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1、*,补充,轮换,对称性结论:,若,D,关于,x,y,满足轮换对称性(将,D,的边界曲线方程中的,x,与,y,交换位置,方程不变),则,1,证,所以,例,2,习 题 课,二 重 积 分,知识要点,解题技巧,典型例题,3,其中,一、二重积分的概念与性质,是各小闭区域的直径中的最大值.,几何意义,二重积分,I,表示以,D,为底,柱体的体积.,z,=,f,(,x,y,)为曲顶,侧面是,（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义,定义,1.,平面上有界闭区域,D,上二元有界函数,z,=,f,(,x,y,)的二重积分,2.,当连续函数,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面的,曲顶,一般情形,知识要
2、点,4,物理意义,3.,xOy,平面上方的曲顶柱体体积,减,xOy,平面下方的曲顶柱体体积.,若平面薄片占有平面内有界闭区域,D,则它的质量,M,为:,它的面,密度为连续函数,5,性质1(线性运算性质),为常数,则,(重积分与定积分有类似的性质),性质2,将区域,D,分为两个子域,对积分区域的可加性质.,（二）二重积分的性质,6,以,1为高的,性质3(几何应用),若 为,D,的面积,注,既可看成是以,D,为底,柱体体积,.,又可看成是,D,的面积.,特殊地,性质4(比较性质),则,(保序性),7,几何意义,以,m,为高和以,M,为高的,性质5(估值性质),为,D,的面积,则,则曲顶,柱体的体积
3、介于以,D,为底,两个平顶柱体体积之间.,8,性质6(二重积分中值定理),体体积等于以,D,为底,几何意义,域,D,上连续,为,D,的面积,则在,D,上至少存在一点,使得,则曲顶柱,为高的平顶柱体体积.,设,f,(,x,y,)在闭区,9,(1)设,f,(,x,y,)在有界闭区域,D,上连续.,若,D,关于,则,x,轴对称,f,(,x,y,)对,y,为奇函数,即,f,(,x,y,)对,y,为偶函数,即,则,其中,（三）对称区域上奇偶函数的积分性质,10,(2)设,f,(,x,y,)在有界闭区域,D,上连续.,若,D,关于,则,y,轴对称,f,(,x,y,)对,x,为奇函数,即,f,(,x,y,)
4、对,x,为偶函数,即,则,其中,11,(3)设,f,(,x,y,)在有界闭区域,D,上连续.,12,其中函数,在区间,a,b,上连续.,二、在直角坐标系中化二重积分为,累次积分,(1)设,f,(,x,y,)在平面有界闭区域,D,上连续.,先对,y,后对,x,的二次积分,13,其中函数,在区间,c,d,上连续.,(2)设,f,(,x,y,)在平面有界闭区域,D,上连续.,先对,x,后对,y,的二次积分.,14,极坐标系中的面积元素,三、在极坐标系中化二重积分为累次积分,(1)设,f,(,x,y,)在平面有界平面闭区域,D,上连续.,其中函数,15,(2)设,f,(,x,y,)在平面有界平面闭区域
5、,D,上连续.,其中函数,16,极坐标系,下区域的,面积,(3)设,f,(,x,y,)在平面有界平面闭区域,D,上连续.,其中函数,17,再确定交换积分次,1.,交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域,D,的,不等式,并画,D,的草图;,序后的积分限;,2.,如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,解题技巧,18,3.,注意利用对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4.,被积函数中含有绝对值符号时,应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,19,解,例,计算积分,交换积分次序.,原式,=,典型例题,1.交换积分次
6、序,20,计算,解,积分域是圆,故关于,x,、,y,轴、,故将被积函数分项积分:,而,极坐标,又,所以,原式,=,对称,例,直线,2.利用对称性,21,证,所围立体的体积等于,是连续,的正值函数,所求立体在,xOy,面上的投影区域为,有:,例,证明:,22,解,原式,=,用极坐标.,对称性,积分区域关于,x,轴对称,例,3.坐标系的选择,23,若函数,f,(,x,y,)在矩形区域,D,:,解,上连续,且,求,f,(,x,y,).,设,两边积分,得,例,24,计算二重积分,D,2,极坐标,例,将,D,分成,D,1,与,D,2,两部分.,D,1,其中,解,由于,直角坐标,3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分,25,其中,因此,26,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式,=,例,27,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式,=,例,28,计算,解,积分区域,D,关于,x,轴对称,被积函数关于,y,为偶函数.,原式=,记,D,1,为,D,的,y,0的部分.,则,D,1,练习,29,练习,证明,证,交换积分次序,累次积分,法一,30,31,证明,法二,令,则,32,
二重积分习题练习及解析
