线面交点,。,P,H,m,,f,,e,,e,f,b,c,,a,,a,c,b,,步骤：,,1,、 过,EF,作铅垂平面,P,。,,2,、求,P,平面与,Δ,ABC,的交线,MN,。,3,、求交线,MN,与,EF,的交点,K,。,k,,k,n´,,,H,V,a,,b,,c,,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,′,f,k,,K,k,e,,直线,FE,与平面,Δ,ABC,相交，判别可见性,示意图,Ⅲ,Ⅳ,3,,( ),(,,),4,,注意两点：,,1,、判别某个投影面上的可见性，就在该投影上取重影点。,,2,、对于

11、一般情况，必须在每个投影面上分别取重影点判别，不能根据一个投影面上的可见性而推论另一个投影面上的可见性。,Ⅰ,Ⅱ,1,,,2,,,2,1,直线,EF,与平面,ABC,相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,(,,),f,,e,,e,f,a,c,,c,b,a,,b,,1,2,4,,3,,( ),k,k,,3,4,2,,1,,,m,,n,,n,m,b,a,,a,c,b,,c,,1,,2,,以正垂面为辅助平面求线面交点,S,V,2,1,k,k,,,步骤,：,,1,、 过,MN,作正垂平面,S,。,,2,、求,S,平面与,ΔABC,的交线,ⅠⅡ,。,3,、求交

12、线,ⅠⅡ,与,MN,的交点,K,。,,四、两一般位置平面相交,,求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,,,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,,,1,、线面交点法,,,2,、三面共点法,,,E,L,N,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,M,B,C,A,E,K,N,L,B,C,A,互交,全交,K,M,,,求两一般位置平面交线的作图步骤：,,1,、用直线与平面求交点的方法求出两平面的,两个共有点,K,、,E,。,b,c,a,a,,b,,c,,l,l,,n,m,m,,n,,P,V,Q

13、,V,g,,f,,f,g,k,,k,e′,e,2,、连接两个共有点，画出交线,KE,。,一般不选,AB,、,BC,、,NL,,1,、线面相交法求交点,,,b,c,a,a,,b,,c,,若选,AC,、,BC,l,l,,,m,m,,n,,k,e,e′,k,,n,,若选了交点在图形之外的边,P,H,Q,V,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,b,c,a,a,,b,,c,,l,l,,n,m,m,,n,,k,e,e,,k,,( ),( ),,3,,,4,,,3 4,,2,1,1,,,2,,利用重影点判别可见性,两平面相交，判

14、别可见性,b,c,a,a,,b,,c,,l,l,,n,m,m,,n,,k,e,e,,k,,3,,,4,,,3 4,,2,1,( ),1,,,2,,( ),,R,1,R,2,P,S,2,、三面共点法求交线,(,适用于,两平面图形投影不重叠,),,,,K,L,,R,1V,R,2V,1′,2′,3′,4′,1,2,3,4,5′,6′,8′,7′,5,6,7,8,k,l,l′,k′,求两平面的交线,b,c,a,a,,b,,c,,l,l,,n,m,m,,n,,g′,g,1,2,P,V,1′,2′,k,k′,Q,V,e,e′,,b,c,a,a,

15、,b,,c,,l,l,,n,m,m,,n,,g′,g,k,k′,e,e′,利用重影点判别可见性,,a,c,,b,a,,c,b,,f,,e,,e,f,k,,k,,试过,K,点作一直线平行于已知平面,Δ,ABC,，,并与直线,EF,相交,。,,分析,:,过已知点,K,作平面,P,平行,于,,,ABC,；,直线,EF,与平 面,P,交于,H,；,连接,KH,，,KH,即为所求。,,,F,P,C,A,B,E,K,H,,作图步骤,m,,n,,h,,h,n,m,f,f,,a,c,,b,a,,c,b,,e,,e,k,,k,P,V,1,,1,2,,2,1

16、,、过点,K,作平面,KMN,//,,,ABC,平面。,2,、过直线,EF,作正垂平面,P,。,3,、,求平面,P,与平面,KMN,的交线,ⅠⅡ,。,4,、求交线,ⅠⅡ,与,EF,的交点,H,。,5,、,连接,KH,，,KH,即为所求。,,求两平面的交线,a,´,b,´,c,´,a,e,´,f,´,g,´,b,c,f,e,g,,a,´,b,´,c,´,a,e,´,f,´,g,´,b,c,f,e,g,求两平面的交线,,综合练习,设自点,S,发射枪弹同时命中绳索,AB,、,CD,，,求弹道轨迹和命中点的投影。,a′,b′,s′,a,b,c,d,s,d′,c′,P,H,分析,,过,S,与,AB,相

17、交的直线的轨迹是平面,SAB,。,同理，过,S,与,CD,相交的直线的轨迹是平面,SCD,。,故过,S,与交叉二线,AB,、,CD,均相交的直线是两平面,SAB,、,SCD,的交线,。,投影作图步骤,,连接,SA,、,SB,成△,SBC,。,,求,CD,与△,SBC,的,交点,L,。,,连接,SL,并延长与,AB,交于点,K,。,l′,k′,k,l,相交问题小结,相交问题的实质就是共有，线与面共有点，面与面共有线。,,相交问题的特殊情况是交点或交线可以在具有积聚性的线或面的投影上直接求出。,,相交问题的一般情况是将一般问题转化为特殊情况。求法是：,,包含直线作一投影面垂直面,,求该面与一般平面

18、的交线,,求该交线与一般直线的交点,,求两个一般平面的交线就是把该作法重复一遍。,,相交问题练习评讲,p′,p,q′,s′,s,q,,相交问题练习评讲,p′,p,a,b,b,′,a,′,k′,k,,相交问题练习评讲,a,b,b,′,a,′,c′,c,3(4),2(1),4′,3′,1′,2′,k′,k,s,s′,,相交问题练习评讲,a,b,b,′,a,′,c′,c,3(4),2(1),4′,3′,1′,2′,k,s,k′,s′,,a,b,′,a,′,c′,d′,b,d,c,1,2,4,3,4′,1′,2′,3′,相交问题练习评讲,s′,k′,k,s,,§5-3,垂直问题,,一、,直线与平面垂直

19、,,,几何条件,：,若直线垂直于属于平面的任意两条相交直线，,,则直线垂直于平面。反之若直线垂直于平面，则直线必垂直于,,属于平面的任意相交二直线。,,因属于平面的正平线、水平线是相交二直线，由直角投影,,定理得出。,,,平面垂线的投影特性：,若直线垂直于平面，则直线的水,,平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影,,必垂直于该平面的正平线的正面投影。,,二、,两平面垂直,,,几何条件,：,若一平面通过另一平面的一条垂线，则两平,,面垂直。反之若两平面垂直，则从属于其中一平面的任何一点,,向另一平面所作的垂线必属于该平面。,,,直线与平面垂直的几何条件,：,若一直线垂直于一平面内

20、任意两条相交直线,，,则此直线必垂直于该平面。,,平面垂（法）线的性质,：,若一直线垂直于一平面,，,则此直线必垂直于属于该平面的一切直线。,,,,V,H,P,A,K,L,D,C,B,E,,平面垂线的投影特性：,若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,V,P,A,K,L,D,C,B,E,H,a,,a,d,,c,,b,,d,c,b,e,,e,k,n,,k,,n,,,由平面垂线的投影特性得出：,若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直

21、于该平面。,a,,c,a,c,,,n,,,n,k,f,,d,,b,,d,b,f,k,,V,P,A,K,L,D,C,B,E,H,,平面由,,,BDF,给定，试过定点,K,作平面的法线,。,a,,c,a,c,,,n,,n,,k,f,,d,,b,,d,b,f,k,,,h,,,,试过定点,K,作特殊位置平面的法线,。,,h,,h,,h,,h,k,k,,S,V,k,,k,P,V,k,,k,,垂直于正垂面的直线是正平线,,垂直于铅垂面的直线是水平线,,垂直于水平面的直线是铅垂线,Q,H,h,,平面由两平行线,AB,、,CD,给定，试判断直线,MN,是否垂直于定平面

22、。,e,,f,,e,m,,n,m,n,,c,,a,,a,d,,b,,c,d,b,f,,结论：直线与平面不垂直,,h,,,,,h,,h,,h,,h,（,k,）,k,,k,,k,P,′,k,,k,垂直于正垂面的直线是正平线,垂直于铅垂面的直线是水平线,,垂直于水平面的直线是铅垂线,q,h,p,q,′,s,′,s,例题 过定点,K,作特殊位置平面（△表示）的法线。,,试过点,N,作一平面，使该平面与,V,面的夹角为,60 °,，与,H,面的夹角为,45 °,。,n,,n,,,分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角。,,所以平面法线对,H,面的倾角

23、为,45°,，对,V,面的倾角为,30°,。,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,,,试过点,N,作一平面，使该平面与,V,面的夹角为,60 °,，与,H,面的夹角为,45 °,。,直径任取,NM,作图过程,|,y,M,-y,N,|,|,z,M,-z,N,|,m,,h,,m n,m,k,|,z,M,-z,N,|,|,y,M,-y,N,|,30,°,45,°,m n,m,,n,,k,,,h,,n,,n,,Ⅱ,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,即包含某平面垂线的任意平面都与该平面垂直。、,A,D,,两,平面垂直的几何条件,,若一平面通过另一平面的

24、一条垂线，则两平面垂直。反之，若两平面垂直，则从属于其中一平面的任何一点向另一平面所作的垂线必属于该平面。,,投影作图,：由几何条件得知若两平面垂直，其中一平面必包含另一平面的一条垂线，因此两平面垂直的投影作图建立在平面垂线的基础上。,,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,A,D,Ⅰ,Ⅱ,,两平面垂直,两平面不垂直,Ⅱ,Ⅰ,A,D,,g,,,平面由,,,BDF,给定，试包含直线,KG,作已知平面的垂面,h,a,,c,a,c,,,h,,k,k,,f,,d,,b,,d,b,f,g,,试判断,,,A,BC,与相交两直线,KG,

25、和,KH,所给定的平面是否垂直。,g,,h,,a,,c,h,a,c,,k,k,,b,,b,g,,f,,f,,d,,d,结论：因为平面法线,AD,不在,,,A,BC,平面上，所以两平面不垂直。,或者说平面,ABC,未包含平面,GKH,的垂线,,,例题 过点,K,作正垂面Ｐ垂直于平面,△,ABC,。,,b′,a′,k′,k,b,c′,c,a,P,V,Q,H,过点,K,作铅垂面,Q,垂直于平面,△,ABC,。,分析：,,P⊥V,，,P⊥ABC → P⊥,平面,ABC,的正面迹线,,→,P,垂直于面上正平线,同理：,,Q⊥H,，,Q⊥ABC →

26、Q⊥,平面,ABC,的水平迹线,,→,Q,垂直于面上水平线,试过定点,A,作直线与已知直线,EF,正交。,a,,e,f,a,f,,e,,,E,Q,分析,,,过已知点,A,作平面与已知直线,EF,垂直相交于点,K,，,连接,AK,，,AK,即为所求。,F,A,K,,作图过程,,2,,,1,a,,e,,a,f,,e,,1,,2,,2,,,1,P,V,a,,e,f,a,f,,e,,1,,2,k,,k,直角三角形法求,SC,KA,即,A,到,EF,的距离,f,,§5-4,关于空间几何元素间的一些综合问题,一、,量度问题,,1.,实长和实形,,,⑴ 直线段的实长,,⑵ 平

27、面图形的实形,,,2.,有关距离的量度,,⑴ 两点之间的距离,,⑵ 点到直线的距离、两平行线间的距离,,⑶ 点到平面、相互平行的直线和平面之间的距离、两平行平面间的距离,,,⑷,相叉二直线的最短距离,,3.,有关角度的量度,,⑴ 直线对投影面的倾角,,⑵ 直线对投影面的倾角,,⑶ 相交二直线的夹角,,⑷ 直线与平面的夹角,,⑸ 两平面间的夹角,,,(1),实长与实形,,求线段的实长采用直角三角形法,,求平面图形的实形可以将图形划分为三角形，求每个三角形的实形，进而求出平面图形的实形。,,|,z,A,-z,B,,|,AB,X,a,,a,b,,,b,,P,P,H,点到投影面垂直线的距离,点

28、到投影面平行线的距离,点到一般位置线的距离,两,平行的直线之间的距离,A,B,a(b,),K,k,L,(l),H,L,l,K,k,B,a,A,b,（,2,）点到直线的距离,KL,M,K,L,M,1,M,2,K,L,V,H,P,H,K,k,P,L,l,A,D,C,B,E,L,K,(3),点,到,平面的距离,点到投影面垂直面的距离,点到一般位置平面的距离,点到平面的距离,L,K,P,M,K,L,Q,P,K,L,平行的直线与平面间的距离,,两,平行平面之间的距离,P,Ｈ,M,M,1,(4),交叉二直线的最短距离,其中之一为投影面垂直线,k,L,l,K,公垂线,距离,Ｈ,M,M,1,k(l,),K,,

29、L,二者均为同一投影面的平行线,交叉二直线的最短距离,交叉二直线的最短距离及公垂线,M,M,1,M,P,P,M,M,1,M,P,距离,公垂线,距离,距离,距离,L,K,V,H,W,H,H,P,E,S,C,D,a,α,A,直线对投影面的倾角,相交二直线的夹角,平面对投影面的倾角,A,C,B,3,有关角度的量度,直线与平面的夹角,两,平面之间的夹角,P,B,A,P,Q,φ,A,B,,ω,α,β,γ,φ,b,P,K,θ,a,P,C,θ,δ,K,φ,E,D,(4),交叉二直线的最短距离,交叉二直线的最短距离及公垂线,,,二、定位问题,:,线与平面、平面与平面的相交问题。,,三、解决综合题的一般步骤,,

30、,1.,分析,,,2.,作图,,,3.,检查、讨论,,四、综合举例,,,,过点,E,作,直线,EF,与已知直线,AB,、,CD,均相交。,已知条件,相对位置关系分析,轨迹分析,实际解题方案,例题：已知三角形,ABC,的,BC,边属于,MN,，,分别以,AB,为斜边和直角 边作出三角形,ABC,的投影。,b,a′,b′,m′,n′,a,m,n,以,AB,为斜边，实际上就是,C,角为直角，,MN,为水平线，则，在,H,面上可以直接求出,C,点。,c,c,′,,例题：已知三角形,ABC,的,BC,边属于,MN,，,分别以,AB,为斜边和直角 边作出三角形,ABC,的投影。,,如果以,AB

31、,为直角边，则,AC,┴AB,，过,A,点作,一,AB,的垂面，与,MN,的交点即为,C,点。,b,a′,b′,m′,n′,a,m,n,,作一直线,MN,与相叉直线,AB,和,CD,相交，并平行于直线,EF,。,,,,,x,o,e,a,b,d,c,f,e′,f′,a′,b′,c′,d′,n,n′,原题,分析,作图,作图思路：,,含交叉二线之一（,AB,或,CD,） 作,直线,EF,的平行平面,,求此平面与交叉二线中的另一直线（,CD,或,AB,）,的交点,,过此交点作直线,EF,的平行线,P,V,m,m′,C,求作以,AB,为底，顶点,C,属于直线,MN,的等腰三角形,ABC,,。,a,b,m

32、,n,a,′,b′,m′,n′,x,o,,原题,分析,,作图思路：,,作等腰△,ABC,底边的中垂面,,求此中垂面与顶点所在直线,MN,的交点,,连接该交点和底边两端点,作图,c′,c,P,V,,作一平面,P,，,使其与△,ABC,平行，且距△,ABC,为定长,L,,。,原题,,k,k′,e,e′,f,f′,分析,c,a,b,c,c′,a′,b′,x,o,a,b,L,b′,a′,c′,x,o,作图思路：,,过平面上的已知点作平面的法线,,在此法线上从已知点截取定长获得距平面为定长的端点,,过此端点作平面平行于已知面,d,L,d′,,例题,﹕,,已知点,K,到△,ABC,距离为定长,L,，求,k

33、,,。,L,,d,d′,L,o,a,b,c,c′,a′,b′,x,,k′,,k,e′,e,1,、,用上例的方法获得法线上定长端点再与已知点,K,连线平行于已知平面,,∵,平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角。,例题,,已知点,K,到△,ABC,距离为定长,L,，求,k,,。,2,、,利用平面法线对投影面的倾角与平面相应的倾角互余，即与平面相应的最大斜度线对同一投影面的倾角互余,L,b,c,c′,b′,x,o,k,′,a′,a,β,b,为,平面,ABC,对,V,面的倾角,β,1,b,1,为,平面,ABC,的,法线,对,V,面的倾角,法线的,V,投影长度,法线的,Y,坐标差,(,

34、法线,),k,β,1,L,投影作图步骤,﹕,利用对,V,面的最大斜度线求出,b,角,.,2,、,90°,–,,b,﹦,b,1,3,、,由法线的实长,L,及,b,1,，,用直角△法求出,法线的,V,投影长度和法线的,Y,坐标差,作业评讲,,求,K,点到平面的真实距离,b′,a′,c′,b,a,c,k′,k,Q,H,TL,,1,3,2,1′,2′,3′,a,b,a′,c,d,c′,b′,d′,求作以,AB,为边,并属于△,ⅠⅡⅢ,的正方形,ABCD,。,作图思路,,在△,ⅠⅡⅢ,上取线，确定,a′ b′,及其邻边的方向,,确定邻边,AD,,作对应边的平行线，完成正方形,ABCD,。,,,c,a,b

35、,a′,b′,c′,a,b,a′,b′,c′,c,例,,已知,AB⊥BC,，求,bc,。,包含,AB,做,BC,的垂面，,BC,垂直于平面上所有的线。,利用平面法线的投影特性,过点,B,作,AB,的垂面，,BC,属于该平面,。,再在平面内取点,作菱形,ABCD,，使,AB//MN,，点,A,属于直线,I II,，,BC,属于直线,III IV,，,完成其,H,、,V,面投影。,m′,n′,m,n,1′,2,′,1,2,3,4,3,′,4′,b,b′,a,′,a,sc,c,c′,d′,d,作图思路：,,包含,ⅠⅡ,作一个平面与,MN,平行,,求该平面与,ⅢⅣ,的交点，即,B,点。,,作,AB//

36、MN,得,AB,的投影。求,AB,实长，用定比的方法，根据实长求得,C,点的投影。,,根据平行四边形作出,D,点的投影。,,d,,e,,d,e,作属于,,,A,BC,的直线,FG,与直线,DE,垂直相交。,f,,a,,c,a,c,,b,,b,,,P,H,f,Qv,g,g,,,SC,DF,求直线,DE,与,∆,ABC,的夹角,θ,b′,c′,a′,d′,e′,b,a,c,d,e,f′,f,SC,DE,SC,DF,SC,FE,φ,θ,SC,FE,,本章要点,,（,一）平行问题,,,1,熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；,2,熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。,

37、,（二）相交问题,,,1,熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。,2,熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。,3,掌握利用重影点判别投影可见性的方法。,,（三）垂直问题,掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。,,（四）点、线、面综合题,,1,熟练掌握点、线、面的基本作图方法；,2,能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。,c,P16,习,5-6,（左） 求两平面的交线并判别可见性。,P,H,Q,H,k′,l′,k,l,a,b,a′,b′,c′,1,2,3,1′,2′,3′,分析 不选,BC,、,ⅠⅡ,、,ⅠⅢ,作业讲评,,求两平面的交线并判别可见性。,1,2,3,1′,2′,3′,a,b,c,a′,b′,c′,k′,l′,k,l,P,H,Q,V,R,V,k′,l′,k,l,,,,,分析 不选,AB,、,ⅡⅢ,作图,检查、讨论,作业讲评,